Примеры решения задач. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение. Этот пример позволит вам на практике рассчитать показатели, которые мы можем ожидать от инвестиционного портфеля. Даны два вида акций и три состояния экономики:
| Состояние экономики | Вероятность такого состояния | Уровень доходности ценных бумаг типа A | Уровень доходности ценных бумаг типа B |
| Спад | 0,1 | -0,2 | 0,3 |
| Нормальное | 0,6 | 0,1 | 0,2 |
| Подъем | 0,3 | 0,7 | 0,5 |
Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций.
Риск портфеля и доходность. Вернемся к примеру 11.1 и предположим, что всего вы имеете $20000. Если вы вложите $6000 в акции A, а остальное в B, какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение вашего портфеля?
Риск и доходность. Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:
| Ценные бумаги | Бета | Ожидаемая доходность |
| Cooley, Inc. | 1,6 | 19% |
| Moyer Co. | 1,2 | 16% |
Если ставка, свободная от риска, составляет 8%, правильно ли оценены данные ценные бумаги? Какой должна была бы быть ставка, свободная от риска, если ценные бумаги оценить правильно?
CAPM. Предположим, что ставка, свободная от риска, составляет 8%. Ожидаемая доходность на рынке составляет 14%. Если конкретный вид актива имеет (3 = 0,6, то какова ожидаемая доходность этого актива, основываясь на CAPM? Если другой актив имеет ожидаемую доходность 20%, то какой должен быть (3 коэффициент?
Ответы
Ожидаемые доходности рассчитываются как произведение возможных доходностей на их вероятности:
E(RA) = 0,1 х (-0,2) + 0,6 х (0,1) + 0,3 х (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 х (0,3) + 0,6 х (0,2) + 0,3 х (0,5) = 30%
Непостоянство рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонения ожидаемых доходностей на их вероятности:
Од = 0,1 х (-0,2 — 0,25)2 + 0,6 х (0,1 — 0,25)2 + 0,3 х (0,7 — 0,25)2 = = 0,1 х (-0,45)2 + 0,6 х (-0,15)2 + 0,3 х (0,45)2 = = 0,1 х 0,2025 + 0,6 х 0,0225 + 0,3 х 0,2025 = 0,0945
а2, = 0,1 х (0,3 — 0,3)2 + 0,6 х (0,2 — 0,3)2 + 0,3 х (0,5 — 0,3)2 =
= 0,1 х (0,0)2 + 0,6 х (-0,1)2 + 0,3 х (0,2)2 =
= 0,1 х 0,0 + 0,6 х 0,01 + 0,3 х 0,04 = 0,0180 Стандартные отклонения равны: аА = УО,0945 =30,74% aB = VO,0180 = 13,42%
Вес каждого типа акций в портфеле составляет: $6000/20000 = 0,3 и $14000/20000 = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит:
Щ/У = 0,3 х E(RA) + 0,7 х E(RB) = 0,3 х 25% + 0,7 х 30% = 28,50%
Мы также могли бы рассчитать доходность портфеля и для каждого состояния экономики:
| Состояние экономики | Вероятность такого состояния | Доходность портфеля |
| Спад | 0,1 | 0,3 х (-0,2) + 0,7 х (0,3) = 0,15 |
| Нормальное | 0,6 | 03х(0,1) + 0,7х(02) = 0,17 |
| Подъем | 0,3 | 03х(0,7) + 07х (0,5) = 0,56 |
Тогда доходность портфеля составляет
E(Rp) = 0,1 х (0,15) + 0,6 х (0,17) — 0 3 х (0,56) = 28,50%.
Это тот же самый результат, что мы получили ранее.
Рассчитаем непостоянство портфеля
Ор = 0,1 х (0,15 — 0,285)2 + 0,6 х (0,17 — 0,285)2 + 0,3 х (0,56 — 0,285)2 = 0,03245
Тогда стандартное отклонение есть корень квадратный из 0,03245 и равно 18,01%
Если мы рассчитаем коэффициент награды за риск для ценных бумаг каждой компании, мы в результате получим (19% — 8%)/1,6 = 6,875% для Cooley и 6,67% для Моуег По отношению к Cooley ожидаемая доходность Моуег слишком низкая, поэтому ее цены слишком высокие
Если ценные бумаги обеих компаний оценены правильно, то они должны предлагать одинаковый коэффициент награды за риск Таким образом, мы можем составить уравнение
(19% — Rj)/],6 = (16% — Rf)/l,2
Произведя небольшие алгебраические преобразования, мы получим /?у= 7%
(19% — Rf) = (16% — ЯД 1,6/1 ,2) 19% — 16% х (4/3) = Rf — Rf x (4/3) йу=7%
Так как рыночная ожидаемая доходность составляет 14%, то рыночная премия риска соответственно (14% — 8%) = 6% (ставка, свободная от риска, равна 8%) Первый вид ценных бумаг имеет Р = 0,6, значит ожидаемая доходность составляет 8% + 0,6×6%= 11,6%
Для второго вида премия риска составляет 20% — 8% = 12% Так как это ровно в два раза превышает рыночную премию риска, то и р коэффициент должен быть точно равен 2 Мы можем проверить это используя теорию CAPM
20% = 8% + [14% — 8%] х р Р, = 12%/6% = 2,0
Вопросы и задачи
Ожидаемые доходности портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли ожидаемая доходность такого портфеля быть больше, чем доходность каждого актива в этом портфеле? Меньше? Если у вас положительный ответ на один или оба вопроса, пожалуйста приведите пример, чтобы аргументировать ваше решение.
Непостоянство индивидуального актива и диверсификация. Правда или нет: наиболее важной характеристикой при определении ожидаемой доходности хорошо диверсифицированного портфеля являются непостоянства индивидуальных активов портфеля. Объясните.
Риск портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли стандартное отклонение такого портфеля быть меньше, чем стандартное отклонение каждого актива в этом портфеле? Что вы можете сказать о b такого портфеля?
Доходности портфеля. Используя информацию предыдущей главы об истории рынка ценных бумаг, определите, какой была доходность портфеля, который былодинаково распределен между обыкновенными акциями и долгосрочными правительственными облигациями? Который одинаково распределен между малыми акциями и векселями Казначейства?
CAPM. Используя CAPM, докажите, что коэффициент премии риска двух активов равен их коэффициентам р.
Доходности портфеля и отклонения. Имея следующую информацию о портфеле, состоящем из трех видов ценных бумаг, определите:
| Состояние экономики | Вероятность такого состояния | Уровень доходности ценных бумаг типа A | Уровень доходности ценных бумаг типа B | Уровень доходности ценных бумаг типа C |
| Подъем | 0,20 | 0,20 | 0,30 | 1,00 |
| Нормальное | 0,70 | 0,10 | 0,05 | 0,30 |
| Спад | 0,10 | 0,00 | -0,20 | -0,80 |
Если вы инвестировали по 30% в A и B, 40% в C, какой будет ожидаемая доходность портфеля? Непостоянство? Стандартное отклонение?
Если ожидаемый уровень доходности T-bill составляет 5,25%, то какой будет премия риска портфеля?
Если ожидаемый уровень инфляции составляет 5%, то какова реальная ожидаемая доходность портфеля? Какова реальная премия риска портфеля?
Анализ портфеля. Вы хотите создать портфель с таким же уровнем риска, что и фондовый рынок в целом. У вас есть $200000. Имея нижеприведенную информацию, заполните недостающие позиции:
| Актив | Инвестиции, $ | b |
| Вид A | 1,20 | |
| Вид B | 0,85 | |
| Вид C | ?? | 1,40 |
| Актив, свободный от риска | ?? | ?? |
Анализ портфеля. Вы имеете $100000 для инвестиций либо в ценные бумаги типа D, либо в F, либо в актив, свободный от риска. Вы должны вложить все ваши деньги. Ваша цель – создание портфеля с ожидаемой доходностью 10% и только с 60% риска, по сравнению с остальным рынком. Если D имеет ожидаемую доходность 20% и Р = 1,50, F имеет ожидаемую доходность 15% и Р = 1,15, ставка, свободная от риска составляет 5%, то сколько денег вы вложите в F?
Систематический риск против несистематического. Вы имеете следующую информацию:
| Состояние экономики | Вероятность такого состояния | Уровень доходности ценных бумаг типа A | Уровень доходности ценных бумаг типа B |
| Спад | 0,15 | 0,14 | -0,18 |
| Нормальное | 0,60 | 0,24 | 0,10 |
| Подъем | 0,25 | 0,28 | 0,40 |
Рыночная премия риска составляет 8% и ставка, свободная от риска, равна 6%. Какой вид ценных бумаг имеет наибольший систематический риск? Какой вид имеет наибольший несистематический риск? Какой вид ценных бумаг наиболее рискованный? Объясните.
Вопросы повышенной сложности
Коэффициенты b. Может ли рискованный актив иметь b = 0? Объясните. Используя модель CAPM, какой будет ожидаемая доходность такого актива? Может ли рискованный актив иметь отрицательный b коэффициент? Что предсказывает CAPM об уровне ожидаемой доходности для такого актива? Можете ли вы пояснить свой ответ?
Линия состояния фондового рынка (SML). Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:
| Ценные бумаги компании | b | Ожидаемая доходность |
| Abel Co. | 1,15 | 18% |
| Baker Co. | 0,80 | 15% |
Допустим, что эти ценные бумаги правильно оценены. Основываясь на CAPM, определите, какой будет ожидаемая рыночная доходность? Какова ставка, свободная от риска?
[1] Экзамен CFA – экзамен на получение сертификата финансового аналитика, который выдается специалистам в области инвестиций в США.
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2021 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.003 с) .
Источник
Оценим инвестиционный проект
Задача по экономике:
Расчет NPV, PI, срока окупаемости простого, срока окупаемости дисконтированного, индекса рентабельности инвестиций, внутренней нормы доходности.
Дано: Инвестиции в бизнес составили 500 тыс. рублей.
Ожидаемые доходы (CFi) за 5 лет составят:
2014 год – 100 тыс. рублей. 2015 год – 150 тыс. рублей.
2016 год – 200 тыс. рублей. 2017 год – 250 тыс. рублей.
2018 год – 300 тыс. рублей.
Ставка дисконтирования 20%.
1. чистый дисконтированный доход (NPV) за 5 лет,
2. индекс прибыльности (PI) ,
3. сроки окупаемости простой и дисконтированный,
4. внутреннюю норму доходности (IRR).
Сначала рассчитаем чистые денежные потоки по формуле CFi/(1+r) t
Где CFi – денежные потоки по годам.
r – ставка дисконтирования.
t – номер года по счету.
Тогда в первый год чистый денежный поток будет равен CFi/(1+r) t = 100000 /(1+0,2) 1 =83333,33 рублей.
Во второй год чистый денежный поток будет равен CFi/(1+r) t = 150000 /(1+0,2) 2 = 104166,67 рублей.
В третий год чистый денежный поток будет равен CFi/(1+r) t = 200000 /(1+0,2) 3 = 115740,74 рублей.
В четвертый год чистый денежный поток будет равен CFi/(1+r) t = 250000 /(1+0,2) 4 = 120563,27 рублей.
В пятый год чистый денежный поток будет равен CFi/(1+r) t = 300000 /(1+0,2) 5 = 120563,27 рублей.
Где I – сумма инвестиций.
∑CFi/(1+r) i – сумма чистых денежных потоков.
∑CFi/(1+r) i =83333,33+104166,67+115740,74+120563,27+120563,27 =544367,28 рублей.
NPV=83333,33+104166,67+115740,74+120563,27+120563,27 – 500000 = 44367,28 рублей.
NPV= 44367,28 рублей.
NPV должен быть положительным, иначе инвестиции не оправдаются. В нашем случае NPV положителен.
Рассчитаем индекс рентабельности PI (profitability index).
Индекс рентабельности рассчитывается по формуле:
(чистые денежные потоки делим на размер инвестиций).
Тогда индекс рентабельности будет = 544367,28 / 500000=1,09.
Если индекс рентабельности инвестиций больше 1, то можно говорить о том, что проект эффективен.
Обобщим данные расчета NPV в таблице.
Рассчитаем срок окупаемости простой.
Инвестиции 500000 рублей.
В первый год доход 100000 рублей, т.е. инвестиции не окупятся.
Во второй год доход 150000 рублей, т.е. за два года доходы составили 250000 рублей, что меньше суммы инвестиций.
В третий год доход 200000 рублей, т.е. за три года доходы составили 250000+200000=450000 рублей, что меньше суммы инвестиций.
В четвертый год доход 250000 рублей, т.е. за четыре года доходы составили 450000+250000=700000 рублей, что больше суммы инвестиций.
Т.е. срок окупаемости простой будет 3 с чем-то года. Найдем точное значение по формуле.
Срок окупаемости простой =3+(остаток долга инвестору на конец третьего года) / денежный поток за четвертый год.
Срок окупаемости простой = 3+50000 /250000=3,2 года.
Рассчитаем срок окупаемости дисконтированный.
Инвестиции 500000 рублей.
В первый год чистый денежный поток 83333,33 рублей, т.е. инвестиции не окупятся.
Во второй год чистый денежный поток 104166,67 рублей, т.е. за два года дисконтированные доходы составили 83333,33+104166,67=187500 рублей, что меньше суммы инвестиций.
В третий год чистый денежный поток 115740,74 рублей, т.е. за три года дисконтированные доходы составили 187500+115740,74=303240,74 рублей, что меньше суммы инвестиций.
В четвертый год чистый денежный поток 120563,27 рублей, т.е. за четыре года дисконтированные доходы составили 303240,74+120563,27=423804,01 рублей, что меньше суммы инвестиций.
В пятый год чистый денежный поток 120563,27 рублей, т.е. за 5 лет дисконтированные доходы составили 303240,74+120563,27=544367,28 рублей, что больше суммы инвестиций.
Т.е. срок окупаемости дисконтированный будет больше 4, но меньше 5 лет. Найдем точное значение по формуле.
Срок окупаемости дисконтированный =4+(остаток долга инвестору на конец четвертого года) / чистый денежный поток за пятый год.
Срок окупаемости простой = 4+76195,99 / 120563,27 = 4 , 63 года.
Рассчитаем внутреннюю норму доходности.
Внутренняя норма доходности – это значение ставки дисконтирования, при которой NPV=0 .
Можно найти внутреннюю норму доходности методом подбора. В начале можно принять ставку дисконтирования, при которой NPV будет положительным, а затем ставку, при которой, NPV будет отрицательным, а затем найти усредненное значение, когда NPV будет равно 0.
Мы уже посчитали NPV для ставки дисконтирования, равной 20%. В этом случае NPV = 44367,28 рублей.
Теперь примем ставку дисконтирования равной 25% и рассчитаем NPV.
NPV= 100000/(1+0,25) 1 +150000/(1+0,25) 2 +200000/(1+0,25) 3 + 250000 / (1+0,25) 4 + 300000 / (1+0,25) 5 — 500000= -20896 рублей.
Итак, при ставке 20% NPV положителен, а при ставке 25% отрицателен. Значит внутренняя норма доходности IRR будет в пределах 20-25%.
Внутренняя норма доходности. Расчет
Найдем внутреннюю норму доходности IRR по формуле:
Данный пример предназначен для практических занятий. к.э.н., доцент Одинцова Е.В.
Источник