Среднее отклонение инвестиции это

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Определение

Среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation, SD) является показателем, который используется в теории вероятности и математической статистике для оценки степени рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. В инвестировании стандартное отклонение доходности ценных бумаг или портфеля используется для оценки меры риска. Чем выше степень рассеивания доходности ценной бумаги относительно ожидаемого доходности (математическое ожидание доходности), тем выше риск инвестирования, и наоборот.

Среднеквадратическое отклонение как правило обозначается греческой буквой σ (сигма), а стандартное отклонение латинской буквой S или как Std(X), где X – случайная величина.

Формула

Истинное значение среднеквадратического отклонения

Если известно точное распределение дискретной случайной величины, а именно, известно ее значение при каждом исходе и может быть оценена вероятность каждого исхода, то формула расчета среднеквадратического отклонения будет выглядеть следующим образом.

Где X_i – значение случайной величины X при i-ом исходе; M(X) математическое ожидание случайной величины X; p_i – вероятность i-го исхода; N – количество возможных исходов.

При этом математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение генеральной совокупности

На практике вместо точного распределение случайной величины обычно доступна только выборка данных. В этом случае рассчитывается оценочное значение среднеквадратического отклонения, которое в этом случае называют стандартным отклонением (S). Если оценка основывается на всей генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое генеральной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Стандартное отклонение выборки

Если используется не вся генеральная совокупность данных, а выборка из нее, то формула расчета стандартного отклонения основывается на несмещенной оценке дисперсии.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое выборки; N – объем выборки.

Примеры расчета

Пример 1

Портфельный менеджер должен оценить риски инвестирования в акции двух компаний А и Б. При этом он рассматривает 5 сценариев развития событий, информация по которым представлена в таблице.

Поскольку нам известно точное распределение доходности каждой из акций, мы можем рассчитать истинное значение среднеквадратического отклонения доходности для каждой из них.

Шаг 1. Рассчитаем математическое ожидание доходности для каждой из акций.

M(А) = -5%×0,02+6%×0,25+15%×0,40+24%×0,30+34%×0,03 = 15,62%

M(Б) = -18%×0,02+2%×0,25+16%×0,40+27%×0,30+36%×0,03 = 22,14%

Шаг 2. Подставим полученные данные в первую формулу.

Как мы можем видеть, акции Компании А характеризуются меньшим уровнем риска, поскольку у них ниже среднеквадратическое отклонение доходности. Следует также отметить, что и ожидаемая доходность у них ниже, чем у акций Компании Б.

Пример 2

Аналитик располагает данными о доходности двух ценных бумаг за последние 5 лет, которые представлены в таблице.

Поскольку точное распределение доходности неизвестно, а в распоряжении аналитика есть только выборка из генеральной совокупности данных, мы можем рассчитать стандартное отклонение выборки на основании несмещенной дисперсии.

Шаг 1. Рассчитаем ожидаемую доходность для каждой ценной бумаги как среднеарифметическое выборки.

X _А = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

X _Б = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

Шаг 2. Рассчитаем стандартное отклонение доходности для каждой из ценных бумаг по формуле для выборки из генеральной совокупности данных.

Следует отметить, что обе ценные бумаги имеют равную ожидаемую доходность 5%. При этом стандартное отклонение доходности у ценной бумаги Б ниже, что при прочих равных делает ее более привлекательным объектом инвестирования в следствие лучшего профиля риск-доходность.

Стандартное отклонение в Excel

В Excel предусмотрено две функции для расчета стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности.

Для выборки воспользуйтесь функцией «СТАНДОТКЛОН.В»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.В».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Для генеральной совокупности используется функция «СТАНДОТКЛОН.Г»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.Г».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Интерпретация

В инвестировании стандартное отклонение доходности используется в качестве меры волатильности. Чем выше его значение, тем выше риск, связанный с инвестированием в этот актив, и наоборот. При прочих равных параметрах, предпочтение следует отдавать тому активу, у которого этот показатель будет минимальным.

Источник

Стандартное отклонение 2021

Table of Contents:

Что такое «стандартное отклонение»

Стандартное отклонение является мерой дисперсии набора данных из его среднего значения. Он вычисляется как квадратный корень дисперсии, определяя изменение между каждой точкой данных относительно среднего значения. Если точки данных больше от среднего, в наборе данных есть более высокое отклонение.

В области финансов стандартное отклонение является статистическим измерением; когда он применяется к годовой доходности инвестиций, он проливает свет на историческую волатильность этих инвестиций. Чем больше стандартное отклонение безопасности, тем больше разница между каждой ценой и средним значением, что указывает на больший ценовой диапазон. Например, волатильный запас имеет высокое стандартное отклонение, в то время как отклонение стабильного запаса синего фишка обычно довольно низкое.

РАЗВЕДЕНИЕ «Стандартное отклонение»

В отрасли финансовых услуг стандартное отклонение является одним из ключевых факторов риска, которые используют аналитики, портфельные менеджеры, консультанты по управлению капиталом и финансовые планировщики. Инвестиционные фирмы сообщают о стандартном отклонении своих взаимных фондов и других продуктов. Большая дисперсия показывает, насколько доходность фонда отклоняется от ожидаемой нормальной прибыли. Поскольку это легко понять, эта статистика часто сообщается конечным клиентам и инвесторам на регулярной основе.

В чем разница между стандартным отклонением и средним?

В своей простейшей форме среднее — это просто среднее значение всех точек данных в заданном наборе. Например, при инвестировании вы можете узнать среднюю цену закрытия за последние 20 дней. Это можно получить, добавив цены закрытия для каждой сессии и разделив их на 20. Поскольку рынки в лучшем случае непостоянны, трейдеры и аналитики используют скользящие средние, которые ежедневно корректируются для включения наиболее обновленных данных. Это означает, что расчет всегда учитывает движения последних сеансов, а старшие сессии уходят, поскольку они становятся менее релевантными. Экспоненциальная скользящая средняя (EMA) вычисляется путем взвешивания каждой точки данных, придавая большее значение более поздним данным.

Стандартное отклонение рассчитывается на основе среднего значения. Расстояние каждой точки данных от среднего квадрата, суммируется и усредняется, чтобы найти дисперсию. Или, говоря иначе: Разница получается, беря среднее из точек данных, вычитая среднее из каждой точки данных индивидуально, возводя квадрат каждого из этих результатов, а затем беря другое среднее из этих квадратов. Стандартное отклонение — это просто квадратный корень дисперсии.

Вычисление стандартного отклонения

Формула для стандартного отклонения использует три переменные.Первой переменной должно быть значение каждой точки в наборе данных, традиционно обозначаемое как x , с подкадром, обозначающим каждую дополнительную переменную ( x, x1, x2, x3 , и т.д.). Среднее значение или среднее значение точек данных применяется к значению переменной M , а число задействованных точек данных присваивается переменной n .

Чтобы определить среднее значение, значения точек данных должны быть добавлены вместе, а затем общее количество делится на количество точек данных, которые были включены. Например, если точки данных составляли 5, 7, 3 и 7, общее число было бы равно 22. Тогда общая сумма 22 будет делиться на количество точек данных, в этом случае четыре, что приведет к среднему значению 5 5 Это приводит к следующим определениям: M = 5. 5 и n = 4.

Отклонение определяется путем вычитания значения среднего из каждой точки данных, в результате в -0. 5, 1. 5, -2. 5 и 1. 5. Каждое из этих значений затем квадратично, что приводит к 0. 25, 2. 25, 6. 25 и 2. 25. Затем квадратные значения складываются вместе, в результате получается всего 11, что затем деленное на значение n -1, что в этом случае равно 3, что приводит к дисперсии приблизительно 3. 67.

Затем вычисляется квадратный корень дисперсии, приводящий к стандартным отклонениям приблизительно 1. 915.

Стандартное отклонение против отклонения

Отклонение помогает определить размер распространения данных по сравнению со средним значением. По мере увеличения дисперсии происходит большее изменение значений данных, и может быть больший разрыв между одним значением данных и другим. Если значения данных все близко друг к другу, дисперсия будет меньше. Это сложнее понять, чем стандартные отклонения, однако, поскольку дисперсии представляют собой квадрат результата, который может не осмысленно выражаться на том же графике, что и исходный набор данных.

Стандартные отклонения обычно легче снимать и применять. Стандартное отклонение выражается той же единицей измерения, что и данные, что не обязательно имеет место при дисперсии. Используя стандартное отклонение, статистики могут определить, имеют ли данные нормальную кривую или другие математические отношения. Если данные ведут себя в нормальной кривой, то 68% точек данных будут находиться в пределах одного стандартного отклонения средней или средней точки данных. Большие различия приводят к тому, что большее количество точек данных выходит за пределы стандартного отклонения. Меньшие отклонения приводят к большему количеству данных, близких к средним.

Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение является особенно полезным инструментом в стратегиях инвестирования и торговли, поскольку это помогает измерять волатильность рынка и безопасности — и прогнозировать тенденции производительности.

Что касается инвестирования, например, индексный фонд может рассчитывать на низкое стандартное отклонение по сравнению с его контрольным индексом, поскольку целью фонда является повторение индекса. С другой стороны, у агрессивных фондов роста можно ожидать высокого стандартного отклонения от относительных фондовых индексов, так как их менеджеры по портфелю делают агрессивные ставки, стремясь получить доход выше среднего.

Более низкое стандартное отклонение не обязательно предпочтительнее. Все зависит от того, какие инвестиции они делают, и от желания принять на себя риск. Когда речь идет о величине отклонения в своих портфелях, инвесторы должны учитывать как свою личную терпимость к волатильности, так и их общие инвестиционные цели. Более агрессивным инвесторам может быть комфортно инвестиционная стратегия, которая выбирает автомобили с более высокой средней волатильностью, в то время как более консервативные инвесторы могут этого не делать.

Источник

CFA — Размах, среднее абсолютное отклонение и меры дисперсии.

Рассмотрим размах и среднее абсолютное отклонение, — наиболее простые меры дисперсии, используемые для анализа финансовых данных, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.

Как пишет известный исследователь Фишер Блэк, «ключевой вопрос в инвестициях — это оценка ожидаемой доходности».

Мало кто не согласится с важностью ожидаемой доходности или средней доходности инвестиций: средняя доходность говорит нам, где в целом сосредоточена доходность и инвестиционные результаты.

Однако, чтобы полностью понять инвестиции, нам также необходимо знать, как доходность распределена вокруг среднего значения.

Дисперсия (или вариация, англ. ‘dispersion’, ‘variability’, ‘scatter’, ‘spread’) — это изменчивость наблюдений вокруг центральной тенденции распределения. Если среднее значение доходности означает вознаграждение, то дисперсия — характеризует риск.

Далее мы рассмотрим наиболее распространенные показатели дисперсии: размах, среднее абсолютное отклонение, дисперсию генеральной совокупности и выборки, а также стандартное отклонение. Все это меры абсолютной дисперсии.

Абсолютная дисперсия (англ. ‘absolute dispersion’) — это степень присутствия изменчивости без сравнения с какой-либо контрольной точкой или эталоном.

Эти меры широко используются в инвестиционной практике. Дисперсия или стандартное отклонение доходности часто используется в качестве меры риска. Впервые она была применена нобелевским лауреатом Гарри Марковицем (Harry Markowitz).

Уильям Шарп (William Sharpe), еще один лауреат Нобелевской премии по экономике, разработал коэффициент Шарпа, показатель эффективности инвестиций с поправкой на риск. Этот показатель использует стандартное отклонение доходности. Другие показатели дисперсии, среднее абсолютное отклонение и размах, также полезны при анализе финансовых данных.

Размах.

Мы столкнулись с размахом ранее, когда обсуждали построение распределения частот. Размах — это простейший из всех показателей дисперсии. Он может быть вычислен для интервала или коэффициента данных.

Определение размаха.

Размах или интервал изменения (англ. ‘range’) — это разница между максимальным и минимальным значениями в наборе данных:

Range = Максимальное значение — Минимальное значение (формула 9)

• наибольшая месячная доходность S&P 500 в период с января 1926 г. по декабрь 2012 г. составляет 42,56% (в апреле 1933 г.), а
• наименьшая: -29,73% (в сентябре 1931 г.).

Размах доходности, таким образом, составляет 72.29% [42.56% — (-29.73%)].

Одним из преимуществ размаха является простота вычислений.

Недостатком является то, что размах использует всего два значения из распределения данных. Он не может рассказать нам, как распределяются данные (то есть описать форму распределения).

Поскольку Range представляет собой разницу между максимальной и минимальной доходностью, он может отражать очень большие или маленькие результаты, которые могут быть нерепрезентативны.

Другая мера дисперсии, основанная на интервале данных, с которой мы можем столкнуться, — это межквартильный размах, который фокусируется на середине распределения, а не на его краях.

Межквартильный размах (IQR, от англ. ‘interquartile range’) — это разница между 3-м и 1-м квартилями набора данных: IQR = Q3 — Q1.

IQR представляет собой длину интервала, содержащего средние 50% данных, с большим межквартильным размахом, указывающим на большую дисперсию, при прочих равных условиях.

Среднее абсолютное отклонение.

Меры дисперсии могут быть рассчитаны с использованием всех наблюдений в распределении, а не только самых высоких и самых низких.

Вопрос в том, как мы должны измерять дисперсию?

Наша предыдущая дискуссия о свойствах среднего арифметического ввела понятие расстояния или отклонения от среднего \(\mathbf< (X_i - \overline) >\) как фундаментальную часть информации, используемой в статистике.

Мы могли бы вычислить меры дисперсии как среднее арифметическое отклонений от среднего значения, но мы столкнулись бы с проблемой: отклонения от среднего в сумме всегда равны 0.

Если мы вычислим среднее значение отклонений, результат также будет равен 0. Поэтому нам необходимо найти способ решения проблемы отрицательных отклонений, устраняющих положительные отклонения.

Одно из решений состоит в том, чтобы исследовать абсолютные отклонения от среднего значения, такие как среднее абсолютное отклонение.

Формула среднего абсолютного отклонения.

Среднее абсолютное отклонение или просто абсолютное отклонение (MAD, от англ. ‘mean absolute deviation’) для выборки:

где:
\( \mathbf< \overline X >\) — среднее значение выборки, а
n — количество наблюдений в выборке.

При расчете MAD мы игнорируем знаки (плюсы и минусы) отклонений от среднего значения. Например, если Xi = -11.0 и \( \overline X \) = 4.5, абсолютное значение разности составляет:
| -11.0 — 4.5 | = | -15,5 | = 15,5.

Среднее абсолютное отклонение использует все наблюдения в выборке и, таким образом, превосходит Range в качестве меры дисперсии.

Одним из технических недостатков MAD является то, что им трудно математически манипулировать по сравнению со следующей мерой, которую мы рассмотрим далее, — дисперсией.

В некоторых аналитических работах, таких как оптимизация, важен расчет дифференцирования. Дисперсия как функция может быть дифференцирована, но абсолютное значение не может.

Пример, приведенный ниже иллюстрирует использование размаха и среднего абсолютного отклонения при оценке риска.

Пример расчета размаха и среднего абсолютного отклонения для оценки риска.

Рассчитав среднюю доходность для двух взаимных фондов в Примере (1) расчета и сравнения среднегеометрической и среднеарифметической доходности, финансовый аналитик далее занимается оценкой риска.

Продублируем Таблицу 15 из указанного примера:

Таблица 15. Совокупная доходность двух взаимных фондов, 2008-2012 гг.
(повтор).

Фонд Selected
American Shares
(SLASX)

Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)

Источник