Как правильно считать реальную доходность с учетом инфляции?
Автор: Алексей Мартынов · Опубликовано 03.07.2015 · Обновлено 02.12.2018
Наверно все знают, что реальная доходность — это доходность за вычетом инфляции. Все дорожает — продукты, товары, услуги. По данным Росстата за последние 15 лет цены выросли в 5 раз. Это означает, что покупательная способность денег, просто лежавших все это время в тумбочке уменьшилась в 5 раз, раньше могли купить 5 яблок, теперь 1.
Чтобы хоть как-то сохранить покупательную способность своих денег, люди их вкладывают в различные финансовые инструменты: чаще всего это депозиты, валюта, недвижимость. Более продвинутые используют, акции, ПИФы, облигации, драгметаллы. С одной стороны сумма вложений растет, с другой происходит их обесценивание из-за инфляции. Если из номинальной ставки доходности вычесть ставку инфляции, получится реальная доходность. Она может быть положительной или отрицательной. Если доходность положительная, ваши вложения приумножились в реальном выражении, то есть вы можете купить больше яблок, если отрицательная — обесценились.
Большинство инвесторов считают реальную доходность по простой формуле:
Но данный способ неточен. Приведу пример: возьмем 200 рублей и положим их на депозит на 15 лет со ставкой 12% годовых. Инфляция за этот период 7% в год. Если считать реальную доходность по простой формуле, то получится 12-7=5%. Проверим этот результат, посчитав на пальцах.
За 15 лет при ставке 12% годовых 200 рублей превратятся в 200*(1+0,12)^15=1094,71. Цены за это время вырастут в (1+0,07)^15=2,76 раз. Чтобы посчитать реальную доходность в рублях делим сумму на депозите на коэффициент инфляции 1094,71/2,76=396,63. Теперь, чтобы перевести реальную доходность в проценты считаем (396,63/200)^1/15 -1 *100% = 4,67%. Это отличается от 5%, то есть проверка показывает, что расчет реальной доходности «простым» способом не точен.
Чтобы правильно рассчитать реальную доходность, нужно применять формулу:
Real Rate of Return — реальная доходность
nominal rate — номинальная ставка доходности
inflation rate — инфляция
Проверяем:
(1+0,12)/(1+0,07)-1 * 100%=4,67% Сходится, значит формула верная.
Еще одна формула, которая дает тот же результат, выглядит так:
Источник
Расчетно-графическая работа
по курсу «Финансовая математика»
1-10. а) Первоначальная сумма Pруб. помещена в банк на срок nлетпод i%годовых (проценты простые). Найти наращенную сумму, эквивалентные значения простой учетной ставки, сложной номинальной процентной ставки (проценты начисляются m раз в году). Найти наращенную сумму, если ставка налога на проценты q%. Уровень инфляции за рассматриваемый период оказался равным α%. Какова реальная доходность операции?
б) Первоначальная сумма P руб., наращенная сумма Sруб., процентная ставка i%годовых (проценты простые). Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма P руб., наращенная сумма Sруб., период начисления nлет. Найти простую процентную ставку.
г) Первоначальная сумма P руб. помещена в банк на срок с aпоbпод i%годовых (проценты простые). Найти наращенную сумму в английской, немецкой и французской практиках.
| Вариант | P | n | i | q | m | α | S | a | b |
| 0,5 | 1,1 | 12.03 | 27.08 | ||||||
| 0,25 | 1,2 | 03.04 | 15.09 | ||||||
| 0,75 | 1,3 | 11.05 | 09.10 | ||||||
| 0,5 | 1,4 | 17.06 | 23.11 | ||||||
| 0,25 | 1,5 | 24.07 | 05.12 | ||||||
| 0,75 | 1,6 | 23.03 | 14.08 | ||||||
| 0,5 | 1,7 | 16.04 | 26.09 | ||||||
| 0,25 | 1,8 | 19.05 | 21.10 | ||||||
| 0,75 | 1,9 | 24.06 | 09.11 | ||||||
| 0,75 | 11.07 | 15.12 |
11-20.а) Первоначальная сумма Pруб. помещена в банк на срок nлетпод простую учетную ставку d%годовых. Найти наращенную сумму, эквивалентные значения простой процентной ставки, сложной процентной ставки, сложной номинальной процентной ставки (проценты начисляются m раз в году). Найти наращенную сумму, если ставка налога на проценты q%. Уровень инфляции за рассматриваемый период оказался равным α %. Какова реальная доходность операции?
б) Первоначальная сумма P руб., наращенная сумма Sруб., простая учетная ставка d%годовых. Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма P руб., наращенная сумма Sруб., период начисления nлет. Найти простую учетную ставку.
г) Первоначальная сумма Pруб. помещена в банк на срок с aпоbпод простую учетную ставку d%годовых. Найти наращенную сумму в английской, немецкой и французской практиках.
| Вариант | P | n | d | m | α | S | a | b | q |
| 0,5 | 1,1 | 12.03 | 27.08 | ||||||
| 0,25 | 1,2 | 03.04 | 15.09 | ||||||
| 0,75 | 1,3 | 11.05 | 09.10 | ||||||
| 0,5 | 1,4 | 17.06 | 23.11 | ||||||
| 0,25 | 1,5 | 24.07 | 05.12 | ||||||
| 0,75 | 1,6 | 23.03 | 14.08 | ||||||
| 0,5 | 1,7 | 16.04 | 26.09 | ||||||
| 0,25 | 1,8 | 19.05 | 21.10 | ||||||
| 0,75 | 1,9 | 24.06 | 09.11 | ||||||
| 0,75 | 11.07 | 15.12 |
21-30.а) Первоначальная сумма Pруб. помещена в банк на срок nлетпод i%годовых (проценты сложные). Найти наращенную сумму, эквивалентные значения простой учетной ставки, простой процентной ставки, сложной номинальной процентной ставки (проценты начисляются m раз в году). Найти наращенную сумму, если ставка налога на проценты q%. Уровень инфляции за рассматриваемый период оказался равным α %. Какова реальная доходность операции?
б) Первоначальная сумма P руб., наращенная сумма Sруб., процентная ставка i%годовых (проценты сложные). Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма P руб., наращенная сумма Sруб., период начисления nлет. Найти сложную процентную ставку.
г) Первоначальная сумма Pруб. помещена в банк на срок nлет под i%годовых. Найти наращенную сумму в случае непрерывного начисления процентов.
| Вариант | P | n | i | m | α | S | q |
| 1,1 | |||||||
| 1,2 | |||||||
| 1,3 | |||||||
| 1,4 | |||||||
| 1,5 | |||||||
| 1,6 | |||||||
| 1,7 | |||||||
| 1,8 | |||||||
| 1,9 |
31-40. а) Размер ежегодных платежей Rруб., срок nлет, проценты начисляются по сложной процентной ставке i%годовых. Найти наращенную (будущую) сумму и современную стоимость простых рент постнумерандо и пренумерандо. Преобразовать эту простую ренту в общую ренту (проценты начисляются m раз в году, pплатежей в году).
б) Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке i%годовых для накопления через nлет суммы Sруб.
в) Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке i%годовых для погашения в течение nлет долга Aруб.
г) Размер ежегодных платежей Rруб., процентная ставка i%годовых,наращенная сумма Sруб. Определить сроки простых рент постнумерандо и пренумерандо.
д)Размер ежегодных платежей Rруб.,процентная ставка i%годовых, современная стоимость Aруб.Определить сроки простых рент постнумерандо и пренумерандо.
е) Определить, под какую процентную ставку нужно вносить каждый год Rруб., чтобы через nлет накопить сумму Sруб. (для рент постнумерандо и пренумерандо).
з) Простая рента с ежегодными платежами Rруб.,процентной ставкой i%годовых и сроком nлет отложена на t лет. Найти наращенную сумму и современную стоимость ренты.
и) Найти наращенную (будущую) сумму и современную стоимость общей ренты (проценты начисляются m раз в году, pплатежей в году). Размер платежей W руб., срокnлет, проценты начисляются по сложной процентной ставке i%годовых. Заменить эту ренту простой рентой.
к) Современная стоимость бессрочной ренты постнумерандо A, процентная ставка i. Найти размер ежегодных выплат.
л) Найти современную стоимость общих бессрочных рент постнумерандо и пренумерандо (проценты начисляются m раз в году, pплатежей в году). Размер платежей W руб.
| Вариант | R | n | i | S | A | t | W | m | p |
41-50.Банк выдает кредит на сумму A, срокnлет, процентная ставка i%годовых. Составить различные планы погашения долга (аннуитет; дифференцированный платеж; «грабительский»; по 10% от всего долга ежемесячно, остаток в конце периода(облигации)).
| Вариант | A | n | i |
| Вариант | A | n | i |
51-60.10 августа заемщик обратился за получением ломбардного кредита и предоставил в залог ценности на сумму P руб. Сумма ломбардного кредита – a% от стоимости залога, процентная ставка i%годовых. Определить величину кредита.
Затем 10 ноября заемщик перечислил F руб. Распределите эту сумму на выплату основного долга и проценты, найти остаток долга.
| Вариант | P | a | i | F |
61-70.Заемщик должен одному кредитору P1руб. (срок погашения a, процентная ставка i1% годовых), P2 руб. (срок погашения b,процентная ставка i2% годовых), P3 руб. (срок погашения c,процентная ставка i3% годовых). Когда лучше выплатить весь долг сразу (процентная ставка is% годовых), чтобы при этом не понесли ущерба ни кредитор, ни заемщик?
| Вариант | P1 | i1 | P2 | i2 | P3 | i3 | a | b | c | is |
| 12.03 | 17.06 | 27.08 | ||||||||
| 03.04 | 23.07 | 15.09 | ||||||||
| 11.05 | 25.08 | 09.10 | ||||||||
| 17.06 | 04.07 | 23.11 | ||||||||
| 24.07 | 16.09 | 05.12 | ||||||||
| 23.03 | 09.06 | 14.08 | ||||||||
| 16.04 | 03.06 | 26.09 | ||||||||
| 19.05 | 07.09 | 21.10 | ||||||||
| 24.06 | 12.08 | 09.11 | ||||||||
| 11.07 | 05.10 | 15.12 |
71-80.При открытии счета до востребования числа aна него была положена суммаP1руб. Числа bна счет поступили P2 руб.Числа ссо счета были сняты P3 руб. 23 декабря счет был закрыт. Процентная ставка i%годовых. Используется французская практика. Определить сумму, которую получил владелец счета.
| Вариант | P1 | P2 | P3 | a | b | c | i |
| 12.03 | 17.06 | 27.08 | |||||
| 03.04 | 23.07 | 15.09 | |||||
| 11.05 | 25.08 | 09.10 | |||||
| 17.06 | 04.07 | 23.11 | |||||
| 24.07 | 16.09 | 05.12 | |||||
| 23.03 | 09.06 | 14.08 | |||||
| 16.04 | 03.06 | 26.09 | |||||
| 19.05 | 07.09 | 21.10 | |||||
| 24.06 | 12.08 | 09.11 | |||||
| 11.07 | 05.10 | 15.12 |
81-90. Схема налога на проценты: a% с части дохода от 0 до 5000 руб., b% с части дохода от 5000 до 15000 руб., c% с части дохода от 15000 до 30000 руб., d% с части дохода от 30000 до 50000 руб. и f% с части дохода свыше 50000 руб. Начисленные проценты Pруб. Найти среднюю стаыку налога.
| Вариант | P | a | b | c | d | f |
91-100.а) При выдаче кредита на срок bлет по простой процентной ставке i%годовых удерживаются комиссионные h% суммы ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффективной ставки простых процентов.
б) При выдаче кредита на aлет по простой процентной ставке i%годовых удерживаются комиссионные h% суммы ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффективной ставки сложных процентов.
в) При выдаче кредита на aлет по сложной процентной ставке i%годовых удерживаются комиссионные h% суммы ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффективной ставки сложных процентов.
| Вариант | a | b | i | h |
| 0,5 | 1,1 | |||
| 0,25 | 1,2 | |||
| 0,75 | 1,3 | |||
| 0,5 | 1,4 | |||
| 0,25 | 1,5 | |||
| 0,75 | 1,6 | |||
| 0,5 | 1,7 | |||
| 0,25 | 1,8 | |||
| 0,75 | 1,9 | |||
| 0,75 | 2,1 |
101-110.Известны курс A/Bспот f–gи форвардная маржа h–k(срок tдней). Найти курс форвард. Определить результат форвардной сделки по покупке валюты A.Определить результат форвардной сделки по продаже валюты A.
Определить результат свопа с валютой A. Определить результат свопа с валютой B.
| Вариант | f | g | h | k | t |
| 34,65 | 34,85 | ||||
| 34,70 | 34,94 | ||||
| 34,26 | 34,48 | ||||
| 34,35 | 34,45 | ||||
| 34,56 | 34,69 | ||||
| 34,67 | 34,81 | ||||
| 34,12 | 34,23 | ||||
| 34,24 | 34,35 | ||||
| 34,43 | 34,57 | ||||
| 34,87 | 34,99 |
111 – 120.В портфеле инвестора из страны А имеются акции трех компаний «Альфа» (страна А), «Бета» (странаB), «Гамма» (страна C).
| Вид акций | Количество акций | Цена одной акции в местной валюте в начале месяца | Цена одной акции в местной валюте в конце месяца |
| «Альфа» | W | m | n |
| «Бета» | V | t | z |
| «Гамма» | U | y | x |
Курсывалют: A/Bf (начало месяца) и g(конец месяца), A/Ch(начало месяца) иk (конец месяца). Определить доходность портфеля акций по составляющим и в целом.
Источник