Внутренняя норма доходности при неординарном денежном потоке

Проблема множественности IRR

Определение

Проблема множественности IRR (Internal Rate of Return) возникает при оценке инвестиционных проектов с неординарным денежным потоком, когда величина чистых денежных потоков по годам меняет свой знак с отрицательного на положительный более одного раза!

Ординарный и неординарный денежный поток

Проект с ординарным денежным потоком предполагает, что его чистый денежный поток по годам меняет знак с «-» на «+» один раз, то есть за одним или несколькими отрицательными денежными потоками следуют только положительные чистые денежные потоки.

Проект с неординарным денежным потоком предполагает, что за положительным чистым денежным потоком последует хотя бы один отрицательный чистый денежный поток, то есть смена его знака с «+» на «-» происходит хотя бы один раз.

Примеры инвестиционных проектов с ординарным и неординарным денежным потоком приведены в таблице.

Формула

Поскольку внутренняя норма доходности является ставкой дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость (англ. Net Present Value, NPV) проекта равна 0, для ее нахождения необходимо решить следующее уравнение относительно переменной «IRR».

Приведенной выше уравнение является многочленом N-ой степени и имеет N корней. В случае инвестиционного проекта с ординарным денежным потоком все корни этого уравнения, за исключением одного действительного, являются мнимыми, поэтому проблемы множественности IRR не возникает. Однако в случае проекта с неординарным денежным потоком уравнение может иметь несколько действительных корней, что приводит к проблеме множественности значений внутренней нормы доходности.

Пример

Проиллюстрируем проблему множественности IRR на примере проекта с неординарным денежным потоком, информация по которому представлена в таблице.

Составим уравнение при условии, что чистая приведенная стоимость проекта равна 0.

Решив это уравнение относительно IRR, мы получим два действительных корня 0,050699 и 0,824254. Это означает, что чистая приведенная стоимость проекта будет равна 0 как при ставке дисконтирования 5,0699%, так и при 82,4254%. Таким образом, у данного проекта есть два значения внутренней нормы доходности.

График

Чтобы визуализировать проблему, построим график зависимости чистой приведенной стоимости проекта (ось Y) от ставки дисконтирования (ось X) на основании данных из приведенного выше примера.

Как можно видеть на графике, чистая приведенная стоимость проекта будет отрицательной при стоимости капитала, привлекаемого для его реализации, менее 5,0699% и более 82,4254%. При стоимости капитала в диапазоне от 5,0699% до 82,4254% его чистая приведенная стоимость, напротив, будет положительной.

Методы решения проблемы множественности IRR

При оценке проекта с неординарным денежным потоком у аналитика возникает дилемма, какое из нескольких значений IRR использовать. Решение при этом не является очевидным. Существует два традиционных подхода для оценки проектов с неординарным денежным потоком, которые позволяют избежать проблему множественности IRR.

1. Использовать метод чистой приведенной стоимости.
2. Использовать вместо показателя внутренней нормы доходности показатель модифицированной внутренней нормы доходности (англ. Modified Internal Rate of Return, MIRR).

Источник

Внутренняя норма доходности инвестиционных проектов

Поэтому разрабатываются и используются инструменты, позволяющие провести первичный расчёт рисков и, в некоторой степени, минимизировать вероятность вложения средств в низкодоходные или убыточные проекты.

Чаще всего при выполнении финансового анализа используется показатель, оперирующий приведёнными денежными потоками. Его именуют внутренняя ставка доходности (иное обозначение, норма доходности (международное обозначение, IRR).

Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта IRR (Internal Rate of Return) — это величина ставки дисконта, достигая которой совокупная приведенная стоимость вложений в проект, именуемая денежными потоками либо чистой приведенной стоимостью (обозначается как «NPV») равна «0». Говоря простым языком, при такой ставке инвестор, вкладывающий в проект собственные средства, сможет, в лучшем случае, их возместить.

Говоря простым языком, при такой ставке инвестор, вкладывающий в проект собственные средства, сможет, в лучшем случае, их возместить.

Выполняя финансовый анализ проекта сначала считают показатель NPV (приводят величину общей суммы инвестиций к стоимости «на сегодня»). Только после этого определяют величину ставки IRR инвестиционного проекта. Этот показатель может именоваться по-разному (но, в любом случае, в наименовании первым словом будет «внутренняя»):

• внутренней нормой дисконта;
• внутренним коэффициентом эффективности (вариант, окупаемости);
• внутренней нормой.

Внутренняя норма доходности, вместе с величиной NPV, рассматриваются как взаимодополняющие критерии, позволяющие оценить эффективность реализации инвестпроекта. Графическая зависимость между ними приведена на рисунке.

Рассчитанную величину IRR рассматриваемого проекта сопоставляют с аналогичными значениями рыночной ставки доходности (на момент сравнения). При этом обязательно дополнительно учитываются такие факторы, как сроки реализации проекта и возможные риски.

В качестве контрольной величины используется ставка усреднённого банковского депозита. Рентабельным будет считаться проект, имеющий величину внутренней нормы доходности, превышающую средние величины ставок по инвестпроектам (вариант, по вкладам).

Необходимость рассчитать величину ставки ВНД возникает при различных направлениях денежных потоков:

• Эти показатели, в первом случае, рассматриваются исключительно как чистые инвестиции. На начальной стадии реализации любого проекта все они минусовые (инвестор вкладывает, но ничего не получает). Спустя определённое время появляются потоки положительной направленности. На весь оставшийся период реализации рассматриваемого проекта динамика не меняется.
• Во втором учитываются показатели, характеризующие смешанные денежные потоки. Средства поступают, чередуясь положительной и отрицательной направленностью. В подобных случаях показатель IRR не используется, так как он не позволяет получить достоверных данных. Необходимо обращаться к модифицированному показателю, MIRR.

Присоединяйтесь к более 3 тыс. наших подписчиков. 1 раз в месяц мы будем отправлять на ваш email дайджест лучших материалов, опубликованных у нас на сайте, на странице в LinkedIn и Facebook.

Источник

14.5. Внутренняя норма доходности проектов с неординарными денежными потоками

ПРИМЕР. Рассмотрим следующий денежный поток некоторого инвести­ционного проекта А:

0-й год 1-й год 2-й год

Подобный денежный поток может характеризовать проекты, предполага­ющие осуществление крупных затрат на их заключительных стадиях, на­пример связанных с очисткой территории.

Указанный денежный поток имеет две нормы доходности: 6,75 и 493,2%. В случае принятия ставки дисконтирования в данном промежутке значе­ний чистая современная стоимость проекта положительна. Если г 493,2%, то чистая современная стоимость отрицательна. Зависимость величины чистой современной стоимости от уровня ставки дисконтирова­ния показана в табл. 14.5 и на рис. 14.5.

Таблица 14.5 Л Т РУ Ту % 5 0 6,75 6,5 20 9,6 30 12,8 50 13,9 70 13,80 100 9,4 200 0 493,2 -1,1 550

Существуют проекты, денежные потоки которых вообще не имеют внутренней нормы доходности.

1-й год 2-й год 3-й год

График МРУ этого денежного потока не пересекает ось ставки дис­контирования.

Существуют различные приемы решения проблемы определения став­ки внутренней доходности в рассматриваемых ситуациях.

Г. Бирман и С. Шмидт 1 предлагают модифицировать нетрадиционные денежные потоки с целью превращения их в традиционные двумя спо­собами. Первый способ — это дисконтирование отрицательного послед­

ам.: Бирман Г.. Шмидт С. Указ. соч.

него элемента, прибавление дисконтированной величины к предыдуще­му положительному элементу; и повторение этой процедуры до тех пор, пока не будут устранены отрицательные элементы (кроме первого).

Например, возьмем денежный поток со следующими элементами: -15; 105; -95 (см. рис. 14.4). Дисконтируем по ставке 20% последний элемент, равный -95, и получаем —79,2. Складываем со вторым элемен­том денежного потока. Таким образом, имеем следующий денежный по­ток: — 15; 25,8. Внутренняя норма доходности этого проекта равна 72%. Делаем вывод о целесообразности инвестирования, так как требуемая до­ходность составляет 20%.

Второй способ предполагает движение в обратном направлении: ре­инвестируем доход первого года по ставке 20% и прибавляем эту величи­ну к затратам последнего года. В результате получаем денежный поток:

Внутренняя норма доходности данного денежного потока равна 43,8%. Заметим, что разрыв в значениях внутренней нормы доходности, определенных разными способами, оказался весьма существенным, но и во втором случае проект оказывается приемлемым.

Ряд авторов, в частности Ю. Бригхэм и Л. Гапенски [43] , рекомендуют с целью измерения доходности проектов с нетрадиционными денеж­ными потоками рассчитывать модифицированную норму доходности (М1НЯ).

= 0.

Один из способов ее расчета заключается в использовании подхода, в соответствии с которым М1ЯЯ является ставкой, уравновешивающей современную стоимость инвестиций данного проекта и конечную (тер­минальную) стоимость поступлений.

Тогда можем записать:

где /, — инвестиции в году /; Е_г — доходы, получение которых предпола­гается в году /; г — ставка дисконтирования; РУ(1) — суммарная совре­менная стоимость инвестиций; ТУ<Е) — суммарная конечная (терми­нальная) стоимость инвестиций.

В данном подходе предполагается, что будущие доходы реинвестиру­ются по ставке доходности, равной принятой ставке дисконтирования.

Из приведенных выше формул получим:

ПРИМЕР. Рассмотрим денежный поток следующего инвестиционного

-200 -50 100 300 400 500

Годы 0 1 2 3 4 5

Предположим, что ставка дисконтирования принята на уровне 20%. Со­временная стоимость инвестиций РУ(1) определится следующим образом: -200 — 50 • 1,2 -1 = -241,7. Конечная стоимость доходов будет равна: 100 • 1,2 3 + 300 • 1,2 2 + 400 • 1,2 + 500 = 1454,2;

Таким образом, модифицированная внутренняя доходность равна 43,2%. Для сравнения заметим, что обычная внутренняя норма доходности дан­ного проекта равна 57,9%.

Модифицированная внутренняя норма доходности рассмотренного в самом начале данного пункта проекта А будет равна:

Источник

Расчет внутренней нормы доходности

Ни один инвестор не вкладывает средства слепо, не проведя предварительных исследований: он должен быть уверен, что они окупятся или, как минимум, их удастся вернуть. Для этого оценивается потенциальная рентабельность инвестиционного проекта. Конечно, это нельзя сделать иначе как комплексно, применяя ряд специально разработанных показателей, важнейший из которых – внутренняя норма доходности.

Рассмотрим, в чем особенности метода инвестиционных исследований, основанного на вычислении внутренней нормы доходности – IRR.

Что такое внутренняя норма доходности?

Никто не может рассчитать с вероятностью 100%, какой доход удастся получить от вложенных средств. Слишком много переменных факторов, могущих повлиять на реализацию бизнес-проекта, профинансированного инвестором. Однако можно максимально снизить риск неточностей, если применить не абсолютную, а относительную оценку.

Та процентная ставка, при которой инвестор гарантированно возместит свое вложение, но не получит прибыли, называется внутренней нормой доходности (ВНД). Норма заключается в том, что все денежные потоки данного инвестиционного проекта в сумме взаимозачтутся. Иначе говоря, расходы на инвестиционный проект в какой-то момент времени уравновешиваются полученными доходами (говорят, что проект «вышел в ноль»).

ВАЖНО! Слово «внутренняя» в определении данной нормы инвестиционных вложений означает ее зависимость от свойств самого проекта, а не от внешних факторов.

Внутреннюю норму доходности специалисты могут именовать по-разному. Встречаются следующие наименования:

• ВНД – русская аббревиатура;
• IRR – английская аббревиатура от «Internal Rate of Return» – «внутренняя норма доходности»;
• внутренняя норма рентабельности;
• внутренняя норма прибыли;
• внутренняя норма возврата инвестиций;
• предельная эффективность капитальных вложений;
• процентная норма прибыли;
• дисконтированный поток реальных денег;
• финансовая норма прибыли;
• собственная норма прибыли.

ВНИМАНИЕ! Эту норму можно счесть предельной, поскольку выход за ее пределы уже означает для инвестора убыток.

Показатели для расчета IRR

Математически расчет внутренней нормы доходности не так уж сложен, но формула включает много дополнительных показателей, которые необходимо учитывать. Среди них:

• NPV – от первых букв выражения «Net Present Value» («чистая приведенная стоимость») – сумма всех денежных потоков данного проекта, приведенная к общему показателю при взаимозачете доходов и затрат;
• CF – денежные потоки (от «Cash Flows») – величины различных притоков и оттоков финансов, в том числе и инвестируемых средств, в выбранный период времени t (обычно берется год). Для инвестиционного проекта первый денежный поток – сама инвестиция – естественно, будет иметь отрицательное значение (это затрата).
• R – ставка дисконтирования, то есть тот процент, под который инвестор может получить средства для вложений (взять банковский кредит, продать свои акции или использовать внутренние средства).
• WACC – средневзвешенная стоимость капитала (от Weighted Average Cost of Capital) – если применяется сразу несколько источников привлечения денег, то процентная ставка будет представлять среднюю величину, рассчитанную пропорционально.

ВАЖНАЯ ИНФОРМАЦИЯ! Было бы очень просто рассчитать внутреннюю норму доходности, зная все необходимые показатели. Однако на практике невозможно определить точные величины денежных потоков и однозначно вычислить ставку дисконтирования. Поэтому для каждого отдельного проекта оценивают степень зависимости NPV от процентной ставки.

Формула расчета внутренней нормы рентабельности

IRR – это такая величина R, при которой NPV равен нулю. Поэтому этот показатель можно вывести из формулы расчета приведенной суммы денежных потоков.

• 0 означает величину NPV;
• n – количество исследуемых временных периодов;
• CF_t – денежные потоки в учетный момент времени.

Способы вычисления ВНД

Посчитать значение внутренней нормы доходности вручную не представляется возможным, так как, если вывести из него значение IRR, оно получится множителем 4 степени. Вычислить этот показатель можно несколькими способами:

• использовать специальный финансовый калькулятор;
• применить программу Excel, в которой эта функция встроена в раздел «Финансовые формулы» под названием ВСД («внутренняя ставка доходности»);
• воспользоваться одним из онлайн-калькуляторов;
• применить графический способ (использовался до широкого распространения Персональных компьютеров).

Достоинства и недостатки метода IRR

Для оценки инвестиционных возможностей главным образом применяются два метода – вычисление NPV и IRR. Метод определения внутренней нормы доходности относителен, поэтому не может претендовать на высокую точность, однако обладает рядом преимуществ:

• помогает достаточно просто оценить рентабельность инвестиционного проекта;
• показывает максимально допустимый размер затрат для вложения в проект;
• позволяет сравнивать различные проекты по рентабельности, даже если они отличаются по масштабу и протяженности во времени.

Недостатки метода IRR:

• нельзя посчитать абсолютную доходность инвестиции (то есть сколько конкретно денег – рублей, валюты – она может принести инвестору);
• возможно завышение инвестиционного эффекта, если ВНД сильно отличается от уровня реинвестиций компании (то есть положительные денежные потоки «возвращаются» инвестору с процентной ставкой, не совпадающей с ВНД);
• при вычислении имеет место пренебрежение последовательностью денежных потоков (для формулы не важно, в какой последовательности наступают затраты и приходит прибыль, тогда как на практике это может иметь решающее значение);
• возможны искажения при оценке взаимоисключающих инвестиционных проектов.

Интерпретация внутренней нормы доходности

Главное правило, по которому оценивают возможность инвестирования по показателю ВНД: проект можно принять, если IRR выше, чем средневзвешенная стоимость капитала для компании (WACC). Это значит, что инвестору стоит занимать деньги для вложения, и они, вероятнее всего, принесут добавочную прибыль.

НАПРИМЕР. Банк может предоставить инвестору деньги под 12% годовых. Инвестор собирается взять кредит и вложить средства в проект, ВНД которого 16%. Это значит, что 16% годовых – верхняя планка, по которой можно занять деньги для этого проекта. Если проект действительно принесет 16% прибыли, в пользу инвестора останется 4%, в любом случае он сможет вернуть заемные средства без убытка для себя.

Пример применения ВНД

Приведем жизненный пример оценки внутренней доходности, который может осознать обычный гражданин, а не только предприниматель.

Сдача квартиры в аренду – вроде бы выгодное мероприятие. Но все зависит от того, есть ли эта квартира в собственности. Если это так, то первоначальная инвестиция равна нулю, поэтому проект заведомо рентабелен. Но если планируется вложить средства в покупку квартиры, сдавать ее, а затем продать, чтобы вернуть взятый на это кредит?

Посчитаем, получится ли этот проект выгодным. Пусть квартира стоит 5 млн руб., а сумма аренды за год составит 25 000 руб. в месяц. Пренебрежем налоговыми расходами на оформление покупки квартиры и аренды. За 3 года доход от аренды составит 25 000 х 3 = 75 000 руб. Представим, что конъюнктура рынка недвижимости за 3 года не изменилась и квартиру удастся продать за цену покупки. Значит, спустя три года инвестиция принесет доход 75 000 + 5 млн руб. ВНД такого проекта получится равным приблизительно 6%.

Как известно, ставка кредитования в банке приблизительно составляет 9%, значит, имея в своем распоряжении свободные средства (например, получив их в наследство), их выгоднее положить на депозит, чем покупать квартиру с целью аренды.

Но если стоимость квартиры за эти годы существенно увеличится, ВНД проекта также изменится в лучшую сторону.

Источник