Особое значение для становления рыночной экономики в России имеет развитие таких процессов, как самофинансирование в его комплексном понимании, а также наращив
Главная > Документ
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Первоначальный капитал в размере 20 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операций должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
По формуле (6.3) получаем
Iи = (1 + 0,15)² = 1,3225.
Множитель наращения и номинальная ставка доходности равны:
kн.c = (1 + 0,1)² = 1,3225.
icα = (1 + 0,1) 1,3225 – 1 = 0,265 = 26,5%.
Далее для наращенной суммы получаем
S = 50 000 000 (1 + 0,265)² = 80 011 250 (руб.)
Первоначальный капитал в размере 20 000 000 руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12%.
Воспользуемся формулой (6.3):
По формуле (6.9) имеем
jα = [(1 + 0,08/4) 1,4 – 1] 4 = 0,107 = 10,7%.
S = 20 000 000 (1 + 0,107/4)¹² = 27 454 048 (руб.).
При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кредит выдается на полгода, за которые предполагаемый индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.
Производим вычисления по формуле (6.7):
dα = (1,06 – 1 + 0,5 · 0,05)/( 1,06·0,5) = 0,16 = 16%.
Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 0,9% в месяц выдается кредит на два года по номинальной ставке сложных процентов:
По формуле (6.4):
Iи = (1 + 0,009) = (1,009³) = 1,027 .
j = [0,15 + 4(1 – 1,027)]/1,027 = 0,038 = 3,8%.
Определить, какой реальной убыточностью обладает финансовая операция, если при уровне инфляции 14% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 8% при ежемесячном начислении.
Находим сначала индекс инфляции:
Iи = 1 + 0,14 = 1,14.
Далее используем формулу (6.15):
j = [0,08 + 12(1 − 1,14)]/ 1,14 = -0,051 = -5,1%.
Таким образом, данная операция будет приносить 5,1%-ный убыток.
В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т.д. Такая последовательность называется потоком платежей.
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
• величиной каждого отдельного платежа;
• интервал времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени − вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.
Аннуитеты, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо ; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо ( обыкновенный аннуитет) – пожалуй, самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представляет аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.
Введем следующие обозначения:
P – величина каждого отдельного платежа;
ic – сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;
Sk – наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;
S – наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т.е. сумма платежей с процентами);
Ak – современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;
А – современная величина всего аннуитета постнумерандо (т.е. сумма современных величин всех платежей);
Sп – наращенная сумма аннуитета пренумерандо;
Ап – современная величина аннуитета пренумерандо;
n – число платежей.
Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодным платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке iс (см. приложение, рис. 5).
Сумма S1 для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n – 1) раз, составит по формуле (3.1):
Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем
и так далее. На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т.е.
Тогда для общей наращенной суммы имеем
где ki,n – коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n – представляет собой, как можно заметить, сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член a1 равен 1, а знаменатель (назовем его q) составляет (1 + ic).
Используя математическую формулу для суммы геометрической прогрессии:
выражение (7.1) в более удобном для вычисления виде:
Для коэффициента наращения, соответственно, имеем
Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (см. приложение, рис. 6).
При заданной процентной ставке ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:
Современная величина всего аннуитета, следовательно, составит
где аi,n – коэффициент приведения аннуитетов, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами a1 = q =1/(1 + ic).
Тогда для аi,n получаем выражение:
для современной величины А соответственно
Как видим, современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотношением:
Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.
Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем
Для определения срока аннуитета (n) при прочих заданных условиях, получаем
Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.
Рассмотрим далее аннуитет пренумерандо с теми же начальными условиями (см. приложение, рис. 7).
Отличие от предыдущего случая состоит здесь в том , что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т.е. каждая наращенная сумма Sk увеличивается в (1 + ic) раз. Следовательно, для всей суммы Sп имеем
Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо ki,n получаем следующее соотношение:
ki,n = ki,n ·(1 + ic). (7.12)
Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Аk будет больше в (1 + i) раз. Таким образом,
Для коэффициента приведения а i,n получаем
а i,n = аi,n(1 + ic). (7.14)
Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для значений Sп и Ап соответствующие значения S и А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.
Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30−40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т.д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее n как число таких интервалов.
Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай вечного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут следующий вид:
Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем
Таким образом, различие между типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.
Не менее важен случай, когда последовательность платежей изменяется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.
Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи постоянно увеличиваются на определенную положительную величину h, т.е. являются арифметической прогрессии с первым членом а1 = Р и разностью h. Т. с. Платежи представляют собой ряд:
Р, Р + h, P + 2h, . . . P + (n – 1)h.
Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:
S = P(1 + ic) + (P + h)(1 + ic) + (P +2h)(1 + ic) + … + [P + (n −1)h].
Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) и вычтем первое выражение из полученного после умножения:
S·ic = P(1 + ic)ⁿ − [P + (n – 1)h] + h(1 + ic) + h(1 + ic) + … + h(1 + ic).
Видно, что часть полученного равенства представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где а1 = h(1 + ic); q = (1+ ic). После несложных преобразований получаем:
Найдем теперь современное значение аннуитета А.
Умножим обе части равенства на (1 + ic)ⁿ.
A(1 + ic)ⁿ = P(1 + ic) 
+ (P + h)(1 + ic) + … + [P + (n – 1)h] = S.
Как видим, в данном случае верна формула (7.6). полученная ранее для обыкновенного аннуитета:
Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т.е. являются членами геометрической прогрессии:
P, Pq, Pq², …, Pq .
Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем
S = P[(1 + ic) + q(1 + ic) +q²(1 + ic) + … +q ].
В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом а1 = (1 + ic)ⁿ и знаменателем q/(1 + ic). Используя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:
S = P [qⁿ – (1 + ic)ⁿ]/[q – (1 + ic)].
Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):
A = P[qⁿ/(1 + ic)ⁿ – 1]/[q – (1 + ic)].
Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.
Источник