Среднее геометрическое значение доходности за период это

Курс лекций «Основы финансового менеджмента»

5.2. Определение средней доходности

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной , в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля” составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

r i – доходность i -го инструмента;

w i – доля (удельный вес) стоимости i -го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая , взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим r ср = 12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1)) 1/3 -1). При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка : игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% — к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).

Таблица 5.2.1
Динамика доходности акции за 3 года
руб.

Источник

Как посчитать реальную среднегодовую доходность ваших инвестиций?

Есть два способа подсчета доходности инвестиций: ср. арифметический и ср. геометрический. Первый способ показывает завышенные результаты. Чем сильнее колеблется цена актива по годам, тем сильнее будут отличаться эти доходности.

Зачастую управляющие показывают только ср. арифметическую доходность, чтобы завлечь инвесторов. Последние «покупаются», вкладываются, а затем их доходность оказывается гораздо ниже, чем они ожидали, судя по рекламе.

Пример. Фонд в первый год получил + 100%, во второй -50% доходности. Ср. арифм. доходность равна (100-50)/2= 25%. А ср. геом. доходность равна (1+100/100)*(1-50/100)-1 = 2*0,5-1= 0. То есть управляющий вам говорит в рекламе: «Наша средняя доходность 25%». А в реальности, если бы вы вложили на два года деньги, то получили бы 0% доходности.

Можно проверить это «на пальцах»:

• вкладываете 100 руб. С учетом доходности 100%, на счете 200 руб. в конце года;
• на второй год -50%. Т.е. 200 руб. — 100 руб. = 100 руб. Заработали 0.

Для того, чтобы не обмануться при подсчете доходности и не «повестись» на недобросовестную рекламу, нужно рассчитывать ср. геометрическую доходность.

Шаг. 1.Поделите конечную стоимость актива на начальную, или конечную доходность на начальную

Шаг 2. Получившееся число подставьте в он-лайн калькулятор корней

Шаг 3. В качестве корня задайте количество лет

Шаг 4. Вычтите 1 (единицу)

Пример. Страховая компания гарантируют вам 140% доходности за 15 лет инвестиций в структурный продукт (индекс S&P 500). Какова же ср. годовая гарантированная доходность ваших инвестиций?

Ответ: Исчисляем ср. геометрическую доходность. Делим 140/100 = 1,4. Подставляем 1,4 в калькулятор корней, в качестве корня указываем количество лет — 15. Получаем число 1,0227. Вычитаем 1(единицу), получаем 0,0227, что в переводе в % будет означать 2,27% в год.

Если у вас есть данные о доходности по каждому году, а вам нужно посчитать ср. геом. доходность за весь период, формула будет более сложной.Лучше посчитать в Excel.

Ср. геом. доходность по годам =СТЕПЕНЬ (((1+R1)*(1+R2)..*(1+Rn));1/N)-1

где R — доходность в году в формате десятых и сотых (например, вместо 25% нужно писать 0,25), n — кол-во лет.

Как посчитать разницу между ср. арифм. и ср. геом. доходностью

Это нужно для тех, кто строит прогнозы на будущее. Примерно эти доходности отличаются на величину = 0,5 * (стандартное отклонение цены актива)² .Стандартное отклонение берется в формате десятых и сотых (например, 0,25).

Стандартное отклонение — это и есть риск актива. Иными словами риск актива — это до каких пределов в среднем может колебаться цена актива. Например, от +25% до — 25%. Акции более рискованны, чем облигации, потому что их цена может колебаться в + или в — на больший %.

Источник

CFA — Применение геометрических и арифметических средних в финансовом анализе

Используя концепции описательной статистики, рассмотрим, почему среднее геометрическое хорошо подходит для составления финансовых отчетов о прошлых результатах. Также рассмотрим, почему среднее арифметическое хорошо подходит для составления отчетов в перспективном контексте.

Применение геометрических средних для отчетов о прошлых результатах.

Для отчетности на основе исторических ставок доходности геометрическое среднее более привлекательно, чем среднее арифметическое, потому что оно представляет собой темп роста или ставку доходности, которую мы должны были бы получать каждый год, чтобы соответствовать фактическим, совокупным инвестиционным показателям.

Например, в упрощенном Примере (2) средней геометрической и арифметической доходности мы приобрели акцию за €100, при этом 2 года спустя она стоила также €100, а 1 год спустя — €200.

Среднее геометрическое значение доходности здесь — 0%. Очевидно, что оно представляет собой сложный темп роста (сложную процентную ставку) за двухлетний период. В частности, конечная сумма является начальной суммой, умноженной на (1 + R_G) 2 . Среднее геометрическое является отличным показателем прошлых результатов.

Пример, упомянутый выше, иллюстрирует, как среднее арифметическое может исказить нашу оценку исторических показателей. В этом примере совокупная доходность за двухлетний период однозначно равна 0%. Но, при 100% доходности за первый год и -50% за второй, среднее арифметическое составляет 25%.

Как мы уже отмечали ранее, среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

Если мы хотим оценить среднюю доходность за 1 период, мы должны использовать среднее арифметическое, потому что среднее арифметическое — это среднее значение доходности за 1 период. Однако, если мы хотим оценить среднюю доходность за более чем 1 период, нам следует использовать среднюю геометрическую доходность, поскольку среднее геометрическое отражает то, как ставки доходности за период образуют совокупную доходность за несколько периодов.

Как следствие использования геометрического среднего для отчетов о доходности, полулогарифмические (англ. ‘semilogarithmic scale’), а не арифметические шкалы измерений более подходят для построения графиков прошлых результатов. В контексте отчетности об инвестиционных результатах полулогарифмический график имеет арифметическую шкалу на горизонтальной оси для времени и логарифмическую шкалу на вертикальной оси для стоимости инвестиций.

Значения на вертикальной оси отмечены в соответствии с различиями между их логарифмами.

Предположим, мы хотим представить £1, £10, £100 и £1,000 в качестве стоимости инвестиций на вертикальной оси.

Обратите внимание, что каждое последующее значение представляет 10-кратное увеличение по сравнению с предыдущим значением, и каждое из них будет равномерно отмечено на вертикальной оси, поскольку разница в их логарифмах составляет примерно 2.30. То есть:

ln 10 — ln 1 = ln 100 — ln 10 = ln 1,000 — ln 100 = 2.30.

В полулогарифмическом масштабе равные деления на вертикальной оси отражают одинаковые процентные изменения, а рост инвестиций с постоянной процентной ставкой представляет на графике прямую линию.

Кривая, изгибающаяся вверх, отражает увеличение темпов роста с течением времени.

Изгибы кривой в разных точках можно сравнивать, чтобы судить об относительных темпах роста.

Применение арифметических средних для финансовых прогнозов.

В дополнение к отчетам о прошлых результатах финансовым аналитикам необходимо прогнозировать ожидаемые премии за риск по акциям. Для этой цели лучше подходит среднее арифметическое.

Мы можем проиллюстрировать использование среднего арифметического в перспективном контексте на примере, основанном на будущих денежных потоках инвестиций. При дисконтировании будущих денежных потоков, существенная проблема связана с неопределенностью.

Предположим, что инвестор, распоряжающийся $100,000 сталкивается с равной вероятностью (50/50) 100-процентной или -50-процентной доходности, как показано на древовидной диаграмме. При 100-процентной доходности в одном периоде и -50-процентном доходе в другом, среднее геометрическое доходности составляет:

Средняя геометрическая доходность 0% дает моду или медиану дохода после двух периодов (т.е. конечный доход или доход на конец рассматриваемого периода) и, таким образом, точно предсказывает модальный или медианный конечный доход в этом примере.

Тем не менее, среднее арифметическое лучше предсказывает конечный доход. При равных шансах доходности 100% или -50% рассмотрим 4 одинаково вероятных результата в $400,000, $100,000, $100,000 и $25,000, как если бы они действительно имели место.

Средний арифметический конечный доход составил бы:

$156,250 = ($400,000 + $100,000 + $100,000 + $25,000)/4.

Фактическая доходность составила бы 300%, 0%, 0% и -75% при средней арифметической доходности за 2 периода:

(300 + 0 + 0 -75)/4 = 56.25%.

Это средняя арифметическая доходность предсказывает конечный доход в размере $100,000 * 1.5625 = $156,250. Отметив, что 56.25% для двух периодов составляют 25% за период, мы должны затем дисконтировать ожидаемый конечный доход в размере $156,250 по средней арифметической ставке 25%, чтобы отразить неопределенность в денежных потоках.

• Неопределенность в денежных потоках или доходности приводит к тому, что среднее арифметическое будет больше среднего геометрического.
• Чем более неопределенны доходы, тем больше расхождение между средними арифметическими и геометрическими значениями.
• Средняя геометрическая доходность приблизительно равна средней арифметической доходности за вычетом половина дисперсии доходности.

Нулевая дисперсия или нулевая неопределенность в доходах оставляют геометрическую и арифметическую доходность примерно равными, но в условиях реальной неопределенности среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометрическая.

Например, для номинальной годовой доходности S&P 500 с 1926 по 2012 год в Таблице 27 приведено среднее арифметическое значение 11.82% и стандартное отклонение 20.18%.

Среднее геометрическое значение этих ставок доходности составляет 9.84%. Мы можем видеть, что среднее геометрическое приблизительно равно среднему арифметическому за вычетом половины дисперсии доходности:

R_G ≈ 0.1182 — (1/2) (0.2018 2 ) = 0.0978 или 9.78%.

Источник

Средняя доходность

Что такое Средняя доходность?

Средняя доходность – это простое математическое среднее ряда доходностей, генерируемых за определенный период времени. Средняя доходность рассчитывается так же, как и простое среднее значение для любого набора чисел. Числа складываются в одну сумму, а затем сумма делится на количество чисел в наборе.

Формула средней доходности

Как рассчитать средний доход

Существует несколько показателей доходности и способов их вычисления, но для средней арифметической доходности нужно взять сумму доходности и разделить ее на количество цифр доходности.

Что вам говорит средний доход?

Средняя доходность сообщает инвестору или аналитику, какова была доходность акций или ценных бумаг в прошлом или какова доходность портфеля компаний. Это не то же самое, что годовая доходность. Средняя доходность не учитывает начисление процентов.

Ключевые моменты

• Средняя доходность – это простое математическое среднее ряда доходностей.
• Это может помочь измерить прошлую доходность ценной бумаги или доходность портфеля.
• Среднее геометрическое всегда ниже средней доходности.

Пример использования средней доходности

Одним из примеров средней доходности является простое среднее арифметическое . Например, предположим, что инвестиции приносят следующую прибыль ежегодно в течение пяти полных лет: 10%, 15%, 10%, 0% и 5%. Чтобы рассчитать среднюю доходность инвестиций за этот пятилетний период, пять годовых доходов складываются и затем делятся на 5. Это дает среднегодовую доходность 8%.

Или рассмотрим Wal-Mart (NYSE: WMT). Акции Wal-Mart вернулись на 9,1% в 2014 году, потеряли 28,6% в 2015 году, выросли на 12,8% в 2016 году, выросли на 42,9% в 2017 году и потеряли 5,7% в 2018 году. Средняя доходность Wal-Mart за эти пять лет составляет 6,1% или 30,5%, разделенные на 5 лет.

Расчет прибыли от роста

Простой темп роста является функцией начальных и конечных значений или остатков. Он рассчитывается путем вычитания конечного значения из начального значения и последующего деления на начальное значение. Формула выглядит следующим образом:

Например, если вы инвестируете 10 000 долларов в компанию, а цена акций увеличивается с 50 до 100 долларов, прибыль можно рассчитать, взяв разницу между 100 и 50 долларами и разделив ее на 50 долларов. Ответ – 100 процентов, что означает, что теперь у вас есть 20 000 долларов.

Разница между средней доходностью и геометрической средней

Если смотреть на среднюю историческую доходность, среднее геометрическое является более точным расчетом. Среднее геометрическое всегда ниже средней доходности. Одним из преимуществ использования среднего геометрического является то, что не требуется знать фактические инвестированные суммы. расчет полностью сосредоточен на самих цифрах доходности и представляет собой сравнение «яблок с яблоками» при рассмотрении результатов двух или более инвестиций за более различные периоды времени.

Среднюю геометрическую доходность иногда называют взвешенной по времени ставкой доходности (TWRR), поскольку она устраняет искажающее влияние на темпы роста, создаваемое различными притоками и оттоками денег на счет с течением времени.

В качестве альтернативы, взвешенная по денежным средствам ставка доходности (MWRR) включает размер и сроки денежных потоков, поэтому она является эффективной мерой для доходности портфеля, который получил депозиты, реинвестирование дивидендов, выплату процентов или снятие средств. Доходность, взвешенная по деньгам, эквивалентна внутренней норме прибыли, где чистая приведенная стоимость равна нулю.

Ограничения использования средней доходности

Простое среднее значение доходности – это простой расчет, но он не очень точный. Для более точных расчетов доходности аналитики и инвесторы также часто используют среднее геометрическое или доходность, взвешенную по деньгам.

Источник