Распределение вероятностей доходности инвестиционных проектов

Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Поскольку риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения, распределения вероятностей являются основой для измерения риска. Предположим, например, что вы финансовый менеджер фирмы, которая решила инвестировать 100 000 долларов сроком на один год. В таблице 1 приведены четыре альтернативных варианта инвестиций:

1. Казначейские векселя (Т-векселя) со сроком погашения один год и ставкой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом (т.е. по цене ниже номинала); в момент погашения будет выплачена их номинальная стоимость.

2. Корпорационные облигации, которые продаются по номиналу с купонной ставкой 9% (т.е. на 100 000 долларов вложенного капитала можно получать 9000 долларов годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако ваша фирма планирует продать эти облигации в конце первого года. Следовательно, фактическая доходность по облигациям будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость облигаций, в случае экономического спада возможна противоположная ситуация.

3. Проект капиталовложений №1, чистая стоимость которого составляет 100 000 долларов. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуществляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

4. Альтернативный проект капиталовложений №2, совпадающий по всем параметрам с проектом №1 и отличающийся от него лишь распределением вероятностей ожидаемых в конце года выплат.

Распределением вероятностей называется множество возможных исходов с указанием вероятности появления каждого из них. Таким образом, в таблице 1 представлены четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по казначейским векселям точно известна — она составляет 8% и не зависит от состояния экономики. Таким образом, риск по казначейским векселям равен нулю.

Отметим, что инвестиции в казначейские векселя являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. Реальная же доходность казначейских векселей содержит определенную долю риска, поскольку она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение периода владения векселями. Более того, казначейские векселя могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерывного дохода: когда истекает срок платежа по казначейским векселям, необходимо осуществить реинвестирование денежных средств и если процентные ставки снижаются, доход портфеля также уменьшится.

Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования, не учитывается в нашем примере, так как период, в течение которого фирма владеет векселями, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций — это доходность после уплаты налогов, поэтому, значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенностью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Таблица 1
Доходность инвестиций при данном состояния экономики, %
Состояние экономики	Вероятность	Казначейские векселя, %	корпорационные облигации	проект №1	проект №2
Глубокий спад	0,05	80	12,0	— 3,0	— 2,0
Незначительный спад	0,20	80	10,0	6,0	9,0
Стагнация	0,5	80	9,0	11,0	12,0
Незначительный подъем	0,20	80	8,5	14,0	15,0
Сильный подъем	0,05	80	8,0	19,3	26,0
____________________________________________________________________________________
Ожидаемая доходность	—	80	9,2	10,3	12,0

Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики следует рассматривать как интервал значений, а отдельные ее значения — как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет собой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными. Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов; так, в таблице 1 приведены дискретные распределения вероятностей. Доходность казначейских векселей принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Каждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что казначейские векселя будут иметь доходность 8%, равна 1.00, а вероятность того, что доходность казначейских корпоративных облигаций составит 9%, равна 0.50.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сложить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются доходности, ожидаемое значение — это ожидаемая доходность (expected rate of return, k), которую можно представить в следующем виде:

, где

k_i — i-й возможный исход,
Р_i — вероятность появления i-го исхода,
n — число возможных исходов.

Используя формулу, находим, что ожидаемая доходность проекта 2 равна 12.0%

к = -2.0% * 0.05 + 9.0% * 0.20 + 12.0% * 0.50 + 15%* 0.20 + 26.0% * 0.05 = 12.0%

Ожидаемые доходности трех других альтернативных вариантов инвестирования найдены аналогичным образом (таблице 1).
Дискретные распределения вероятностей могут быть представлены графически или в табличной форме. На рисунке 1 приведены столбиковые диаграммы (или гистограммы) проектов №1 и №2.

Рисунок 1. Графическое представление дискретного распределения вероятностей; а — проект №1; б — проект №2

Возможные значения доходности проекта №1 принадлежат промежутку от -3.0 до +19.0%, а проекта №2 от -2.0 до +26.0%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появления соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому варианту равна 1.00. Отметим также, что распределение значений доходности проекта №2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта №1 имеет левостороннюю асимметрию. Аналогичные диаграммы для казначейских векселей и корпорационных облигаций показали бы, что доходность казначейских векселей представлена единственным столбцом, а доходность корпорационных облигаций представлена диаграммой, имеющей правостороннюю асимметрию.

Программная реализация данной методики финансовой математики сделана в: «Альтаир Финансовый калькулятор 2.xx».

На примере расчета ожидаемой доходности можно увидеть, как применять программу «Альтаир Финансовый калькулятор 2.xx» на практике.

Главная Методики финансового и инвестиционного анализа Финансовая математика Производительность труда
Copyright © 2021 by Altair Software Company. Потенциальным спонсорам программ и проекта.

Источник

Распределение вероятности ожидаемых доходов по двум инвестиционным проектам

Более наглядное представление об уровне риска дают результаты расчета среднеквадратического (стан­дартного) отклонения, представленные в табл. 3.3.

Расчет среднеквадратического (стандартного) отклонения по двум инвестиционным проектам

Результаты расчета показывают, что средне-квадратическое (стандартное) отклонение по ин­вестиционному проекту «А » составляет 150, в то время как по инвестиционному проекту «Б» — 221, что свидетельствует о большем уровне его риска.

Рассчитанные показатели среднеквадратиче­ского (стандартного) отклонения по рассматривае­мым инвестиционным проектам могут быть интер­претированы графически (рис. 3.11.)

Из графика видно, что распределение вероят­ностей проектов «А » и «Б » имеют одинаковую вели­чину расчетного дохода, однако в проекте «А » кри­вая уже, что свидетельствует о меньшей колебле­мости вариантов расчетного дохода относительно средней его величины R, а следовательно и о меньшем уровне риска этого проекта.

Рисунок 3.11. Распределение вероятности ожидаемого (расчетного) дохода по двум инвести­ционным проектам.

г) Коэффициент вариации. Он позволяет определить Уровень риска, если показатели среднего ожидаемого дохода от осуществления финансовых операций разли­чаются между собой. Расчет коэффициента вариации осуществляется по следующей формуле:

где CV— коэффициент вариации;

σ—среднеквадратическое (стандартное) отклонение;

R—среднее ожидаемое значение дохода по рас­сматриваемой финансовой операции.

Пример: Необходимо рассчитать коэффициент вариации по трем инвестиционным проектам при раз­личных значениях среднеквадратического (стандарт­ного) отклонения и среднего ожидаемого значения дохода по ним. Исходные данные и результаты рас­чета приведены в табл 3 4

Расчет коэффициента вариации по трем инвестиционным проектам

Результаты расчета показывают, что наимень­шее значение коэффициента вариации — по проекту «А», а наибольшее — по проекту «В» Таким обра­зом, хотя ожидаемый доход по проекту «В» на 33% выше, чем по проекту «А» ((600 – 450) / 450 х 100) , уровень риска по нему, определяемый коэффициентом вариации, выше на 61% )(0,53 – 0,33) / 0,33 х 100)

Следовательно, при сравнении уровней рисков по отдельным инвестиционным проектам предпоч­тение при прочих равных условиях следует отдавать тому из них, по которому значение коэффициентов вариации самое низкое (что свидетельствует о наи­лучшем соотношении доходности и риска).

д) Бета-коэффициент (или бета) Он позволяет оце­нить индивидуальный или портфельный систематичес­кий финансовый риск по отношению к уровню риска финансового рынка в целом. Этот показатель использу­ется обычно для оценки рисков инвестирования в от­дельные ценные бумаги. Расчет этого показателя осу­ществляется по формуле:

К — степень корреляции между уровнем доходности по индивидуальному виду ценных бумаг (или по их портфелю) и средним уровнем доходности данной группы фондовых инструментов по рынку в целом;

σ_и — среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности по индивидуальному виду ценных бумаг (или по их портфелю в целом);

σ_р — среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности по фондовому рынку в целом.

Уровень финансового риска отдельных ценных бу­маг определяется на основе следующих значений бета-коэффициентов:

Источник

Показатели оценки инвестиционного проекта

Зачем нужен инвестпроект

Инвестиционные проект составляют, чтобы привлечь инвестиции для реализации идеи. При этом инвестиции должны быть целесообразными, иметь конкретные сроки и установленные объёмы.

Когда инвесторы рассматривают проекты, они хотят найти способ сохранить или приумножить капитал. Чтобы сделать грамотный выбор, они оценивают потенциальный доход, сроки и риски.

В статье мы разберём, какие существуют методы для оценки инвестпроектов, какие показатели рассматривают инвесторы и как их рассчитать.

Основные показатели оценки инвестпроектов

Существуют два типа современных методов оценки инвестиционных показателей: статистические и методы, основанные на дисконтировании.

Главное отличие статистических от методов дисконтирования в том, что они не учитывают временную стоимость денег.

В 1999 г. ученые Грэм и Харви попытались выяснить, какие методы используют в практике финансовые директоры американских компаний. Они отправили анкету 4440 компаниям, в которой просили указать наиболее часто используемые методы оценки проектов. Ответы были получены от 392 респондентов.

Результаты исследования показали, что крупные фирмы (с уровнем продаж до 1 млрд $) предпочитают показатели внутренней нормы доходности (IRR) и чистой дисконтированной стоимости (NPV), не всегда принимая в расчёт срок окупаемости (PBP) и дисконтированный срок окупаемости (DPP) в отличие от маленьких предприятий (с уровнем продаж до 100 млн $) [Graham, Harvey, 2001].

Источник

Распределение вероятности ожидаемых доходов по двум инвестиционным проектам

Инвестиционный проект „А»

Инвестиционный проект „Б»

Сумма ожидаемых доходов, усл. ден. ед. (2×3)

Расчетный доход, усл. ден. ед.

Сумма ожидаемых доходов, усл. ден. ед. (2×3)

Сравнивая данные по отдельным инвестиционным про­ектам, можно увидеть, что расчетные величины доходов по проекту „А» колеблются в пределах от 200 до 600 усл. ден, ед. при сумме ожидаемых доходов в целом 450 усл. ден. ед. По проекту „Б» сумма ожидаемых доходов в целом так­же составляет 450 усл. ден. ед.. однако их колеблемость осуществляется 6 диапазоне от 100 до 800 уел ден. ед

Даже такое простое сопоставление позволяет сделать вы­вод о том, что риск реализации инвестиционного проекта „А» значительно меньше, чем проекта „Б», где колеблемость расчетного дохода выше.

Более наглядное представление об уровне риска дают результаты расчета среднеквадратического (стандартно­го) отклонения, представленные 8 табл. 3.3.

Расчет среднеквадратического (стандартного) отклонения по двум инвестиционным проектам

Результаты расчета показывают, что среднеквад-ратическое (стандартное) отклонение по инвестиционно­му проекту „А» составляет 150, В то Время как по инвести­ционному проекту „Б» — 221, что свидетельствует о большем уровне его риска.

Рассчитанные показатели среднеквадратического (стандартного) отклонения по рассматриваемым инвести­ционным проектам могут быть интерпретированы графи­чески (рис. 3.1.)

Из графика Видно, что распределение вероятностей проектов „А» и „Б» имеют одинаковую величину расчетного дохода, однако в проекте „А» кривая уже, что свидетель-

ствует о меньшей колеблемости Вариантов расчетного дохода относительно средней его Величины В, а следова­тельно и о меньшем уровне риска этого проекта,

г) Коэффициент Вариации. Он позволяет определить уровень риска, если показатели среднего ожидаемого дохода от осуществле­ния финансовых операций различаются между собой. Расчет коэф­фициента вариации осуществляется по следующей формуле:

где —коэффициент вариации;

—среднеквадратическое (стандартное) отклонение;

—среднее ожидаемое значение дохода по рас­сматриваемой финансовой операции.

Пример: Необходимо рассчитать коэффициент вари­ации по трем инвестиционным проектам при различных зна­чениях среднеквадратического (стандартного) отклонения и среднего ожидаемого значения дохода по ним. Исходные данные и результаты расчета приведены В табл. 3.4.

Результаты расчета показывают, что наименьшее значение коэффициента вариации — по проекту „А», а наи­большее — по проекту „В». Таким образом, хотя ожидае­мый доход по проекту „В» на 33% выше, чем по проекту ,.А»

Источник