Среднеквадратичное отклонение ожидаемой доходности

Стандартное отклонение доходности портфеля

При определении среднеквадратического или стандартного отклонения доходности портфеля возникает проблема, связанная с тем, что портфель состоит из двух и более активов (например, акций), каждый из которых имеет свое стандартное отклонение доходности. При этом каждый из активов вносит свой компонент риска в соответствии со своим удельным весом. Расчет общего риска как средневзвешенного по всем компонентам является в корне неправильным подходом. Это связано с тем, что существует определенная взаимосвязь между доходностью активов, которая может быть как прямой, так и обратной.

Оценка тесноты и характера взаимосвязи производится на основании коэффициента корреляции, который может находиться в диапазоне от -1 до +1. Значения +1 и -1 говорят о том, что между доходностью двух активов существует функциональная зависимость (прямая и обратная, соответственно). На практике эти значения не встречаются, поэтому рассмотрим эту концепцию на примере двух коэффициентов корреляции: +0,7 и -0,3. Положительный коэффициент говорит, что между доходностями существует довольно тесная прямая зависимость. Другими словами, если доходность первого актива будет расти, то и доходность другого актива будет также расти, но не в той же самой мере, что и доходность первого. Отрицательный коэффициент -0,3 свидетельствует о существовании слабой обратной взаимосвязи. В этом случае рост доходности одного актива будет частично нивелирован снижением доходности другого и наоборот. Это приводит к тому, что при оценке стандартного отклонения доходности портфеля должны быть учтены взаимосвязи доходности активов, входящих в него.

Формула

В общем виде формулу расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из N активов, можно представить в следующем виде:

где N – количество активов (ценных бумаг), входящих в портфель;

w_i – удельный вес i-го актива в портфеле;

w_j — удельный вес j-го актива в портфеле;

σ (k_i) – стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива;

Cov (k_i, k_j) – ковариация доходности i-го и j-го актива.

Представленную выше формулу можно преобразовать, используя формулу коэффициента корреляции.

где σ (k_j) — стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива.

После преобразования она приобретет следующий вид:

где R(k_i, k_j) – коэффициент корреляции доходности i-го и j-го актива.

Если развернуть это выражение для портфеля, состоящего из двух активов A и B, то оно будет выглядеть следующим образом:

Поскольку третье и четвертое слагаемые равны между собой, то формулу стандартного отклонения портфеля для двух активов можно записать в виде.

Для портфеля, состоящего из трех активов A, B и C, формула будет выглядеть так:

С увеличением количества активов уравнение будет становиться все более громоздкой.

Пример

Рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля, который сформирован из трех ценных бумаг в следующих пропорциях:

• 25% акций Компании A со среднеквадратическим отклонением доходности 9%;
• 35% акций Компании B со среднеквадратическим отклонением доходности 12%;
• 40% акций Компании C со среднеквадратическим отклонением доходности 7%.

При этом коэффициент корреляции доходности акций A и B RA,B = 0,6, A и C RA,C = -0,45, B C RB,C = 0,2.

Подставим исходные данные в приведенную выше формулу:

σ 2 _P = 0,252*92 + 0,352*122 + 0,42*72 + 2*0,25*0,35*0,6*9*12 + 2*0,25*0,4*(-0,45)*9*7 + 2*0,35*0,4*0,2*12*7 = 40,92

Таким образом, стандартное отклонение портфеля составит 6,4% (квадратный корень из 40,92).

Источник

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Определение

Среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation, SD) является показателем, который используется в теории вероятности и математической статистике для оценки степени рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. В инвестировании стандартное отклонение доходности ценных бумаг или портфеля используется для оценки меры риска. Чем выше степень рассеивания доходности ценной бумаги относительно ожидаемого доходности (математическое ожидание доходности), тем выше риск инвестирования, и наоборот.

Среднеквадратическое отклонение как правило обозначается греческой буквой σ (сигма), а стандартное отклонение латинской буквой S или как Std(X), где X – случайная величина.

Формула

Истинное значение среднеквадратического отклонения

Если известно точное распределение дискретной случайной величины, а именно, известно ее значение при каждом исходе и может быть оценена вероятность каждого исхода, то формула расчета среднеквадратического отклонения будет выглядеть следующим образом.

Где X_i – значение случайной величины X при i-ом исходе; M(X) математическое ожидание случайной величины X; p_i – вероятность i-го исхода; N – количество возможных исходов.

При этом математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение генеральной совокупности

На практике вместо точного распределение случайной величины обычно доступна только выборка данных. В этом случае рассчитывается оценочное значение среднеквадратического отклонения, которое в этом случае называют стандартным отклонением (S). Если оценка основывается на всей генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое генеральной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Стандартное отклонение выборки

Если используется не вся генеральная совокупность данных, а выборка из нее, то формула расчета стандартного отклонения основывается на несмещенной оценке дисперсии.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое выборки; N – объем выборки.

Примеры расчета

Пример 1

Портфельный менеджер должен оценить риски инвестирования в акции двух компаний А и Б. При этом он рассматривает 5 сценариев развития событий, информация по которым представлена в таблице.

Поскольку нам известно точное распределение доходности каждой из акций, мы можем рассчитать истинное значение среднеквадратического отклонения доходности для каждой из них.

Шаг 1. Рассчитаем математическое ожидание доходности для каждой из акций.

M(А) = -5%×0,02+6%×0,25+15%×0,40+24%×0,30+34%×0,03 = 15,62%

M(Б) = -18%×0,02+2%×0,25+16%×0,40+27%×0,30+36%×0,03 = 22,14%

Шаг 2. Подставим полученные данные в первую формулу.

Как мы можем видеть, акции Компании А характеризуются меньшим уровнем риска, поскольку у них ниже среднеквадратическое отклонение доходности. Следует также отметить, что и ожидаемая доходность у них ниже, чем у акций Компании Б.

Пример 2

Аналитик располагает данными о доходности двух ценных бумаг за последние 5 лет, которые представлены в таблице.

Поскольку точное распределение доходности неизвестно, а в распоряжении аналитика есть только выборка из генеральной совокупности данных, мы можем рассчитать стандартное отклонение выборки на основании несмещенной дисперсии.

Шаг 1. Рассчитаем ожидаемую доходность для каждой ценной бумаги как среднеарифметическое выборки.

X _А = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

X _Б = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

Шаг 2. Рассчитаем стандартное отклонение доходности для каждой из ценных бумаг по формуле для выборки из генеральной совокупности данных.

Следует отметить, что обе ценные бумаги имеют равную ожидаемую доходность 5%. При этом стандартное отклонение доходности у ценной бумаги Б ниже, что при прочих равных делает ее более привлекательным объектом инвестирования в следствие лучшего профиля риск-доходность.

Стандартное отклонение в Excel

В Excel предусмотрено две функции для расчета стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности.

Для выборки воспользуйтесь функцией «СТАНДОТКЛОН.В»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.В».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Для генеральной совокупности используется функция «СТАНДОТКЛОН.Г»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.Г».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Интерпретация

В инвестировании стандартное отклонение доходности используется в качестве меры волатильности. Чем выше его значение, тем выше риск, связанный с инвестированием в этот актив, и наоборот. При прочих равных параметрах, предпочтение следует отдавать тому активу, у которого этот показатель будет минимальным.

Источник

Измерители капитального (общего) риска

Измерителями капитального (общего) риска, связанного с вложениями в отдельную ценную бумагу или в портфель ценных бумаг, являются.

1) вариационный размах доходности;

2) среднеквадратичное (стандартное) отклонение;

3) коэффициент вариации.

Чем выше значение этих показателей, тем выше уровень рис­ка. Показатели расположены в порядке возрастания точности. Значения каждого из последующих показателей уточняют значе­ния предыдущего. Для расчета вышеназванных измерителей риска составим таблицу с прогнозными значениями доходности (минимальной, наиболее вероятной и максимальной) по ценным бумагам фирм «А» и «Б», полученными экспертным путем, т.е. исходя из опыта работы на рынке ценных бумаг.

Наступающее событие — доходность ценной бумаги, которая сложится в будущем периоде, принимается за 100% или 1. При этом каждое из прогнозных значений (минимальная, наиболее вероятная и максимальная доходность) признается частью обще­го события, вес которой оценивается приблизительно, исходя из опыта работы на рынке ценных бумаг. Как правило, на наибо­лее вероятное событие, если нет никаких причин резкого ухуд­шения или резкого улучшения ситуации, отводят более 50%, на­пример 60%, а остальные 40% общего события распределяют поровну между минимальной и максимальной доходностью. Ве­са событий необходимо из процентов перевести в десятичные дроби (таблица).

Расчет основных показателей капитального (общего) риска

Прогнозные оценки доходности

Ценная бумага фирмы А

Ценная бумага фирмы В

Веса в %

Веса в деся­тичных дробях

Наиболее вероят­ная доходность

Математическое ожидание (среднее значение) прогноз­ных значений доходности

Вариационный размах (max-min)

Среднеквадратич­ное (стандартное) отклонение

Расчет вариационного размаха доходности. Под вариацией по­нимается изменчивость значений какого-либо признака. Применительно к портфельному управлению под вариацией понимается изменение значений доходности ценных бумаг.

Значения доходности могут быть:

1) ретроспективными, т.е. имевшими место в прошедшем пе­риоде;

2) (перспективными) прогнозными, которые могут иметь место в будущем периоде.

Количество ретроспективных значений доходности зависит от того, какой интервал времени принят за период (день, месяц, год) и какое количество этих периодов анализируется. Количество (перспективных) прогнозных значений доходно­сти, как правило, равно трем. Обычно рассматривают три вари­анта возможного развития событий:

1) пессимистический вариант, предполагающий наихудшее стечение обстоятельств, в результате которого может быть полу­чена наименьшая (минимальная) доходность;

2) оптимистический вариант, предполагающий наилучшее стечение обстоятельств, в результате которого может быть полу­чена наибольшая (максимальная) доходность;

3) наиболее вероятное развитие событий, в результате кото­рого может быть получена наиболее вероятная доходность, рас­сматриваемая как среднее значение между минимальной и максимальной доходностью.

Под вариационным размахом в высшей математике понимает­ся разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда.

Вариационный размах обозначается латинской буквой R и рас­считывается по формуле:

Применительно к портфельному управлению под вариацион­ным размахом понимается разность между наибольшим и наи­меньшим (прогнозными или ретроспективными) значениями до­ходности ценной бумаги или портфеля.

Чем больше вариационный размах доходности, тем больше риск, связанный с вложениями в ценные бумаги.

Вариационный размах доходности ценных бумаг фирмы «В» в два раза больше вариационного размаха доходности ценных бу­маг фирмы «А», а следовательно, риск вложений в ценные бума­ги фирмы «В» в два раза выше риска вложений в ценные бумаги фирмы «А»:

Следовательно, риск, связанный с вложениями в ценные бу­маги фирмы «В», в два раза выше риска вложений в ценные бу­маги фирмы «А». Уточним полученный результат с помощью расчета следую­щего измерителя общего риска — среднеквадратичного (стан­дартного) отклонения.

Расчет среднеквадратичного отклонения. Среднеквадратичное отклонение в экономической литературе также может называться стандартным отклонением, или стандартной девиацией (девиа­ция — отклонение). Для рассмотрения понятия «среднеквадратичное отклоне­ние» необходимо познакомиться с понятиями «математическое ожидание» и «дисперсия». Под математическим ожиданием (средним значением) дис­кретной случайной величины X понимается сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание (среднее значение) обозначается латинской буквой М и рассчитывается по формуле:

где М — математическое ожидание;

X — случайная дискретная величина (например признак — доход­ность);

X_i — значение признака (например минимальная прогнозная до­ходность);

W_i— вес события (например вес минимального прогнозного значе­ния доходности).

Другими словами, среднее значение прогнозной доходности ценных бумаг можно рассчитать двумя способами:

1) простая арифметическая средняя = сумма прогнозных зна­чений доходности / количество прогнозных значений доходности;

2) математическое ожидание = сумма произведений прогноз­ных значений доходности на их веса.

Рассмотрим применение вышеназванных способов на число­вом примере с прогнозными значениями доходности ценных бу­маг фирм «А» и «В», указанными в таблице.

Простая арифметическая средняя прогнозных значений до­ходности ценных бумаг:

1) фирмы «А» = (14% + 16% + 18%) / 3 = 16%;

2) фирмы «В» = (13% + 17% + 21%) / 3 = 17%.

Математическое ожидание (среднее значение) прогнозных значений доходности ценных бумаг:

1) фирмы «А» = 14% • 0,2 + 16% • 0,6 + 18% • 0,2 = 2,8% + + 9,6% + 3,6% =16%;

2) фирмы «В» = 13% • 0,2 + 17% • 0,6 + 21% • 0,2 = 2,6% + + 10,2 % + 4,2% = 17%.

Под дисперсией случайной величины X понимается математи­ческое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Применительно к портфельному управлению под дисперсией понимается сумма квадратов разностей значений признака (до­ходности) и их среднего значения, умноженных на веса этих зна­чений (таблица).

Сопоставление определений дисперсии в высшей математике и в портфельном управлении

№ п/п

Определение в высшей математике

Определение в портфельном управлении

Случайная величина (X)

Прогнозная доходность ценных бу­маг (R)

Математическое ожидание случайной величины М(Х)

Среднее значение прогнозной доходности, рассчитанное по форму­ле математического ожидания (R)

Квадрат отклонения случай­ной величины от математи­ческого ожидания

Квадрат разности отдельного прогнозного значения признака и его среднего значения

Математическое ожидание квадрата отклонения случай­ной величины от математи­ческого ожидания

Произведение квадрата разности от­дельного прогнозного значения при­знака и его среднего значения на вес этого события

Под среднеквадратичным отклонением случайной величины X понимается арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии. Среднеквадратичное отклонение также называют стандарт­ным отклонением, стандартом, стандартной девиацией. Среднеквадратичное отклонение обозначается греческой бу­квой σ (сигма малая) и рассчитывается по формуле:

где σ — среднеквадратичное отклонение доходности ценной бумаги за исследуемый период;

— R — среднерыночная доходность;

R — доходность ценной бумаги i-того предприятия в j-том периоде;

W — вес вероятности события (доходности).

Среднеквадратичное отклонение представляет собой откло­нение от среднего значения случайной величины. Среднеквадратичное отклонение в финансовом управлении используется в качестве:

1) измерителя риска, связанного с вложениями в ценные бумаги;

2) средства прогноза доходности ценных бумаг.

Приведем примеры расчета среднеквадратичного (стандартного) отклонения доходности ценных бумаг фирм «А» и «В». Напомним, что среднее значение прогнозной доходности ценных бумаг рассчитано по формуле математического ожида­ния. Данные для расчета среднеквадратичного отклонения доход­ности ценных бумаг фирмы «А»:

1) прогнозные значения доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность — 14%;

— наиболее вероятная доходность — 16%;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 18%;

2) математическое ожидание (среднее значение) прогнозной доходности — 16%;

3) веса прогнозных значений доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность — 0,2;

— наиболее вероятная доходность — 0,6;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 0,2.

Данные для расчета среднеквадратичного отклонения доход­ности ценных бумаг фирмы «В»:

1) прогнозные значения доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность — 13%;

— наиболее вероятная доходность — 17%;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 21%;

2) математическое ожидание (среднее значение) прогнозной доходности — 17%;

3) веса прогнозных значений доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность —- 0,2;

— наиболее вероятная доходность — 0,6;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 0,2.

Чем больше среднеквадратичное отклонение доходности, тем боль­ше риск, связанный с вложениями в эти ценные бумаги.

Среднеквадратичное отклонение прогнозного значения до­ходности ценных бумаг фирмы «В» больше чем в два раза средне­квадратичного отклонения прогнозного значения доходности ценных бумаг фирмы «А»:

2,53 % : 1,26% = 2,009.

Следовательно, риск, связанный с вложениями в ценные бу­маги фирмы «В», в два раза выше риска вложений в ценные бу­маги фирмы «А». Уточним полученный результат с помощью расчета следую­щего измерителя общего риска — коэффициента вариации.

Расчет коэффициента вариации. Под коэффициентом вариа­ции понимается процентное отношение среднеквадратичного от­клонения к средней арифметической.

где V — коэффициент вариации;

σ — среднеквадратичное отклонение;

х — средняя арифметическая.

Применительно к портфельному управлению под коэффици­ентом вариации понимается процентное отношение среднеквад­ратичного отклонения прогнозного значения доходности ценных бумаг к ее среднему арифметическому значению.

Коэффициент вариации доходности ценных бумаг:

1) предприятия «А» = (1,26% : 16%) = 0,079;

2) предприятия «В» = (2,53% : 17%) = 0,149.

Коэффициент вариации доходности по ценным бумагам фирмы «В» больше коэффициента вариации доходности по цен­ным бумагам фирмы «А» в 1,9 раза, следовательно, риск, связан­ный с вложениями в ценные бумаги фирмы «В», также в 1,9 раза выше, чем риск, связанный с вложениями в ценные бумаги фир­мы «А».

Источник