Таблица смертности при норме доходности

Тема 4. Основы построения страховых тарифов

Вопрос 4. Определение тарифов по страхованию жизни.

Сплетухов Ю.А., Дюжиков Е.Ф., Страхование: Учеб. пособие. – М.: Инфра-М, 2005. – 312 с. (стр.245-254, с сокращениями)

11.3. Основы определения тарифов по страхованию жизни

Страховые случаи и таблицы смертности

Так же, как и по другим видам страхования, важное место в расчете тарифов по страхованию жизни занимает определение нетто-ставки. Основными страховыми случаями здесь являются дожитие застрахованного до определенного момента (например, до окончания срока страхования, до установленного возраста или события – в дальнейшем мы будем называть это страхованием на дожитие) или его смерть в период действия договора страхования. Поэтому для исчисления нетто-ставок, по которым будут взиматься взносы в денежный фонд для осуществления страховых выплат, необходимо знать, сколько лиц, из числа застрахованных доживет до определенного момента и сколько из них умрет в течение какого-то времени. Лишь располагая такими данными, страховщик может правильно построить финансовую основу своих операций, обеспечив эквивалентность принятых обязательств по совокупности договоров страхования, с одной стороны, и взносов, уплачиваемых страхователями – с другой.

Вероятность наступления страховых случаев по страхованию жизни определяется показателями смертности населения. Продолжительность жизни отдельных людей существенно отличается и зависит от многих различных факторов. Однако наблюдения за смертностью населения показали, что она подчинена закону больших чисел и зависит от возраста людей. Были разработаны специальные таблицы смертности, в которых отражается изменение уровня смертности в зависимости от возраста. Эти таблицы широко используются страховщиками для расчета тарифных ставок. Таблицы смертности имеют следующий вид (табл. 11.2).

Извлечение из таблицы смертности населения РФ, составленной по результатам переписи населения 1989 г. (городское население, оба пола)

Располагая показателями смертности, страховая компания с высокой степенью вероятности может предположить, что в течение ближайшего года из 1000 застрахованных в возрасте 40 лет может умереть 4 человека, 50 лет – 8 человек, 60 лет – 17 человек. Конечно, в отдельные годы эти цифры могут быть несколько иными, но риск больших отклонений невелик. Таким образом, страховщику становиться известно количество выплат при страховании на случай смерти. Отметим, что показатели смертности неодинаковы для городской и сельской местности, для отдельных регионов и особенно для мужчин и женщин (дл последних они ниже). Все эти моменты учитываются в более детальных таблицах смертности и находят отражение при построении тарифных ставок.

Таблицы смертности позволяют также узнать и вероятность дожития до определенного возраста. На протяжении какого-либо периода каждый человек либо доживет, либо не доживет до его окончания, т.е. сумма вероятностей этих событий равна единице. Зная вероятность одного из этих событий, вероятность другого определяется как разность между единицей и известной величиной.

Таким образом, таблицы смертности позволяют страховой организации определить количество выплат как по случаям смерти застрахованных, так и по случаям их дожития до определенного возраста.

Норма доходности

Отличительно особенностью страхования жизни является его долгосрочность. Договоры страхования обычно заключаются на срок от 5 до 20 и более лет, хотя страхователь может оформить страховой полис и на меньший срок, например на один год. страхователи уплачивают либо всю сумму страховой премии сразу при заключении договора, либо (что значительно чаще) в течение всего срока страхования, тогда как обязательства страховой организации по страхованию на дожитие будут исполнены при достижении оговоренного возраста. Таким образом, возникает большой разрыв во времени между поступлением взносов в страховую компанию и их использованием на страховые выплаты, т.е. страховщик получает на значительный срок денежные средства страхователей. Эти временно свободные средств страховые организации инвестируют в государственные ценные бумаги, акции, размещают на депозитных счетах в банках и по другим направлениям, получая от вложений доходы, часть которых передается страхователям. Следовательно, при определении размера нетто-ставок необходимо учесть тот доход, который получает страховщик от использования средств страхователей.

Получаемый доход зависит от величины инвестированных средств, от времени, в течение которого они находятся в распоряжении страховщика, и нормы доходности (процентной ставки). Размер установленной страховщиком нормы доходности оказывает большое влияние на уровень тарифной ставки: чем выше доходность, тем ниже тариф.

Определение неизвестной величины осуществляется с помощью математических расчетов. Для их упрощения вводится специальный показатель, называемый дисконтирующим множителем , или дисконтом. Этот показатель представляет собой современную стоимость будущей выплаты в 1 руб. и позволяет определить, сколько нужно внести средств страхователям сегодня, чтобы через несколько лет с учетом оговоренной нормы доходности страховщик имел необходимый для выплат фонд денежных средств.

Дисконтирующие множители рассчитываются заранее и сводятся в специальные таблицы, которые используются при расчете страховых тарифов. (табл. 11.4).

Дисконтирующие множители

Для исчисления суммы, которую нужно внести сегодня в расчете на получение через известное число лет при установленной норме доходности запланированной величины, надо последнюю умножить на дисконт. В результате будет определена современная стоимость будущей выплаты. Так, для того чтобы через 10 лет получить 100000 руб. при норме доходности 7%, надо внести в настоящее время 50835 руб. (100000*0,50835).

Таким образом, нетто-ставки по страхованию жизни исчисляются исходя из современной стоимости будущих выплат, т.е. при определении тарифов учитывают, что поступившие страховые взносы за определенный период времени увеличатся на величину дохода, который страховщик получит от инвестирования этих взносов.

Единовременная нетто-ставка

По методу уплаты страховых взносов тарифы, исходя из которых рассчитываются эти взносы, подразделяют на единовременные и годичные. Единовременная ставка предусматривает внесение всей суммы взносов в начале срока страхования. При заключении договора страхователь погашает все свои обязательства перед страховщиком, и договор в дальнейшем действует без уплаты дополнительных взносов.

Рассчитаем сначала единовременную нетто-ставку по обязательствам, связанным с дожитием застрахованного до определенного момента. В данном случае страховщик принимает на себя обязанность выплатить застрахованному установленную в договоре страховую сумму при условии, что последний доживет до обусловленного времени (например, до окончания договора, заключенного на 5 лет). Если же застрахованный умрет ранее наступления этого момента, то страховщик освобождается от каких-либо выплат.

Второй вид обязательств страховщика – смерть застрахованного. По договору страховании на случай смерти, заключенному на определенный срок (например, на 5 лет), страховая сумма выплачивается только в том случае, когда смерть застрахованного наступила в период действия этого договора. Для расчета тарифов надо установить современную стоимость всей суммы выплат, которые страховщику предстоит произвести в течение 5 лет.

Расчеты по различным возрастам застрахованных и разным срокам страхования показывают, что величина ставки увеличивается с ростом возраста застрахованных в момент заключения договора и уменьшается при сокращении срока страхования.

Кроме страхования на случай смерти на определенный срок, существуют договоры пожизненного страхования, в которых не оговаривается конкретный период их действия. По каждому такому договору страховая сумма обязательно выплачивается, так как срок страхования не ограничен и, следовательно, страховой случай (смерть застрахованного) наступит всегда. В данном случае при расчете тарифов выплаты страховщика определяются за каждый последующий год вплоть до конца таблицы смертности.

В страховой практике применяются договоры страхования, в которых сочетаются обязательства страховщика на случай дожития застрахованного до окончания срока страхования и его смерти в период действия этого договора (смешанное страхование жизни). Нетто-ставка по такому страхованию есть сумма ставок по отдельным видам обязательств. А поскольку размер тарифа по каждому страховому случаю имеет разнонаправленную зависимость от возраста застрахованных, то общая нетто-ставка по смешанному страхованию жизни лишь незначительно изменяется в сторону увеличения при повышении возраста застрахованных.

Годичные нетто-ставки

Величина годичных нетто-ставок выше единовременных в силу следующих обстоятельств. Во-первых, при годичных взносах (например, при 5-летнем сроке страхования) страховщик располагает лишь частью средств и, следовательно, получаемый доход от инвестиций будет меньше, чем при единовременной их уплате. Во-вторых, по ряду договоров будут уплачены не все годичные взносы вследствие ежегодной смерти застрахованных в период срока страхования, тогда как при единовременном внесении средств все страхователи уплачивают свои взносы сполна.

Таким образом, при определении годичных нетто-ставок нельзя просто разделить единовременный тариф на число лет страхования. Необходим специальный расчет, при котором годичные ставки учитывали бы потерю дохода от инвестиций и уменьшение числа застрахованных. переход от единовременных нетто-ставок к годичным осуществляется с помощью коэффициентов рассрочки, т.е. путем деления единовременной ставки на соответствующий коэффициент. В таблице 5 приведены коэффициенты рассрочки, рассчитанные исходя из нормы доходности 7%.

Источник

Практикум 4. Личное страхование

Расчет тарифных ставок по страхованию жизни

Расчет тарифных ставок по страхованию жизни имеет определенные особенности. Размер ставки зависит как от возраста застрахованного, так и от срока страхования, а также, от некоторых других факторов. В основу расчета тарифных ставок по страхованию жизни положены так называемые таблицы смертности.

В предложенных задачах для расчетов используются таблицы смертности (см. Приложение 1) и построенные на их основе таблицы коммутационных чисел (см. Приложение 2).

Задача 1. Для лица в возрасте 42 лет рассчитайте:

1. Вероятность прожить еще один год;
2. Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;
3. Вероятность прожить еще три года;
4. Вероятность умереть в течение предстоящих трех лет;
5. Вероятность умереть на четвертом году жизни (в возрасте 46 лет).

Задача 2. Для лица в возрасте 43 лет рассчитайте:

1. Вероятность прожить еще один год;
2. Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;
3. Вероятность прожить еще три года;
4. Вероятность умереть в течение предстоящих трех лет;
5. Вероятность умереть на четвертом году жизни (в возрасте 47 лет).

Задача 3. Рассчитайте для лица в возрасте 46 лет:

1. Вероятность прожить еще один год;
2. Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;
3. Вероятность прожить еще три года;
4. Вероятность умереть в течение предстоящих трех лет;

Методические рекомендации по решению задач 1 – 3

• вероятность смерти (g_x) при переходе от возраста х,к возрасту (х+1) лет:

где d_x – число умирающих при переходе от возраста х к возрасту (х+1) лет;

• вероятность дожития (р_х) лица в возрасте хлет до возраста (х+1) лет;

Пример. Для лица в возрасте 45 лет рассчитайте:

• Вероятность прожить еще один год.
• Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни.
• Вероятность прожить еще два года.
• Вероятность умереть в течение предстоящих двух лет.
• Вероятность умереть на третьем году жизни в возрасте 48 лет.

Решение.

Определяем для лица в возрасте 45 лет:

Вероятность прожить еще один год

Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни

Вероятность прожить еще два года

Вероятность умереть в течение предстоящих двух лет

Задача 4. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности – 8 %. Страховая сумма – 25 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке – 10 %. (данные для решения задачи см. в Приложении 1).

Задача 5. Страхователь в возрасте 44 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на пять лет (норма доходности – 8 %, страховая сумма – 20 тыс. руб., доля нагрузки – 9 %).

Определите через коммутационные числа (см. Приложение 2):

• единовременную нетто-ставку, брутто ставку и брутто-премию;
• годовую нетто-ставку, брутто-ставку и брутто-премию.

Что выгоднее для страхователя: платить взносы по частям ежегодно или единовременно?

Задача 6. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года с использованием коммутационных чисел. Норма доходности – 8%. Страховая сумма – 25 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке – 10% (данные для решения задачи см. в Приложении 2).

Задача 7. Рассчитайте единовременную нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы по страхованию гражданина на случай смерти через 5лет, используя коммутационные числа. Известно, что возраст страхователя 41 год, срок страхования 5 лет. Коммутационные числа: М₄₁=10992; М₄₅= 10502; D₄₁=27341.

Задача 8. Страхователь в возрасте 42 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на два года (норма доходности – 8%.)

1. Единовременную нетто-ставку на случай смерти двумя способами:
   • используя данные таблицы смертности;
   • используя коммутационные числа.
2. Годовую нетто-ставку.
3. Брутто-ставку (единовременную и годовую), если нагрузка составляет 11 %.
4. Брутто-премию (единовременную и годовую), если страховая сумма – 30 тыс. руб.

Задача 9. Для страхователя в возрасте 41 года, заключившего договор страхования жизни сроком на два года (норма доходности – 8 %, страховая сумма – 15 тыс. руб.) рассчитайте:

1. Размер единовременной нетто-ставки на дожитие и на случай смерти рассчитайте двумя способами:
   • используя данные таблицы смертности;
   • через коммутационные числа;
2. Размер единовременной брутто-ставки при смешанном страховании жизни (в рублях на 100 руб. страховой суммы), если доля нагрузки в брутто-ставке – 11 %;
3. Единовременную брутто-премию при смешанном страховании жизни.

Методические рекомендации по решению задач 4–9

Единовременная ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования т лет в расчете на 100 руб. страховой суммы (_nE_x) определяется:

где l_x+n – число лиц, доживающих до возраста x + n (берется из таблицы смертности);

l_x – число лиц, подлежащих страхованию (достигших возраста х лет из 100000 родившихся);

V n – дисконтный множитель, который определяется по формуле:

где i – норма доходности инвестиций;

n – срок страхования.

Единовременная нетто-ставка (_nA_z) на случай смерти на определенный срок вычисляется:

где – число лиц, умирающих при переходе от х лет к возрасту (х+1) по годам за срок страхования.

При смешанном страховании на дожитие и на случай смерти рассчитывается совокупная нетто-ставка:

Брутто-ставка определяется по формуле:

где f – доля нагрузки в брутто-ставке (%).

Пример. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности – 8 %. Страховая сумма – 25 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке – 10 %.

Решение.

1. Единовременные нетто-ставки для лица в возрасте 45 лет сроком на 3 года:

со 100 руб. страховой суммы.

1.2. На случай смерти:

3,22 руб. со 100 руб. страховой суммы.

1.3. При смешанном страховании жизни:

2. Единовременную брутто-ставку при смешанном страховании жизни:

88,5 руб. со 100 руб. страховой суммы.

3. Единовременную брутто-премию:

Для упрощения расчетов тарифных ставок по страхованию жизни применяются специальные показатели – коммутационные числа.

Страховой взнос для возраста Х:

Страховые выплаты для возраста Х:

Фонд страховых взносов:

Выплаты для совокупности страхователей:

Фонд страхового запаса:

V – дисконтирующий множитель;

l – число лиц, доживающих до возраста Х лет;

n – процентная ставка капитала в долях единицы;

ω – предельный возраст по таблице смертности.

В результате преобразований формулы расчета нетто-ставок через коммутационные числа примут вид:

Для расчета единовременной нетто-ставки на случай смерти при страховании на определенный срок используется формула:

Для расчета единовременной нетто-ставки для пожизненного страхования на случай смерти применяется формула:

Единовременная нетто-ставка на дожитие рассчитывается по формуле:

Годовая нетто-ставка (взнос уплачивается в начале страхового года) для лица в возрасте х лет на дожитие при сроке страхования n лет:

Годовая нетто-ставка (взнос уплачивается в начале страхового года) для лица в возрасте х лет на случай смерти при страховании на определенный срок:

Пример. По данным предыдущего примера рассчитать нетто-ставки по вышеуказанным формулам через коммутационные числа, используя таблицы.

Решение.

1. Единовременную нетто-ставку для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года:

1.2. На случай смерти:

2. Единовременную нетто-ставку на случай смерти для лица в возрасте 45 лет при пожизненном страховании:

3. Годовую нетто-ставку (взнос уплачивается в начале страхового года):

3.1. На дожитие для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года:

3.2. При страховании на случай смерти для лица в возрасте 45 лет на 3 года:

3.3. При пожизненном страховании на случай смерти:

Вопросы для самостоятельного рассмотрения

1. Определите основные особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни.
2. Назовите базовые типы договоров страхования жизни.
3. Дайте определение формам и видам страхования от несчастных случаев в РФ.
4. Определите особенности установления размера страховых выплат по добровольному страхованию от несчастных случаев в зависимости от степени потери трудоспособности в результате несчастного случая.
5. Определите особенности организации обязательного медицинского страхования (ОМС) в РФ.
6. В чем состоят особенности организации добровольного медицинского страхования (ДМС) в РФ?

Приложение 1

Выписка из таблицы смертности

Возраст в годах (x)

Число доживающих до возраста х лет (l_x)

Число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1 лет (d_x)

Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (q_x)

Вероятность дожить до возраста х+1 лет (p_x)

Источник