Вариация доходности за нормальным распределением

Логнормальное и нормальное распределение

Математика финансов может быть немного запутанной и утомительной. К счастью, большинство компьютерных программ выполняют сложные вычисления. Однако понимание различных статистических терминов и методов, их значения и того, какие из них лучше всего анализируют инвестиции, имеет решающее значение при выборе подходящей ценной бумаги и получении желаемого воздействия на портфель.

Одним из важных решений является выбор между нормальным и логнормальным распределениями, оба они часто упоминаются в исследовательской литературе. Перед выбором нужно знать:

• Что они
• Какие различия существуют между ними
• Как они влияют на инвестиционные решения

Нормальный против логнормального

Как нормальное, так и логнормальное распределения используются в статистической математике для описания вероятности возникновения события. Подбрасывание монеты – это простой для понимания пример вероятности. Если вы подбросите монетку 1000 раз, каково распределение результатов? То есть сколько раз он будет выпадать орлом или решкой? С вероятностью 50% он выпадет либо орлом, либо решкой. Этот базовый пример описывает вероятность и распределение результатов.

Существует много типов распределений, одним из которых является нормальное распределение или распределение кривой колокола.

При нормальном распределении 68% (34% + 34%) результатов находятся в пределах одного стандартного отклонения, а 95% (68% + 13,5% + 13,5%) находятся в пределах двух стандартных отклонений. В центре (точка 0 на изображении выше) медиана (среднее значение в наборе), режим (значение, которое встречается чаще всего) и среднее значение ( среднее арифметическое ) совпадают.

Логнормальное распределение отличается от нормального по нескольким причинам. Основное различие заключается в его форме: нормальное распределение симметрично, а логнормальное – нет. Поскольку значения в логнормальном распределении положительны, они создают кривую, наклоненную вправо.

Эта асимметрия важна для определения того, какое распределение целесообразно использовать при принятии инвестиционных решений. Еще одно отличие состоит в том, что значения, используемые для получения логнормального распределения, имеют нормальное распределение.

Поясним на примере. Инвестор хочет знать ожидаемую будущую цену акций. Поскольку акции растут сложными темпами, им необходимо использовать фактор роста. Чтобы вычислить возможные ожидаемые цены, они возьмут текущую цену акций и умножат ее на различные нормы доходности (которые являются математически выведенными экспоненциальными коэффициентами, основанными на начислении сложных процентов ), которые, как предполагается, имеют нормальное распределение. Когда инвестор непрерывно увеличивает доход, он создает логнормальное распределение. Это распределение всегда положительно, даже если некоторые нормы прибыли отрицательны, что случается в 50% случаев при нормальном распределении. Будущая цена акций всегда будет положительной, потому что цены на акции не могут упасть ниже 0 долларов.

Когда использовать нормальное и логнормальное распределение

Предыдущий пример помог нам понять, что действительно важно для инвесторов: когда использовать каждый метод. Логнормальный чрезвычайно полезен при анализе цен на акции. Пока предполагается, что используемый фактор роста имеет нормальное распределение (как мы предполагаем в отношении нормы прибыли), логнормальное распределение имеет смысл. Нормальное распределение нельзя использовать для моделирования цен на акции, потому что у него есть отрицательная сторона, а цены на акции не могут упасть ниже нуля.

Другое аналогичное использование логнормального распределения – ценообразование опционов. Модель Блэка-Шоулза, используемая для определения цены опционов, использует логнормальное распределение в качестве основы для определения цен опционов.

И наоборот, нормальное распределение работает лучше при расчете общей доходности портфеля. Нормальное распределение используется потому, что средневзвешенная доходность (произведение веса ценной бумаги в портфеле и ее нормы доходности) более точно описывает фактическую доходность портфеля (положительную или отрицательную), особенно если веса варьируются на большая степень. Ниже приводится типичный пример:

Хотя логарифмически нормальный доход для общей доходности портфеля может быть быстрее вычислен за более длительный период времени, он не может учесть веса отдельных акций, что может сильно исказить доходность. Кроме того, доходность портфеля может быть положительной или отрицательной, а логнормальное распределение не сможет уловить отрицательные аспекты.

Хотя нюансы, которые различают нормальное и логнормальное распределения, могут ускользать от нас большую часть времени, знание внешнего вида и характеристик каждого распределения даст представление о том, как моделировать доходность портфеля и будущие цены на акции.

Источник

Оптимизируйте свой портфель, используя нормальное распределение

Нормальное распределение является распределением вероятности того, что участки все его значения в симметричной моде с большинством результатов, расположенные вокруг вероятности означает.

Нормальное (кривая колокола) распределение

Наборы данных (например, рост 100 человек, оценки, полученные 45 учениками в классе и т. Д.), Как правило, имеют много значений в одной и той же точке данных или в одном диапазоне. Такое распределение точек данных называется нормальным распределением или распределением кривой колокола.

Например, в группе из 100 человек 10 могут быть ниже 5 футов, 65 – от 5 до 5,5 футов, а 25 – выше 5,5 футов. Это распределение с границами диапазона можно построить следующим образом:

Точно так же точки данных, нанесенные на графики для любого заданного набора данных, могут напоминать различные типы распределений. Три наиболее распространенных – это выровненные по левому краю, правые и беспорядочные распределения:

Обратите внимание на красную линию тренда на каждом из этих графиков. Это примерно указывает на тенденцию распределения данных. Первый, «Выровненное по левому краю распределение», указывает, что большинство точек данных попадает в нижний диапазон. На втором графике «Правильно выровненное распределение» большинство точек данных попадают в верхний предел диапазона, а последний, «Непостоянное распределение», представляет собой смешанный набор данных без какой-либо четкой тенденции.

Есть много случаев, когда распределение точек данных имеет тенденцию быть около центрального значения, и этот график показывает идеальное нормальное распределение – одинаково сбалансированное с обеих сторон, с наибольшим количеством точек данных, сосредоточенных в центре.

Вот идеальный, нормально распределенный набор данных:

Центральное значение здесь – 50 (которое имеет наибольшее количество точек данных), а распределение равномерно сужается к крайним конечным значениям 0 и 100 (которые имеют наименьшее количество точек данных). Нормальное распределение является симметричным относительно центрального значения с половиной значениями на каждой стороне.

Распределению колоколообразной кривой соответствует множество реальных примеров:

• Подбросьте честную монету много раз (скажем, 100 раз или больше), и вы получите сбалансированное нормальное распределение орлов и решек.
• Бросьте пару честных кубиков много раз (скажем, 100 раз или больше), и результатом будет сбалансированное нормальное распределение с центром вокруг числа 7 и равномерно сужающимся к крайним значениям 2 и 12.
• Рост людей в группе значительного размера и оценки, полученные людьми в классе, соответствуют нормальным схемам распределения.
• В области финансов, изменения в лог значений по форекс ставки, индексы цен и цен на акции считаются нормально распределены.

Риск и доход

Любая инвестиция имеет два аспекта: риск и доход. Инвесторы ищут максимально низкий риск для получения максимально возможной прибыли. Нормальное распределение количественно оценивает эти два аспекта с помощью среднего значения доходности и стандартного отклонения риска.

Среднее или ожидаемое значение

Конкретное среднее изменение цены акции может составлять 1,5% в день, что означает, что в среднем она повышается на 1,5%. Это среднее значение или ожидаемое значение, обозначающее доход, может быть получено путем вычисления среднего значения на достаточно большом наборе данных, содержащем исторические дневные изменения цен на эту акцию. Чем выше среднее значение, тем лучше.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение указывает на величину, на которую значения отклоняются в среднем от среднего. Чем выше стандартное отклонение, тем рискованнее вложения, так как это ведет к большей неопределенности.

Вот графическое изображение того же:

Следовательно, графическое представление нормального распределения через его среднее значение и стандартное отклонение позволяет представить как доходность, так и риск в пределах четко определенного диапазона.

Это помогает знать (и быть уверенным с уверенностью), что если некоторый набор данных следует нормальному шаблону распределения, его среднее значение позволит нам узнать, какие результаты ожидать, а его стандартное отклонение позволит нам узнать, что около 68% значений будет в пределах 1 стандартного отклонения, 95% в пределах 2 стандартных отклонений и 99% значений будут в пределах 3 стандартных отклонений. Набор данных со средним значением 1,5 и стандартным отклонением 1 намного более рискован, чем другой набор данных, имеющий среднее значение 1,5 и стандартное отклонение 0,1.

Знание этих значений для каждого выбранного актива (т.е. акций, облигаций и фондов) позволит инвестору узнать об ожидаемой доходности и рисках.

Эту концепцию легко применить и представить риск и доходность одной отдельной акции, облигации или фонда. Но можно ли это распространить на портфель из нескольких активов?

Физические лица начинают торговать с покупки отдельной акции или облигации или инвестирования в паевой инвестиционный фонд. Постепенно они, как правило, увеличивают свои активы и покупают несколько акций, фондов или других активов, тем самым создавая портфель. В этом инкрементальном сценарии люди создают свои портфели без стратегии или предусмотрительности. Профессиональные управляющие фондами, трейдеры и маркет-мейкеры следуют систематическому методу построения своего портфеля с использованием математического подхода, называемого современной теорией портфеля (MPT), который основан на концепции «нормального распределения».

Современная теория портфеля

Современная теория портфелей (MPT) предлагает систематический математический подход, цель которого – максимизировать ожидаемую доходность портфеля при заданной сумме портфельного риска путем выбора пропорций различных активов. С другой стороны, он также предлагает минимизировать риск для заданного уровня ожидаемой доходности.

Для достижения этой цели активы, которые должны быть включены в портфель, не следует выбирать исключительно на основе их собственных индивидуальных достоинств, а вместо этого на основании того, как каждый актив будет работать по сравнению с другими активами в портфеле.

Вкратце, MPT определяет, как наилучшим образом достичь диверсификации портфеля для достижения наилучших возможных результатов: максимальная доходность при приемлемом уровне риска или минимальная прибыль при желаемом уровне доходности.

Строительные блоки

MPT был настолько революционной концепцией, когда был представлен, что его изобретатели получили Нобелевскую премию. Эта теория успешно предоставила математическую формулу для диверсификации инвестиций.

Диверсификация – это метод управления рисками, который устраняет риск «все яйца в одной корзине» путем инвестирования в некоррелированные акции, сектора или классы активов. В идеале положительная динамика одного актива в портфеле нейтрализует отрицательную динамику других активов.

Чтобы взять среднюю доходность портфеля, состоящего из n различных активов, рассчитывается пропорционально взвешенная комбинация доходностей составляющих активов.

Из-за характера статистических расчетов и нормального распределения общая доходность портфеля (R p ) рассчитывается как:

Сумма (∑), где w i – пропорциональный вес актива i в портфеле, R i – доходность (средняя) актива i.

Риск портфеля (или стандартное отклонение) является функцией корреляции включенных активов для всех пар активов (по отношению друг к другу в паре).

Из-за характера статистических расчетов и нормального распределения общий риск портфеля (Std-dev) p рассчитывается как:

(Sтd-dеv)пзнак равноsqрт
Взаимодействие с другими людьми(Std-dev)пВзаимодействие с другими людьмизнак равносqrт[я∑Взаимодействие с другими людьмиj∑Взаимодействие с другими людьмишяВзаимодействие с другими людьмишjВзаимодействие с другими людьми(стд-dev)яВзаимодействие с другими людьми(стд-dev)jВзаимодействие с другими людьми(cor-cofяjВзаимодействие с другими людьми)]Взаимодействие с другими людьми

Здесь cor-cof – это коэффициент корреляции между доходностью активов i и j, а sqrt – квадратный корень.

Это обеспечивает относительную производительность каждого актива по отношению к другому.

Хотя это кажется математически сложным, применяемая здесь простая концепция включает в себя не только стандартные отклонения отдельных активов, но и связанные друг с другом.

Хороший пример можно найти здесь из Вашингтонского университета.

Краткий пример MPT

В качестве мысленного эксперимента давайте представим, что мы – управляющий портфелем, которому был предоставлен капитал и перед которым поставлена ​​задача определить, сколько капитала следует распределить между двумя доступными активами (A и B), чтобы ожидаемая доходность была максимальной, а риск снизился.

Также доступны следующие значения:

( Стандартное отклонение ) a = 0,258

(Стандартное отклонение) b = 0,115

( Стандартное отклонение ) ab = -0,004875

(Cor-cof) ab = -0,164

Начиная с равного распределения 50-50 для каждого актива A и B, R p составляет 0,115, а (Std-dev) p – 0,1323. Простое сравнение показывает, что для этого портфеля из двух активов доходность и риск находятся на полпути между индивидуальной стоимостью каждого актива.

Однако наша цель состоит в том, чтобы повысить доходность портфеля, превышающую простой средний показатель для каждого отдельного актива, и снизить риск, чтобы он был ниже, чем у отдельных активов.

Давайте теперь возьмем позицию распределения капитала 1,5 в активе A и позицию распределения капитала -0,5 в активе B. (Отрицательное распределение капитала означает, что полученный капитал и полученный капитал используются для покупки излишка другого актива с положительным распределением капитала. Другими словами, мы продаем акцию B на сумму, равную 0,5 капитала, и используем эти деньги для покупки акции A на сумму, в 1,5 раза превышающую капитал.)

Используя эти значения, мы получаем R p как 0,1604 и (Std-dev) p как 0,4005.

Точно так же мы можем продолжать использовать разные веса распределения для активов A и B и прийти к разным наборам Rp и (Std-dev) p. По желаемой доходности (Rp) можно выбрать наиболее приемлемый уровень риска (std-dev) p. В качестве альтернативы для желаемого уровня риска можно выбрать наилучшую доступную доходность портфеля. В любом случае с помощью этой математической модели теории портфелей можно достичь цели создания эффективного портфеля с желаемой комбинацией риска и доходности.

Использование автоматизированных инструментов позволяет легко и плавно определять наилучшие возможные пропорции легко, без необходимости в длительных ручных вычислениях.

Эффективная граница, то Capital Asset Pricing Model (CAPM) и цены активов, используя MPT также развивается из одной и той же нормальной модели распределения и расширение MPT.

Проблемы MPT (и лежащего в основе нормального распределения)

К сожалению, ни одна математическая модель не является совершенной, и каждая из них имеет недостатки и ограничения.

Основное предположение о том, что доходность акций следует за нормальным распределением, снова и снова подвергается сомнению. Существует достаточно эмпирических доказательств того, что значения не соответствуют предполагаемому нормальному распределению. Основание сложных моделей на таких допущениях может привести к результатам с большими отклонениями.

Если углубиться в MPT, расчеты и предположения о коэффициенте корреляции и ковариации, остающихся фиксированными (на основе исторических данных), не обязательно верны для будущих ожидаемых значений. Например, рынок облигаций и фондовый рынок продемонстрировали идеальную корреляцию на рынке Великобритании с 2001 по 2004 год, когда доходность обоих активов снизилась одновременно. На самом деле обратное наблюдалось на протяжении долгих исторических периодов до 2001 года.

В этой математической модели не учитывается поведение инвесторов. Налогами и операционными издержками пренебрегают, хотя предполагается дробное распределение капитала и возможность сокращения активов.

В действительности ни одно из этих предположений не может быть верным, а это означает, что полученная финансовая прибыль может значительно отличаться от ожидаемой прибыли.

Математические модели предоставляют хороший механизм для количественной оценки некоторых переменных с помощью отдельных отслеживаемых чисел. Но из-за ограниченности предположений модели могут потерпеть неудачу.

Нормальное распределение, которое составляет основу теории портфеля, не обязательно может применяться к ценовым моделям акций и других финансовых активов. Теория портфеля сама по себе содержит множество предположений, которые следует критически изучить, прежде чем принимать важные финансовые решения.

Источник