В статистике коэффициент корреляции (англ. Correlation Coefficient) используется для проверки гипотезы о существовании зависимости между двумя случайными величинами, а также позволяет оценить ее силу. В портфельной теории этот показатель, как правило, используется для определения характера и силы зависимости между доходностью ценной бумаги (актива) и доходностью портфеля. Если распределение этих переменных является нормальным или близким к нормальному, то следует использовать коэффициент корреляции Пирсона, который рассчитывается по следующей формуле:
В расширенном виде формулу коэффициента корреляции Пирсона можно записать следующим образом:
где ki – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;
— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;
pi – доходность портфеля в i-ом периоде;
— ожидаемая (средняя) доходность портфеля.
n – количество наблюдений.
Свойства коэффициента корреляции
Значение коэффициента корреляции изменяется от -1 до +1. Его отрицательное значение говорит о том, что между переменными наблюдается обратная взаимосвязь. Например, когда доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о прямой взаимосвязи, то есть, если доходность ценной бумаги будет расти, доходность портфеля также будет расти, и наоборот.
Если абсолютное значение коэффициента корреляции находится ближе к 1, то это свидетельствует о сильной взаимосвязи между переменными, а если ближе к 0 — то это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если его значение равно -1 или +1, то можно говорить о существовании функциональной взаимосвязи между переменными, то есть одну из них можно выразить через другую посредством математической функции.
Пример расчета
Динамика доходности акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг выглядят следующим образом:
Чтобы использовать формулу коэффициента корреляции Пирсона необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:
для акций Компании А 4,986%;
для акций Компании Б 5,031%;
для портфеля 3,201%.
Ковариация доходности акций Компании А и портфеля составит -0,313, а акций Компании Б и портфеля 0,242. (О том, как рассчитывается ковариация доходности можно прочитать здесь)
Среднеквадратическое отклонение доходности акций Компании А составит 0,6398, акций Компании Б 0,5241 и портфеля 0,5668. (О том, как рассчитывается среднеквадратическое отклонение можно прочитать здесь)
Коэффициент корреляции доходности акций Компании А и доходности портфеля составит -0,864, а акций Компании Б 0,816.
RБ = 0,242/(0,5241*0,5668) = 0,816
Можно сделать вывод о присутствии достаточно сильной взаимосвязи между доходностью портфеля и доходностью акций Компании А и Компании Б. При этом, доходность акций Компании А демонстрирует разнонаправленное движение с доходностью портфеля, а доходность акций Компании Б однонаправленное движение.
Источник
CFA — Ожидаемая доходность, ковариация и корреляция активов инвестиционного портфеля
Расчет и интерпретация ожидаемой доходности, дисперсии доходности, ковариации и корреляции активов инвестиционного портфеля являются фундаментальными навыками финансового аналитика. Рассмотрим эти концепции, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Современная теория инвестиционного портфеля часто использует идею о том, что инвестиционные возможности можно оценить с использованием ожидаемой доходности в качестве меры вознаграждения и дисперсии доходности в качестве меры риска.
Расчет и интерпретация ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля являются фундаментальными навыками финансового аналитика. В этом разделе мы рассмотрим концепции ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности.
Хотя в этом разделе мы коснемся ряда основных понятий, мы не будем разбирать портфельную теорию как таковую. Портфельная теория Марковица (англ. ‘mean-variance analysis’) будет рассматриваться в следующих чтениях.
Доходность портфеля определяется доходностью отдельных его составляющих. В результате расчет дисперсии портфеля как функция доходности отдельного актива является более сложным, чем расчет дисперсии, проиллюстрированный в предыдущем разделе.
Рассмотрим пример портфеля,
50% которого инвестируются в фонд индекса S&P 500,
25% — в фонд долгосрочных корпоративных облигаций США, и
25% — в фонд индекса MSCI EAFE (представляющий рынки акций в Европе, Австралии и на Дальнем Востоке).
Сначала рассмотрим расчет ожидаемой доходности портфеля. В предыдущем разделе мы определили ожидаемое значение случайной величины как средневзвешенную вероятность возможных результатов случайной величины.
Мы знаем, что доходность портфеля — это средневзвешенная доходность ценных бумаг в портфеле. Аналогично, ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную величину ожидаемой доходности ценных бумаг в портфеле с использованием точно таких же весов.
Когда мы оценили ожидаемую доходность отдельных ценных бумаг, мы сразу же получили ожидаемую доходность портфеля. Этот удобный факт вытекает из свойств ожидаемого значения.
Свойства ожидаемого значения.
Пусть \( w_i \) — любая постоянная величина (константа), а \( R_i \) — случайная величина.
1. Ожидаемое значение постоянной величины, умноженной на случайную величину, равно постоянной, умноженной на ожидаемое значение случайной величины.
2. Ожидаемое значение взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме ожидаемых значений с использованием тех же весов.
Предположим, у нас есть случайная величина с заданным ожидаемым значением. Например, если мы умножим каждый результат на 2, ожидаемое значение случайной величины умножится также на 2. В этом смысл части 1.
Второе утверждение — это правило, которое напрямую приводит к выражению ожидаемой доходности портфеля.
Портфель с n ценными бумагами определяется весами его портфеля, \( w_1, w_2, \ldots, w_n \), которые в сумме составляют 1. Таким образом, доходность портфеля, \( R_p \), равна \( R_p = w_1R_1 + w_2R_2 + \ldots + w_nR_n \).
Теперь мы можем сформулировать следующий принцип:
Расчет ожидаемой доходности портфеля.
Для портфеля с n ценными бумагами ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную ожидаемую доходность по включенным в него ценным бумагам:
В предыдущем разделе мы изучали дисперсию как меру рассеивания результатов вокруг ожидаемого значения. Здесь нас интересует дисперсия доходности портфеля как мера инвестиционного риска.
Если \( R_p \) обозначает доходность портфеля, то дисперсия доходности портфеля составляет \( \sigma^2(R_p) = E \Big\ < \big[R_p - E(R_p)\big]^2 \Big\>\) в соответствии с Формулой 8.
Как можно использовать это определение на практике?
В чтении о статистических концепциях и рыночной доходности мы узнали, как рассчитать историческую или выборочную дисперсию на основе выборки ставок доходности.
Теперь мы рассматриваем дисперсию в прогностическом смысле. Мы будем использовать информацию об отдельных активах в портфеле, чтобы получить доходность всего портфеля.
Чтобы избежать беспорядка в обозначениях, мы пишем \( ER_p \) вместо \(E(R_p)\). Нам нужна концепция ковариации.
Определение ковариации.
Для двух случайных величин \(R_i\) и \(R_j\) ковариация между \(R_i\) и \(R_j\) равна
Альтернативными обозначениями являются \(\sigma(R_i,R_j)\) и \(\sigma_\).
Формула 14 утверждает, что ковариация (англ. ‘covariance’) между двумя случайными переменными является средневзвешенной вероятностью для перекрестных произведений отклонения каждой случайной переменной от ее собственного ожидаемого значения.
Последний шаг следует из определений дисперсии и ковариации.
Полезные факты о дисперсии и ковариации включают в себя следующее:
Дисперсия постоянной величины (константы) умноженная на случайную величину равна квадрату константы умноженной на дисперсию случайной величины, или \( \sigma^2(wR) = w^2\sigma^2(R) \);
Дисперсия константы плюс случайная величина равна дисперсии случайной величины, или \( \sigma^2(w + R) = \sigma 2(R)\), поскольку константа имеет нулевую дисперсию;
Ковариация между константой и случайной величиной равна нулю.
Для выделенных курсивом ковариационных членов в Формуле 15 мы использовали тот факт, что порядок переменных в ковариации не имеет значения: например, \(\textrm(R_2,R_1) = \textrm(R_1,R_2) \).
Как мы покажем далее, диагональные дисперсионные члены \(\sigma^2(R_1)\), \(\sigma^2(R2)\) и \(\sigma^2(R_3)\) могут быть выражены как \(\textrm(R_1,R_1)\), \(\textrm(R_2,R_2)\) и \(\textrm(R_3,R_3)\), соответственно.
Опираясь на этот факт, можно вывести наиболее компактный вид Формулы 15:
Знаки суммирования говорят: «Установите i = 1, и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 2 и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 3 и пусть j меняется от 1 до 3; наконец, добавьте девять членов».
Эту формулу можно использовать для портфеля любого размера n:
Из Формулы 15 видно, что отдельные отклонения доходности составляют часть, но не все отклонения портфеля. Три отклонения фактически превосходят по численности шесть ковариационных членов вне диагонали. Для трех активов это соотношение составляет 1 к 2 или 50 процентов.
Если имеется 20 активов, то есть 20 дисперсионных слагаемых и 20(20) — 20 = 380 недиагональных ковариационных слагаемых. Отношение слагаемых дисперсии к недиагональным слагаемым ковариации составляет менее 6 к 100, или 6%. Таким образом, первое наблюдение заключается в том, что с увеличением числа активов портфеля ковариация становится все более важной, в остальном все не меняется.
Когда значение ковариации как «недиагональной ковариации» очевидно, как здесь, мы опускаем уточняющие слова. Ковариация обычно используется в этом смысле.
Как именно влияет ковариация на дисперсию доходности портфеля?
Члены ковариации показывают, как совместное движение доходности отдельных активов влияет на дисперсию всего портфеля.
Например, рассмотрим две акции: одна имеет тенденцию к высокой доходности (относительно ее ожидаемой доходности), а другая имеет низкую доходность (относительно ее ожидаемой доходности).
Доходность одной акции имеет тенденцию компенсировать доходность другой акции, снижая изменчивость или дисперсию доходности портфеля.
Как и дисперсию, значения ковариации трудно интерпретировать, и мы вскоре представим более интуитивно понятную концепцию. Между тем, из определения ковариации мы можем установить два существенных примечания о ковариации.
1. Мы можем интерпретировать ковариацию следующим образом:
Ковариация доходности отрицательна, когда доходность одного актива выше его ожидаемого значения, а доходность другого актива имеет тенденцию быть ниже его ожидаемого значения (средняя обратная зависимость между ставками доходности).
Ковариация доходности равна 0, если доходность активов не связана.
Ковариация доходности положительна, когда доходность обоих активов, как правило, находятся по одну сторону (выше или ниже) относительно ожидаемых значений в одно и то же время (средняя положительная зависимость между ставками доходности).
2. Ковариация случайной величины с самой собой (собственная ковариация) — это ее собственная дисперсия:
Полный список ковариаций составляет все статистические данные, необходимые для расчета дисперсии доходности портфеля. Ковариации часто представлены в табличном формате, который называется ковариационной матрицей (англ. ‘covariance matrix’).
В Таблице 7 показано, как вводятся расчетные значения в ковариационную матрицу для ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.
Таблица 7. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля — значения матрицы:
Для трех активов ковариационная матрица имеет \(3^2 = 3 \times 3 = 9 \) ячеек, но значения ячеек по диагонали (дисперсия) обычно рассчитываются отдельно от недиагональных ячеек. Эти диагональные значения выделены жирным шрифтом в Таблице 7.
Это различие естественно, так как дисперсия акций — это концепция с одной переменной. Таким образом, есть 9 — 3 = 6 ковариаций, исключая дисперсии.
Но \(\textrm(R_B,R_A) = \textrm(R_А,R_В)\), \( \textrm(R_С,R_A) = \textrm(R_B,R_A) \) и \( \textrm(R_С,R_B) = \textrm(R_B,R_C) \).
Ковариационная матрица под диагональю является зеркальным отображением ковариационной матрицы над диагональю. В результате, есть только 6/2 = 3 различных ковариационных члена для оценки. В целом, для n ценных бумаг существует \( n(n — 1)/2 \) различных ковариаций для оценки и n дисперсий для оценки.
Предположим, у нас есть ковариационная матрица, показанная в Таблице 8.
Мы будем работать с доходностью, указанной в процентах, а записи в таблице будут выражены в процентах в квадрате (% 2 ). Члены 38% 2 и 400% 2 равны 0.0038 и 0.0400 соответственно в десятичном виде; правильная работа в процентах и десятичных дробях приводит к одинаковым ответам.
Таблица 8. Ковариационная матрица.
Долгосрочные корпоративные облигации США
Долгосрочные корпоративные облигации США
Если взять Формулу 15 и сгруппировать дисперсионные члены, мы получим следующее:
Разница составляет 195.875. Стандартное отклонение доходности составляет 195.875 1/2 = 14%. В итоге, ожидаемая годовая доходность портфеля составляет 11.75%, а стандартное отклонение доходности — 14%.
Давайте посмотрим на первые три члена в приведенном выше расчете. Их сумма, 100 + 5.0625 + 27.5625 = 132.625, является вкладом отдельных дисперсий активов в общую дисперсию портфеля. Если бы доходность по трем активам была независимой, ковариации были бы равны 0, а стандартное отклонение доходности портфеля составило бы 132.625 1/2 = 11.52% по сравнению с 14% ранее.
Портфель будет иметь меньший риск. Предположим, что члены ковариации были отрицательными. Тогда к 132.625 будет добавлено отрицательное число, поэтому дисперсия портфеля и риск будут еще меньше.
В то же время мы не изменили ожидаемую доходность. При той же ожидаемой доходности портфеля, портфель имеет меньший риск. Это снижение риска является преимуществом диверсификации, что означает снижение риска от владения портфелем активов.
Преимущество диверсификации увеличивается с уменьшением ковариации.
Это наблюдение является ключевым понятием современной теории портфеля. Это станет еще более интуитивно понятно, когда мы рассмотрим концепцию корреляции. Тогда мы сможем сказать, что до тех пор, пока ставки доходности акций портфеля не имеют абсолютно положительной корреляции, возможны преимущества диверсификации.
Кроме того, чем меньше корреляция между доходностью акций, тем выше стоимость отказа от диверсификации (с точки зрения упущенных выгод от снижения риска), при прочих равных условиях.
Определение корреляции.
Корреляция (англ. ‘correlation’) между двумя случайными величинами, \(R_i\) и \(R_j\), определяется как:
Деление, указанное в определении, делает корреляцию чистым числом (т.е. без единицы измерения) и устанавливает границы для ее наибольшего и наименьшего возможных значений.
Используя приведенное выше определение, мы можем сформулировать корреляционную матрицу только на основе данных из ковариационной матрицы. В Таблице 9 показана матрица корреляции.
— среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности i-ой ценной бумаги;
— среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности портфеля.
— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;
— ожидаемая (средняя) доходность портфеля.
