Стандартное отклонение доходности ценной бумаги это

Стандартное отклонение доходности портфеля

При определении среднеквадратического или стандартного отклонения доходности портфеля возникает проблема, связанная с тем, что портфель состоит из двух и более активов (например, акций), каждый из которых имеет свое стандартное отклонение доходности. При этом каждый из активов вносит свой компонент риска в соответствии со своим удельным весом. Расчет общего риска как средневзвешенного по всем компонентам является в корне неправильным подходом. Это связано с тем, что существует определенная взаимосвязь между доходностью активов, которая может быть как прямой, так и обратной.

Оценка тесноты и характера взаимосвязи производится на основании коэффициента корреляции, который может находиться в диапазоне от -1 до +1. Значения +1 и -1 говорят о том, что между доходностью двух активов существует функциональная зависимость (прямая и обратная, соответственно). На практике эти значения не встречаются, поэтому рассмотрим эту концепцию на примере двух коэффициентов корреляции: +0,7 и -0,3. Положительный коэффициент говорит, что между доходностями существует довольно тесная прямая зависимость. Другими словами, если доходность первого актива будет расти, то и доходность другого актива будет также расти, но не в той же самой мере, что и доходность первого. Отрицательный коэффициент -0,3 свидетельствует о существовании слабой обратной взаимосвязи. В этом случае рост доходности одного актива будет частично нивелирован снижением доходности другого и наоборот. Это приводит к тому, что при оценке стандартного отклонения доходности портфеля должны быть учтены взаимосвязи доходности активов, входящих в него.

Формула

В общем виде формулу расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из N активов, можно представить в следующем виде:

где N – количество активов (ценных бумаг), входящих в портфель;

w_i – удельный вес i-го актива в портфеле;

w_j — удельный вес j-го актива в портфеле;

σ (k_i) – стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива;

Cov (k_i, k_j) – ковариация доходности i-го и j-го актива.

Представленную выше формулу можно преобразовать, используя формулу коэффициента корреляции.

где σ (k_j) — стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива.

После преобразования она приобретет следующий вид:

где R(k_i, k_j) – коэффициент корреляции доходности i-го и j-го актива.

Если развернуть это выражение для портфеля, состоящего из двух активов A и B, то оно будет выглядеть следующим образом:

Поскольку третье и четвертое слагаемые равны между собой, то формулу стандартного отклонения портфеля для двух активов можно записать в виде.

Для портфеля, состоящего из трех активов A, B и C, формула будет выглядеть так:

С увеличением количества активов уравнение будет становиться все более громоздкой.

Пример

Рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля, который сформирован из трех ценных бумаг в следующих пропорциях:

• 25% акций Компании A со среднеквадратическим отклонением доходности 9%;
• 35% акций Компании B со среднеквадратическим отклонением доходности 12%;
• 40% акций Компании C со среднеквадратическим отклонением доходности 7%.

При этом коэффициент корреляции доходности акций A и B RA,B = 0,6, A и C RA,C = -0,45, B C RB,C = 0,2.

Подставим исходные данные в приведенную выше формулу:

σ 2 _P = 0,252*92 + 0,352*122 + 0,42*72 + 2*0,25*0,35*0,6*9*12 + 2*0,25*0,4*(-0,45)*9*7 + 2*0,35*0,4*0,2*12*7 = 40,92

Таким образом, стандартное отклонение портфеля составит 6,4% (квадратный корень из 40,92).

Источник

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Определение

Среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation, SD) является показателем, который используется в теории вероятности и математической статистике для оценки степени рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. В инвестировании стандартное отклонение доходности ценных бумаг или портфеля используется для оценки меры риска. Чем выше степень рассеивания доходности ценной бумаги относительно ожидаемого доходности (математическое ожидание доходности), тем выше риск инвестирования, и наоборот.

Среднеквадратическое отклонение как правило обозначается греческой буквой σ (сигма), а стандартное отклонение латинской буквой S или как Std(X), где X – случайная величина.

Формула

Истинное значение среднеквадратического отклонения

Если известно точное распределение дискретной случайной величины, а именно, известно ее значение при каждом исходе и может быть оценена вероятность каждого исхода, то формула расчета среднеквадратического отклонения будет выглядеть следующим образом.

Где X_i – значение случайной величины X при i-ом исходе; M(X) математическое ожидание случайной величины X; p_i – вероятность i-го исхода; N – количество возможных исходов.

При этом математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение генеральной совокупности

На практике вместо точного распределение случайной величины обычно доступна только выборка данных. В этом случае рассчитывается оценочное значение среднеквадратического отклонения, которое в этом случае называют стандартным отклонением (S). Если оценка основывается на всей генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое генеральной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Стандартное отклонение выборки

Если используется не вся генеральная совокупность данных, а выборка из нее, то формула расчета стандартного отклонения основывается на несмещенной оценке дисперсии.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое выборки; N – объем выборки.

Примеры расчета

Пример 1

Портфельный менеджер должен оценить риски инвестирования в акции двух компаний А и Б. При этом он рассматривает 5 сценариев развития событий, информация по которым представлена в таблице.

Поскольку нам известно точное распределение доходности каждой из акций, мы можем рассчитать истинное значение среднеквадратического отклонения доходности для каждой из них.

Шаг 1. Рассчитаем математическое ожидание доходности для каждой из акций.

M(А) = -5%×0,02+6%×0,25+15%×0,40+24%×0,30+34%×0,03 = 15,62%

M(Б) = -18%×0,02+2%×0,25+16%×0,40+27%×0,30+36%×0,03 = 22,14%

Шаг 2. Подставим полученные данные в первую формулу.

Как мы можем видеть, акции Компании А характеризуются меньшим уровнем риска, поскольку у них ниже среднеквадратическое отклонение доходности. Следует также отметить, что и ожидаемая доходность у них ниже, чем у акций Компании Б.

Пример 2

Аналитик располагает данными о доходности двух ценных бумаг за последние 5 лет, которые представлены в таблице.

Поскольку точное распределение доходности неизвестно, а в распоряжении аналитика есть только выборка из генеральной совокупности данных, мы можем рассчитать стандартное отклонение выборки на основании несмещенной дисперсии.

Шаг 1. Рассчитаем ожидаемую доходность для каждой ценной бумаги как среднеарифметическое выборки.

X _А = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

X _Б = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

Шаг 2. Рассчитаем стандартное отклонение доходности для каждой из ценных бумаг по формуле для выборки из генеральной совокупности данных.

Следует отметить, что обе ценные бумаги имеют равную ожидаемую доходность 5%. При этом стандартное отклонение доходности у ценной бумаги Б ниже, что при прочих равных делает ее более привлекательным объектом инвестирования в следствие лучшего профиля риск-доходность.

Стандартное отклонение в Excel

В Excel предусмотрено две функции для расчета стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности.

Для выборки воспользуйтесь функцией «СТАНДОТКЛОН.В»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.В».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Для генеральной совокупности используется функция «СТАНДОТКЛОН.Г»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.Г».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Интерпретация

В инвестировании стандартное отклонение доходности используется в качестве меры волатильности. Чем выше его значение, тем выше риск, связанный с инвестированием в этот актив, и наоборот. При прочих равных параметрах, предпочтение следует отдавать тому активу, у которого этот показатель будет минимальным.

Источник

CFA — Дисперсия и стандартное отклонение.

Рассмотрим дисперсию и стандартное отклонение, — две наиболее широко используемые меры дисперсии для анализа финансовых данных, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.

Среднее абсолютное отклонение позволяет решить проблему, заключающуюся в том, что сумма отклонений от среднего равна нулю. Для этого при расчете среднего используется абсолютное значение отклонений.

Второй подход к расчету отклонений состоит в их возведении в квадрат.

Дисперсия и стандартное отклонение, основанные на квадрате отклонений, являются двумя наиболее широко используемыми мерами дисперсии:

• Дисперсия определяется как среднее квадратов отклонений от среднего значения.
• Стандартное отклонение — это положительный квадратный корень дисперсии.

Далее обсуждается расчет и использования дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия генеральной совокупности.

Если нам известен каждый элемент генеральной совокупности, мы можем вычислить дисперсию генеральной совокупности или просто дисперсию (англ. ‘population variance’).

Она обозначается символом σ 2 [сигма] и представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения.

Формула дисперсии генеральной совокупности.

\(\mathbf< \sigma^2 = < \sum_^ ( X_i — \mu )^2 \over N > >\) (формула 11),

где μ [мю] — это среднее генеральной совокупности, а N — размер генеральной совокупности.

Зная среднее значение μ, мы можем использовать Формулу 11 для вычисления суммы квадратов отклонений от среднего с учетом всех N элементов в генеральной совокупности, а затем для определения среднего квадратов отклонений путем деления этой суммы на N.

Независимо от того, является ли отклонение от среднего положительным или отрицательным, возведение в квадрат этой разности дает положительное число.

Таким образом, дисперсия решает проблему отрицательных отклонений от среднего значения, устраняя их посредством операции возведения в квадрат этих отклонений.

Рассмотрим пример.

Прибыль в процентах от выручки для оптовых клубов BJ’s Wholesale Club, Costco и Walmart за 2012 год составляла 0.9%, 1.6% и 3.5% соответственно. Мы рассчитали среднюю прибыль в процентах от выручки как 2.0%.

Следовательно, дисперсия прибыли в процентах от выручки составляет:

(1/3)[(0.9 — 2.0) 2 + (1.6 — 2.0) 2 + (3.5 — 2.0) 2 ]
= (1/3)(-1.1 2 + -0.4 2 + 1.5 2 )
= (1/3)(1.21 + 0.16 + 2.25) = (1/3)(3.62) = 1.21.

Стандартное отклонение генеральной совокупности.

Поскольку дисперсия измеряется в квадратах, нам нужен способ вернуться к исходным единицам. Мы можем решить эту проблему, используя стандартное отклонение, т.е. квадратный корень из дисперсии.

Стандартное отклонение легче интерпретировать, чем дисперсию, поскольку стандартное отклонение выражается в той же единице измерения, что и наблюдения.

Формула стандартного отклонения генеральной совокупности.

Стандартное отклонение генеральной совокупности (или просто стандартное отклонение, а также среднеквадратическое отклонение, от англ. ‘population standard deviation’), определяемое как положительный квадратный корень из дисперсии генеральной совокупности, составляет:

\(\mathbf< \sigma = \sqrt<\sum_^ ( X_i — \mu )^2 \over N> >\) (формула 12),

где μ [мю] — это среднее генеральной совокупности, а N — размер генеральной совокупности.

Используя пример прибыли в процентах от выручки для оптовых клубов BJ’s Wholesale Club, Costco и Walmart за 2012 год, в соответствии с Формулой 12, мы вычислим дисперсию 1.21, а затем возьмем квадратный корень: \( \sqrt <1.21>\) = 1.10.

Как дисперсия, так и стандартное отклонение являются примерами параметров распределения. В последующих чтениях мы введем понятие дисперсии и стандартного отклонения как меры риска.

Занимаясь инвестициями, мы часто не знаем среднего значения интересующей совокупности, обычно потому, что мы не можем практически идентифицировать или провести измерения для каждого элемента генеральной совокупности.

Поэтому мы рассчитываем среднее значение по генеральной совокупности и среднее выборки, взятой из совокупности, и вычисляем выборочную дисперсию или стандартное отклонение выборки, используя формулы, немного отличающиеся от Формул 11 и 12.

Мы обсудим эти вычисления далее.

Однако в инвестициях у нас иногда есть определенная группа, которую мы можем считать генеральной совокупностью. Для четко определенных групп наблюдений мы используем Формулы 11 и 12, как в следующем примере.

Пример расчета стандартного отклонения для генеральной совокупности.

В Таблице 20 представлен годовой оборот портфеля из 12 фондов акций США, которые вошли в список Forbes Magazine Honor Roll 2013 года.

Журнал Forbes ежегодно выбирает американские взаимные фонды, отвечающие определенным критериям для своего почетного списка Honor Roll.

• сохранение капитала (эффективность на медвежьем рынке),
• непрерывность управления (у фонда должен управлять менеджер непрерывно, в течение не менее 6 лет), диверсификация портфелей,
• доступность (дисквалификация фондов, которые закрыты для новых инвесторов), и
• долгосрочные показатели эффективности после уплаты налогов.

Оборачиваемость или оборот портфеля, показатель торговой активности, является меньшим значением из стоимости продаж или покупок за год, деленным на среднюю чистую стоимость активов за год. Количество и состав списка Forbes Honor Roll меняются из года в год.

Таблица 20. Оборот портфеля: взаимные фонды Forbes Honor Roll за 2013 год.

Годовой оборот портфеля (%)

Bruce Fund (BRUFX)

CGM Focus Fund (CGMFX)

Hotchkis And Wiley Small Cap Value A Fund (HWSAX)

Aegis Value Fund (AVALX)

Delafield Fund (DEFIX)

Homestead Small Company Stock Fund (HSCSX)

Robeco Boston Partners Small Cap Value II Fund (BPSCX)

Hotchkis And Wiley Mid Cap Value A Fund (HWMAX)

T Rowe Price Small Cap Value Fund (PRSVX)

Guggenheim Mid Cap Value Fund Class A (SEVAX)

Wells Fargo Advantage Small Cap Value Fund (SSMVX)

Stratton Small-Cap Value Fund (STSCX)

Основываясь на данных из таблицы 20, сделайте следующее:

1. Рассчитайте среднее по совокупности для оборота портфеля за период, используя данные для 12 фондов из Honor Roll.
2. Рассчитайте дисперсию и стандартное отклонение совокупности для оборота портфеля.
3. Объясните использование формул в этом примере.

Решение для части 1:

μ = (10 + 360 + 37 + 20 + 49 + 1 + 32 + 72 + 9 + 19 + 16 + 11)/12
= 636 /12 = 53%.

Решение для части 2:

Установив, что μ = 53%, мы можем вычислить дисперсию

\( \sigma^2 = < \sum_^ ( X_i — \mu )^2 \over N > \), сначала рассчитав числитель, а затем разделив результат на N = 12.

Числитель (сумма квадратов отклонений от среднего) равен:

(10 — 53) 2 + (360 — 53) 2 + (37 — 53) 2 + (20 — 53) 2 +
(49 — 53) 2 + (1 — 53) 2 + (32 — 53) 2 + (72 — 53) 2 +
(9 — 53) 2 + (19 — 53) 2 + (16 — 53) 2 + (11 — 53) 2 = 107,190

Таким образом, σ 2 = 107,190/12 = 8,932.50.

Для расчета стандартного отклонения находим квадратный корень:

Единицей измерения дисперсии является процент в квадрате, поэтому единицей измерения стандартного отклонения также является процент.

Решение для части 3:

Если генеральная совокупность четко определена как фонды Forbes Honor Roll за один конкретный год (2013 г.), и если под оборотом портфеля понимается конкретный одногодичный период, о котором отчитывается Forbes, то применение формул генеральной совокупности для дисперсии и стандартного отклонения уместно.

Результаты 8,932.50 и 94.51 представляют собой, соответственно, перекрестную дисперсию и стандартное отклонение годового оборота портфеля для фондов Forbes Honor Roll за 2013 год.

Фактически, мы не могли должным образом использовать фонды Honor Roll для оценки дисперсии оборота портфеля (например) любой другой по-разному определенной генеральной совокупности, потому что фонды Honor Roll не являются случайной выборкой из какой-либо большей генеральной совокупности взаимных фондов США.

Выборочная дисперсия.

Во многих случаях в управлении инвестициями подгруппа или выборка из генеральной совокупности — это все, что мы можем наблюдать. Когда мы имеем дело с выборками, сводные показатели называются статистикой.

Статистика, которая измеряет дисперсию по выборке, называется выборочной дисперсией или дисперсией выборки (англ. ‘sample variance’).

В приведенном ниже обсуждении обратите внимание на использование латинских букв вместо греческих для обозначения объема выборки.

Формула выборочной дисперсии.

\(\mathbf< s^2 = < \sum_^ ( X_i — \overline X )^2 \over n-1 > >\) (формула 13),

где \( \overline X \) — среднее значение выборки, а n — количество наблюдений в выборке.

Формула 13 предписывает нам предпринять следующие шаги для вычисления выборочной дисперсии:

1. Рассчитать выборочное среднее значение, \( \overline X \).
2. Рассчитать квадратичное отклонение каждого наблюдения от среднего значения по выборке, \( ( X_i — \overline X )^2 \)
3. Найти сумму квадратов отклонений от среднего: \( \sum_^ ( X_i — \overline X )^2 \).
4. Разделить сумму квадратов отклонений от среднего на (n — 1).

Мы проиллюстрируем расчет выборочной дисперсии и выборочного стандартного отклонения на примере ниже.

Отличие выборочной дисперсии от дисперсии генеральной совокупности.

Мы используем обозначение s 2 для выборочной дисперсии, чтобы отличить ее от дисперсии генеральной совокупности σ 2 .

Формула для выборочной дисперсии почти такая же, как и для дисперсии генеральной совокупности, за исключением использования среднего значения выборки \( \overline X \) вместо среднего значения генеральной совокупности μ и другого делителя.

В случае дисперсии генеральной совокупности мы делим числитель на размер совокупности N. Однако для дисперсии выборки мы делим ее на размер выборки минус 1 или n — 1. Используя n — 1 (а не n) в качестве делителя мы улучшаем статистические свойства выборочной дисперсии.

В статистических терминах выборочная дисперсия, определенная в Формуле 13, является несмещенной оценкой (англ. ‘unbiased estimator ‘) дисперсии генеральной совокупности σ 2 .

Мы обсудим эту концепцию далее в чтении о выборке.

Величина n — 1 также называется числом степеней свободы (англ. ‘number of degrees of freedom’) при оценке дисперсии генеральной совокупности. Чтобы оценить дисперсию s 2 , мы должны сначала вычислить среднее. После того как мы вычислили среднее значение выборки, существует только n — 1 независимых отклонений от него.

Стандартное отклонение выборки.

Для стандартного отклонения генеральной совокупности мы аналогичным образом можем вычислить стандартное отклонение выборки, взяв квадратный корень из положительной дисперсии выборки.

Формула стандартного отклонения выборки.

Стандартное отклонение выборки (выборочное стандартное отклонение, выборочное среднеквадратическое отклонение, англ. ‘sample standard deviation’), обозначается символом s и рассчитывается следующим образом:

\(\mathbf< s = \sqrt< \sum_^ ( X_i — \overline X )^2 \over n-1 > >\) (формула 14),

где \( \overline X \) — среднее значение выборки, а n — количество наблюдений в выборке.

Чтобы рассчитать стандартное отклонение выборки, мы сначала вычисляем дисперсию выборки, используя приведенные выше шаги. Затем мы берем квадратный корень из выборочной дисперсии.

Пример, приведенный ниже, иллюстрирует расчет выборочной дисперсии и стандартного отклонения выборки для двух взаимных фондов, представленных ранее.

Пример расчета выборочной дисперсии и стандартного отклонения выборки.

После расчета геометрических и арифметических средних доходностей двух взаимных фондов в Примере (1) мы вычислили две меры дисперсии для этих фондов, размах и среднее абсолютное отклонение доходности (см. Пример расчета размаха и среднего абсолютного отклонения для оценки риска).

Теперь мы вычислим выборочную дисперсию и стандартное отклонение выборки для доходности тех же двух фондов.

Таблица 15. Совокупная доходность двух взаимных фондов, 2008-2012 гг.
(повтор).

Фонд Selected
American Shares
(SLASX)

Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)

Источник