Расчет аннуитета при инвестициях

Аннуитет и финансовая рента в инвестициях

В большинстве коммерческих операций вместо разовых платежей встречается последовательность денежных поступлений или выплат. Серия потоков поступлений или выплат называется потоком платежей . Поток однонаправленных платежей с равными интервалами времени между последовательными платежами в течение определенного количества лет представляет собой аннуитет (финансовая рента) .

Денежные поступления при оценке долговых и долевых ценных бумаг, возможных арендных платежей можно представить следующим образом:

Аннуитеты могут подразделяться по количеству выплат в году, т. е. годовые выплаты (1 раз в год) и срочные (ряд выплат в пределах года), а также по количеству начислений процентов в течение года (ежегодно несколько раз в год или непрерывно).

По времени наступления платежей различают два типа аннуитета:

1. Обыкновенный (постнумерандо) аннуитет — когда платежи происходят в конце каждого периода.

2. Авансовый (пренумерандо) аннуитет — когда платежи происходят в начале каждого периода.

По продолжительности денежного потока различают:

3. Срочный аннуитет — денежный поток с равными поступлениями в течение ограниченного промежутка времени.

Примером срочного аннуитета постнумерандо являются арендные платежи, за пользование имуществом, землей и т. п., которые регулярно поступают по истечении очередного периода. В качестве примера срочного аннуитета пренумерандо можно представить схему периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью наполнения определенной суммы, необходимой для решения конкретной задачи.

1. Бессрочный аннуитет — когда денежные поступления продолжаются достаточно длительное время.

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета рассчитывается по следующей формуле:

где — денежные поступления аннуитета; — коэффициент наращения будущей стоимости аннуитета.

Для денежного потока из периода будущая стоимость авансового аннуитета равна:

Для определения суммы, которую необходимо депонировать в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов остаток составил необходимую величину, используется функция, называемая фактор фонда возмещения :

Данный фактор учитывает процент, получаемый по депозитам. Сумма ежегодного вклада составит:

где — стоимость поступлений по истечении срока вложений.

Формула (1.17) применяется для определения суммы, которую следует ежегодно вкладывать на депозитный счет в банк, чтобы через определенное количество лет получить заданную стоимость.

Часто в тех случаях, когда вплоть до истечения срока кредитного договора (долгового обязательства) кредитору выплачивается только процент, заемщики для погашения основной суммы кредита создают специальные фонды возмещения. В каждый период должник вносит в отдельный фонд сумму, которая вместе с начисляемым на нее процентом должна обеспечить погашение основной части кредита.

Пример 3. Чтобы получить 800 тыс. руб. в конце четырехлетнего периода при нулевом проценте, необходимо депонировать тыс. руб. Если процентная ставка составит 10 %, тогда можно депонировать

Разница четырех взносов (524,2 тыс. руб.) и полученной суммы составит 275,8 тыс. руб.

Настоящая и текущая стоимость обыкновенного аннуитета

Настоящая стоимость обыкновенного аннуитета для денежного потока из периодов рассчитывается по формуле:

Отдельные элементы денежного потока относятся к разным временным интервалам, поэтому их суммирование искажает реальную доходность инвестиций. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется при помощи функции, называемой текущей стоимостью аннуитета.

Текущая стоимость обыкновенного аннуитета определяется по формуле:

где — коэффициент дисконтирования настоящей стоимости аннуитета.

Пример 4. В результате осуществления инвестиционного проекта ежегодные доходы в течение 5 лет будут составлять по 500 тыс. руб.

Текущая стоимость денежных потоков составит:

В результате дисконтирования дохода за каждый период получим:

В тех случаях, когда денежные поступления приходят в начале периода, настоящая стоимость авансового аннуитета для денежного потока из периодов рассчитывают следующим образом:

Формула (1.20) применяется для определения текущей стоимости, если доходы, получаемые за каждый i-й период, равны. При неравенстве доходов по временным периодам их получения рассчитывается дисконтированная стоимость за каждый период.

Функция погашения кредита

Для определения дохода, который необходимо получать ежегодно, чтобы возместить (окупить) инвестиции за определенный период времени с учетом процентной ставки, используется функция погашения кредита :

Формула (1.21) применяется для определения суммы, которую необходимо ежегодно (ежеквартально) вносить в банк для погашения кредита и процентов по нему.

Ежегодный доход (аннуитет) определяется умножением суммы инвестиций на множитель

где — начальная сумма инвестиции (вложений).

Пример 5. Инвестиции в проект составили 900 тыс. руб. Чтобы окупить инвестиции в течение 5 лет и получить доход в размере 10 % годовых, ежегодный денежный поток (аннуитет) должен составить:

Настоящая стоимость бессрочного аннуитета

Настоящая стоимость бессрочного аннуитета определяется по формуле:

Бессрочным называется такой денежный поток, при котором денежные поступления продолжаются весьма длительное время (например, аренда на 50 лет и более).

Формула (1.23) показывает максимальную цену, которую инвестор согласен заплатить за бессрочные денежные поступления. Для этого в числителе используют размер годовых поступлений, а в знаменателе в качестве коэффициента дисконтирования обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент по государственным ценным бумагам).

Источник

CFA — Как рассчитывать будущую стоимость (FV) последовательности денежных потоков (аннуитета)?

Рассмотрим равномерные и неравномерные последовательности денежных потоков, изучаемые в рамках программы CFA, а также порядок и примеры расчета таких аннуитетов.

При оценке денежных потоков, последовательно осуществляемых в течение многих периодов времени, обычно используются следующие термины:

• Аннуитет(англ. ‘annuity’) — это ограниченная последовательность (серия) денежных потоков.
• Обычный или простой аннуитет или аннуитет постнумерандо(англ. ‘ordinary annuity’) — это серия денежных потоков, в которой денежные потоки происходят через 1 период, т.е. в начале следующего периода или в конце текущего периода (например, 1-й поток индексируется как t = 1).
• Авансовый аннуитет или аннуитет пренумерандо(англ. ‘annuity due’) — это серия денежных потоков, в которой денежные потоки происходят немедленно, т.е. в начале текущего периода (1-й поток индексируется как t = 0).
  См. примеры расчета авансового аннуитета.
• Бессрочный аннуитет или перпетуитет или вечная рента(англ. ‘perpetuity’ или ‘perpetual annuity’) — это бесконечная (бессрочная) серия потоков денежных средств. При этом первый денежный поток происходит через один период (т.е. t = 1).
  См. пример расчета перпетуитета.

Как вычислять обычный аннуитет, то есть FV равных денежных потоков?

Рассмотрим обычный аннуитет с начислением 5% годовых.

Предположим, что у нас есть 5 отдельных депозитов по $1 000, поступающих с равными интервалами, каждый из которых составляет 1 год, причем 1-й платеж происходит при t = 1.

Наша цель — найти будущую стоимость (FV) этого обычного аннуитета после внесения последнего депозита при t = 5. Поскольку все 5 депозитов вносятся с периодичностью в 1 год, последний платеж осуществляется через 5 лет.

Как показывает временная линия на рисунке выше, мы находим будущую стоимость каждого депозита на сумму $1 000 к моменту времени t = 5, используя для каждого депозита формулу FV (2):

FV_N = PV * (1 + r) N .

Стрелки на рисунке выше соответствуют дате каждого депозита от даты 1-го платежа до t = 5 и указывают на расчет будущей стоимости FV для соответствующего депозита.

Например, по 1-му депозиту в размере $1 000 (при t = 1) будут начисляться проценты в течение 4-х последующих периодов.

Используя формулу FV, мы вычисляем будущую стоимость 1-го депозита при t = 5, которая составляет:

$1 000 * (1,05) 4 = $1 215,51.

Для всех других платежей мы вычисляем FV аналогичным образом.

Обратите внимание, что мы находим будущую стоимость при t = 5, поэтому последний (5-й) платеж не важен и не отображается на временной линии.

Теперь, имея все значения FV при t = 5, мы можем их суммировать, чтобы получить будущую стоимость аннуитета, т.е. всей последовательности равных денежных потоков. Эта сумма составляет $5 525,63.

Теперь рассмотрим общую формулу аннуитета, в которой:

• A — сумма аннуитета,
• N — количество периодов и
• r — процентная ставка за период.

Мы можем рассчитать будущую стоимость как

FV_N = A * [(1 + r) N-1 + (1 + r) N-2 + (1 + r) N-3 + . + (1 + r) 1 + (1 + r) 0 ],

что можно упростить до следующей формулы:

FV_N = A * [((1 + r) N -1) / r] (формула 7)

Выражение в квадратных скобках — это фактор будущей стоимости аннуитета (англ. ‘future value annuity factor’).

Этот коэффициент означает будущую стоимость обычного аннуитета на одну денежную единицу (т.е. на $1 в нашем примере).

Умножение фактора будущей стоимости аннуитета на сумму аннуитета дает будущую стоимость обычного аннуитета.

Для обычного аннуитета, изображенного на рисунке выше, фактор будущей стоимости аннуитета из формулы 7 можно рассчитать как:

[((1.05) 5 — 1) / 0.05] = 5.525631.

Если сумма аннуитета A = $1 000, то будущая стоимость аннуитета составляет $1,000 * (5.525631) = $5,525.63, что соответствует вычислению, сделанному ранее.

Следующий пример иллюстрирует, как можно рассчитать будущую стоимость обычного аннуитета, используя формулу 7.

Пример расчета будущей стоимости простого аннуитета.

Предположим, что пенсионный план вашей компании с установленными взносами позволяет вам инвестировать до €20 000 в год. Вы планируете инвестировать €20 000 в год в индексный инвестиционный фонд в течение следующих 30 лет.

Исторически сложилось так, что этот фонд в среднем приносил своим инвесторам 9% в год.

Исходя из того, что вы будете зарабатывать 9% в год, сколько пенсионных средств будет на вашем счете после внесения последнего платежа?

Решение:

Используйте формулу 7, чтобы найти будущую стоимость аннуитета:

A = €20,000
r = 9% = 0.09
N = 30

Фактор FV аннуитета = [(1 + r) N — 1] / r
= [(1.09) 30 — 1] / 0.09 = 136.307539.

FV_N = €20,000 * (136.307539) = €2,726,150.77.

Предполагая, что фонд будет зарабатывать в среднем 9% в год, вы получите €2,726,150.77 к моменту выхода на пенсию.

Как вычислять аннуитет при неравных денежных потоках?

Довольно часто последовательность денежных потоков аннуитета неравномерна. То есть, потоки денежных средств не являются одинаковыми платежами, осуществляемыми через равные периоды времени.

Это исключает использование в расчете фактора будущей стоимости аннуитета.

Например, у инвестора может быть план сбережений, который предполагает неравные денежные выплаты в зависимости от месяца года или более низкие сбережения во время запланированного отпуска.

В этом случае будущую стоимость серии неравных денежных потоков можно вычислить, рассчитав и суммировав FV каждого отдельного денежного потока.

Пример расчета аннуитета при неравномерных денежных потоках.

Предположим, что у вас есть 5 денежных потоков, которые описаны в таблице ниже. Платежи пронумерованы относительно текущей даты (t = 0).

Источник

Куда вкладывать (инвестировать) заработанные деньги

Урок 9. Как рассчитать аннуитетные платежи в банковских, пенсионных и кредитных выплатах

Что такое аннуитет, стоимость аннуитета, формула аннуитета и аннуитетный платеж для лучшего понимания мы рассмотрим на конкретных примерах из практики финансовых расчетов.

Пример 1 расчёта аннуитетных платежей

Инвестор каждый месяц вкладывает деньги в сумме 3000 рублей на банковский депозит с ежемесячной капитализацией, то какая сумма будет на его банковском счете через 10 лет?

Сколько денег накопится на банковском счете при регулярных вложениях в банковский депозит под один и тот же процент по банковскому вкладу с капитализацией, можно подсчитать по формуле будущей стоимости аннуитета.

Аннуитетом в финансовом менеджменте называется любой поток одинаковых денежных платежей.

Например:

если негосударственный пенсионный фонд выплачивает пенсию из ваших пенсионных накоплений одинаковыми ежемесячными платежами, то это аннуитет;

и если вы выплачиваете кредит ежемесячными одинаковыми платежами, то это тоже аннуитет.

Будущая стоимость аннуитета (БСА) – это сумма, которая накопится у получателя аннуитета за весь срок получения дохода от вложенных денег с учетом постоянного инвестирования полученных платежей.

Будущая сумма = БСА = Годовой платеж х (((1 + Доходность) N – 1)/Годовая доходность),

Годовой платеж – это сумма денег, которую инвестор вкладывает в течение года. Если инвестор инвестирует деньги ежемесячно, то Годовой платеж равен двенадцати ежемесячным платежам вкладываемых денег.

N здесь снова, как и в предыдущих материалах «Как оценить доходность вложения денег в банковский депозит и выбрать наиболее выгодные вклады в банках» и «Как оценить доходность финансовых инвестиций», означает число периодов начисления дохода и в этой формуле продолжительность периода начисления дохода N должна совпадать с периодом перечисления денег по аннуитету.

Доходность рассчитывается также за период N исходя из Годовой доходности и выражается в долях единицы.

Пример расчёта аннуитетного платежа:

Каждый месяц инвестор докладывает к своим инвестициям 3000 рублей и все накопленное инвестируется с доходностью 10% годовых в течение 10 лет.

В итоге такого вложения денег инвестор накопит 614 534 рубля:

Накопленная сумма = 3000 х 12 х (((1 + 0,1/12) 10х12 – 1)/0,1) = 614 534 рубля

Обратите внимание, что инвестор вкладывает совсем незначительную сумму денег — 100 рублей в день и через 10 лет получает сумму 614 534 рубля!

Притом, что если просто откладывать по 100 рублей в день, не инвестируя эти деньги никуда, то накопленная сумма составит всего 360 000 рублей, то есть почти в два раза меньше!

Пример 2 расчёта аннуитетных платежей

Сколько нужно ежемесячно вкладывать денег в инвестиции, чтобы накопить 1 000 000 рублей за 5 лет?

В прошлом вопросе мы подсчитывали результат планомерного инвестирования в течение некоторого периода времени. Но чаще, например, при пенсионном и финансовом планировании жизни (накопления на пенсию, на образование детей, на приобретение жилой недвижимости и т.п.), мы сталкиваемся с обратной задачей.

Нам требуется выяснить, сколько нужно вкладывать денег в инвестиции, чтобы к определенной дате накопить нужную сумму.

При помощи следующей формулы можно легко подсчитать, сколько денег нужно ежемесячно инвестировать для того, чтобы реализовать запланированные финансовые цели:

Ежемесячный платеж = (Целевая сумма х (Годовая доходность/12))/((1 + Годовая доходность/12) N — 1)

Здесь, как и в предыдущем примере, N – это число периодов начисления инвестиционного дохода. Поскольку мы вычисляем размер ежемесячного платежа инвестируемых денег, N измеряем в месяцах.

Годовая доходность инвестиций, как и в предыдущих расчетах, подставляется в формулу в долях единицы.

Если требуется накопить 1 000 000 рублей за 5 лет и для этого деньги вложены в пополняемый банковский депозит с доходностью 7% годовых с ежемесячной капитализацией, то нетрудно подсчитать, что нужно каждый месяц вкладывать 13 968 рублей:

Ежемесячный платеж = (1 000 000 рублей х (0,07/12))/((1 + 0,07/12) 5х12 — 1) = 13 968 рублей.

Инвестируя всего 14 000 рублей в месяц, через пять лет можно накопить сумму более 1 миллиона рублей!

А если инвестиции в среднем будут приносить 15% годовых, то для того, чтобы накопить миллион рублей за те же пять лет, нужно будет ежемесячно добавлять к финансовым вложениям лишь по 11 290 рублей.

Важно отметить, что приведенные формулы расчета аннуитетных платежей работают при условии капитализации процентов.

То есть, чтобы реально получить расчетный финансовый результат от вложения денег в инвестиции, необходимо не забывать снова вкладывать полученный от финансовых активов доход (реинвестировать).

Пример. Можно стать «миллионером» намного быстрее, если, например, взять миллион рублей в кредит в банке.

Давайте посчитаем, во сколько обойдется такой банковский кредит. Для расчета аннуитетных платежей при погашении банковского кредита применяется уже другая формула:

Размер ежемесячного аннуитетного платежа = (Сумма кредита х Процентная ставка)/(1 – (1 + Процентная ставка) -N ),

N – это количество месяцев, за которые необходимо погасить взятый банковский кредит.

Процентная ставка банковского кредита берется в долях единицы в пересчете на месяц, то есть это годовая ставка по банковскому кредиту, деленная на 12.

Например, для банковского кредита с процентной ставкой 15% годовых Процентная ставка будет равна:

Процентная ставка = 15%/(100 х 12) = 0.0125.

Итак, если вы берете 1 000 000 рублей в банковский кредит, то при достаточно умеренной процентной ставке по банковскому кредиту в размере 15% годовых нужно будет выплачивать по 23 790 рублей каждый месяц в течение 5 лет.

В итоге получение миллиона на 5 лет раньше обойдется в ежемесячный платеж в 23 790 рублей вместо 14 000 рублей при инвестиционном накоплении этого миллиона!

Пример 3 расчёта аннуитетных платежей

Как оперативно оценить выгодность своих вложений денег в инвестиции

Практика показывает, что у многих людей возникают сложности с вычислением и пониманием процентных ставок при вложении денег, особенно когда считать приходится быстро и в уме. Один из способов справиться с этой проблемой – не пытаться разобраться в процентах доходности,

• а выяснить, сколько времени потребуется для того, чтобы удвоить количество инвестированных денег с учетом эффекта сложных процентов.

Тогда от непривычных и непонятных процентов доходности можно перейти к более привычным единицам измерения – к годам.

Вычислить это проще, чем кажется. Задолго до того, как были изобретены калькуляторы и электронный таблицы, инвесторы использовали инвестиционное правило — «Правило 72х».

Как работает Правило 72х в инвестициях

Представьте себе, что необходимо оперативно принять решение о вложении денег с доходностью 10% годовых и с возможностью капитализации процентов.

Чтобы с помощью Правила 72 вычислить, сколько лет потребуется для удвоения суммы первоначальных инвестиций, нужно просто разделить 72 на годовую ставку доходности.

То есть для доходности в 10% годовых удвоение инвестиционной суммы произойдет через 72/10 = 7,2 лет. Аналогично, с процентной ставкой 20% годовых – инвестиционная сумма удвоится за 3,6 лет (72/20 = 3,6).

Однако, правило 72 не подходит для точных расчетов. Но оно позволяет быстро и без использования компьютера или калькулятора получить достаточно реалистичную оценку результата вложения денег в инвестиции.

Как же мы можем воспользоваться Правилом 72 для принятия решения о выгодности вложения денег в тот или иной инвестиционный актив?

Разумеется, чем быстрее прирастают финансовые активы, тем лучше. Но мы должны иметь представление о сроках удвоения капитала с приемлемым для нас уровнем инвестиционного риска.

У инвесторов считается, что

если инвестиции удваиваются не быстрее, чем за 5 лет, то это инвестиции вполне приемлемого риска;

если увеличение инвестиционной суммы в два раза происходит более чем за 10 лет, то это не очень интересно для инвестиций;

если же Правило 72 показывает, что денег станет в два раза больше менее чем через 2 года, то это повод сильно задуматься о надежности таких вложений денег в инвестиции.

Источник