Оптимальное распределение инвестиций по проектам

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ ПО ПРОЕКТАМ

ЗАНЯТИЕ 3

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Словесная формулировка. Имеется поставщиков А₁, А₂ , … , А_m некоторого однородного грузас запасами a₁, a₂,…,a_m соответственно. Имеется потребителей B₁, B₂,… , B_n этого груза c заявками b₁, b₂,…,b_n. Заданы тарифы перевозок , означающие стоимости перевозки единицы груза от A_i к B_j ; кроме того, заданы штрафные тарифы , означающие издержки, вызываемые каждой единицей невывезенного груза поставщиков , , а также штрафные тарифы , означающие издержки, вызываемые каждой единицей недопоставленного груза потребителям , . Требуется составить такой план перевозки грузов, при котором: 1) объемы вывозимых грузов не превышают запасы поставщиков; 2) объемы поставок не превышают заявки потребителей; 3) суммарные издержки всех перевозок минимальны.

Формальная постановка. Используя введенные обозначения, имеем:

(2.1)

(2.2)

Задача 2.1.Имеется пять поставщиков и пять потребителей некоторого груза. Стоимости перевозки единицы груза с_ij от i-го поставщика к j-му потребителю, данные о возможностях поставщиков и запросах потребителей, а также штрафы за недопоставку/невывоз каждой единицы груза, представлены в следующих таблицах:

Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4	Потребитель 5	Штрафы за невывоз
Поставщик 1
Поставщик 2
Поставщик 3
Поставщик 4
Поставщик 5

Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4	Потребитель 5
Штрафы за недопоставку

Поставщик 1	Поставщик 2	Поставщик 3	Поставщик 4	Поставщик 5
Возможности поставщиков

Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4	Потребитель 5
Запросы потребителей

Каждый поставщик заинтересован поставить весь имеющийся у него груз, каждый потребитель – максимально удовлетворить свои потребности. Составить оптимальный план перевозок с минимальной стоимостью.

Решение: 1) переписываем «возможности поставщиков» в столбец как «запасы»;

2) переписываем «запросы потребителей» как «потребности»

3) подсчитываем (в ячейках В9 и I2) суммарные запасы и суммарные потребности, определяя после этого тип задачи (закрытая, на избыток или на недостаток);

4) подсчитываем кол-во вывезенного (В18:В22), привезенного (D16:H16) груза, остатки у поставщиков (J18:J22) и недопоставки у потребителей (D24:H24);

5) подсчитываем издержки (B13; D13; F13; H13); 7) вызываем «Поиск решения» и решаем задачу:

Рис 2.1. Шаблон с решением задачи 2.1

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.2. Для строительства 4-х объектов используется кирпич, изготовляемый на трех заводах. Ежедневно на заводе1, заводе2 и заводе3 может изготовляться соответственно 100, 150 и 50 тыс. шт. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов равны 75, 80, 60 и 85 тыс. шт. Известны также тарифы перевозок 1 тыс. шт. кирпича с каждого завода к каждому из строящихся объектов:

Объект1	Объект2	Объект3	Объект4
Завод1
Завод2
Завод3

Составить такой план перевозок кирпича к строящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Чему она равна? Ответ: F_min=665 при X * = .

Задача 2.3. В трех хранилищах горючего хранится 175, 125 и 140 тонн бензина. Этот бензин запрашивают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 110, 60 и 40 тонн. Тарифы перевозок 1 тонны бензина с хранилищ к заправочным станциям заданы в таблице

Хранилища	Заправочные станции
I	II	III	IV
А
В
С

Составить такой план перевозки бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной, а все заправочные станции получают столько, сколько запрашивают. Штрафы за недопоставку и за невывоз бензина равны нулю.

Ответ: F_min=1675 при X * = .

Задача 2.4.На трех мелькомбинатах объединения «Мука» ежедневно производится 110, 190 и 90 тонн муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 тонн. Тарифы перевозок 1 тонны муки с мелькомбинатов к каждому из хлебозаводов известны и задаются матрицей

Мелькомбинаты	Хлебозаводы
I	II	III	IV
А
В
С

Составить такой оптимальный план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Ответ:F_min=1280 при X * = .

Задача 2.5. Заводы автомобильной фирмы MG расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Новом Орлеане. Основные центры распределения продукции сосредоточены в Денвере и Майами. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1500 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одного автомобиля на одну милю равняется 8 центам. Расстояние в милях между заводами и центрами распределения приведены в таблице:

Лос-Анджелес
Детройт
Новый Орлеан
Денвер	Майами

Составить такой план перевозок автомобилей в центры распределения, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Чему она равна? Ответ: F_min=31320000 при X * = .

Задача 2.6.Заводы фирмы расположены в городах Лидсе и Кардиффе; они доставляют товары на склады городов Манчестер, Бирмингем и Лондон. Расстояния (в милях) между этими городами приведены в таблице:

Заводы	Склады
Манчестер	Бирмингем	Лондон
Лидс
Кардифф

Завод в Лидсе выпускает в год 800 т. товаров, а в Кардиффе — 500 т. Манчестерский склад вмещает 400 т., Бирмингемский — 600 т., а Лондонский — 300 т. Стоимости перевозки единицы товара на единицу расстояния равны по любым направлениям. Как следует транспортировать товары для минимизации стоимости перевозок?

Ответ:F_min=125000 при .

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Часы суток

Требуется составить оптимальный план выпуска автобусов на смену с тем, чтобы суммарное число автобусов, работающих в сутки, было бы минимально.

Решение. Обозначим : число автобусов, выходящих на линию в 0 часов; число автобусов, выходящих на линию в 4 часа; число автобусов, выходящих на линию в 8 часов; число автобусов, выходящих на линию в 12 часов; число автобусов, выходящих на линию в 16 часов; число автобусов, выходящих на линию в 20 часов. Тогда математическая формулировка задачи принимает вид задачи линейного программирования:

Ответ: f_min=26 при (4; 10; 0; 8; 4; 0).

ЗАНЯТИЕ 3

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ ПО ПРОЕКТАМ

Словесная формулировка.Имеется ряд проектов, намеченных к реализации в течение некоторого периода. По каждому проекту задан график возврата средств, выделяемых на его реализацию, представленный в виде последовательности коэффициентов возврата, выражающих собой долю взятого кредита, которую необходимо вернуть кредитору в указанное время. Требуется найти распределение средств по проектам, приносящее максимальный доход за инвестиционный период. Для решения таких задач используются линейные динамические модели.

Формальная постановка.Пусть инвестиционный период разбит на m временных интервалов, следующих непосредственно один за другим; и – объем инвестиций в j-й проект и их предельное значение соответственно; коэффициент возврата этих инвестиций в начале i-го интервала. Пусть средства инвестора хранятся в банке с коэффициентом доходности k_i за i-й интервал. Тогда остатки и на банковском счете инвестора в начале и конце i-го периода будут равны:

; ; , , (1.1)

где H – величина средств инвестора в начале инвестиционного периода.

Остатки на начало m-го интервала следует максимизировать:

. (1.2)

Соотношение (1.1) вместе с рекуррентными соотношениями (1.2), описывающими динамику изменения средств инвестора, условиями и , представляют формальную постановку задачи.

Задача 1.1. Компания, желая оптимальным образом использовать имеющиеся у нее денежные средства, разрабатывает оптимальный план инвестиций на ближайшие пять лет. На выбор у компании имеется пять инвестиционных проектов, параметры денежных потоков которых представлены в следующей таблице

Год	Проект А	Проект В	Проект С	Проект D	Проект Е
-1	-1	-1	-1
0,7	-1	0,2	-1
0,1	0,1	0,6	0,5	0,1
0,1	0,1	0,4	0,9	0,6
1,6	1,6	2,5	1,6

Участие в инвестиционном проекте «С» обязательное и требует не менее 6,9 млрд. руб., а проект «В» не допускает инвестиций более 6,2 млрд. руб. Размер имеющихся у компании денежных средств на момент планирования инвестиций составляет 14 млрд. руб.

Определить размеры инвестиций в каждый проект, обеспечивающие максимальную отдачу.

Решение. В соответствиис формализацией (1.1)-(1.2) остатки и на банковском счете инвестора в начале и конце i-го года будут равны:

; ; , ,

Остатки в конце периода следует максимизировать:

Добавляя условия , , , получаем и решаем задачу с помощью надстройки «Поиск решения» Excel:

1) отводим блок ячеек под искомые размеры инвестиций (ячейки B10:F10 на шаблоне, рис.1 ниже);

2) считаем обороты (G3:G7) и остатки денег (H3:H7) на р/с компании для каждого года;

3) ставим задачу в «Поиске решения» и решаем ее.

Рис 1. Шаблон с решением задачи 1.1

Задача 1.2.Представители пяти проектов конкурируют между собой за получение кредита. Графики потока платежей погашения кредитов представлены в таблице:

Год	Проекты
A	B	C	D	E
-1,0	-1,0	-1,0
+0,3	-1,0	+1,0
+1,0	+0,3	-1,0
+1,0	+1,75	+1,4

Например, проект А стартует в начале первого года сразу после получения кредита; в начале второго года возвращает инвестору 0,3 от всей взятой суммы; в начале третьего года (момент окончания проекта) взятые деньги возвращаются с коэффициентом 1. Проект В аналогичен проекту А, но начинается на год позже. И так далее. Доходы, полученные от текущих проектов, можно направить в другие. Средства инвестора хранятся на банковском счете с доходностью 6% годовых. Максимальная сумма, требуемая для проекта А, равна 500 у.е. По другим проектам объем вложений не ограничен. В начальный момент у инвестора имеется 1000 у.е. Найти оптимальные объемы инвестиций в проекты, обеспечивающие максимальный доход инвестора к началу 4-го года периода.

Решение.В соответствиис формализацией (1.1)-(1.2) остатки и на банковском счете инвестора в начале и конце i-го года будут равны:

; ; , ,

Остатки на начало 4-го года периода следует максимизировать:

Добавляя условия , ; получаем задачу и решаем ее с помощью надстройки «Поиск решения» Excel:

Рис. 1.2. Шаблон с решением задачи 1.2

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.3.Инвестор, располагающий суммой в 500 тыс. евро, желает максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Характеристики возможных инвестиций даны в таблице.

Инвестиции	Начало	Длительность	Процент дохода
А	каждый месяц	1 месяц	1,5
В	месяц 1, 3, 5	2 месяца	3,5
С	месяц 1, 4	3 месяца
D	месяц 1	6 месяцев

Доход по каждому виду инвестиций в конце срока с процентами, указанными в таблице. С начала 5-го месяца до начала 7-го инвестору необходимо иметь на руках не менее 300 тыс. евро. Каков максимальный доход к концу шестимесячного периода?

Ответ:48499,5 евро.

Задача 1.4.Инвестор, располагающий суммой в 500 тыс. евро, желает максимизировать денежную наличность к началу 4-го года периода. Имеется таблица с коэффициентами возврата по каждому из пяти возможных вариантов инвестиций:

Годы	Возможные инвестиции
A	B	C	D	E
-1,0	-0,5	-1,0	-0,5
+0,3	-0,5	+1,0	-0,25	-0,5
+1,0	+0,3	+0,1	-0,25	-0,5
+1,0	+1,75	+1,4

Определить оптимальный план инвестиций. Чему будет при этом равен инвестиционный доход D?

Ответ: .

D=459039,5 евро.

Задача 1.5.Инвестор, располагающий суммой в 500 тыс. евро, желает максимизировать денежную наличность к началу 4-го года периода. Имеется таблица с коэффициентами возврата по каждому из пяти возможных вариантов инвестиций:

Годы	Возможные инвестиции
A	B	C	D	E
-1,0	-0,5	-1,0	-0,5
+0,3	-0,5	+1,0	-0,25	-0,5
+1,0	+0,3	+0,1	-0,25	-0,5
+0,2	+1,0	+0,3	+1,75	+1,4

С учетом рисков на каждый из вариантов решено направить не менее 100 тыс.евро. Чему будет при этом равен инвестиционный доход при оптимальном инвестировании?

Ответ:D=465666,7 евро.

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Словесная формулировка. Имеется поставщиков А₁, А₂ , … , А_m некоторого однородного грузас запасами a₁, a₂,…,a_m соответственно. Имеется потребителей B₁, B₂,… , B_n этого груза c заявками b₁, b₂,…,b_n. Заданы тарифы перевозок , означающие стоимости перевозки единицы груза от A_i к B_j ; кроме того, заданы штрафные тарифы , означающие издержки, вызываемые каждой единицей невывезенного груза поставщиков , , а также штрафные тарифы , означающие издержки, вызываемые каждой единицей недопоставленного груза потребителям , . Требуется составить такой план перевозки грузов, при котором: 1) объемы вывозимых грузов не превышают запасы поставщиков; 2) объемы поставок не превышают заявки потребителей; 3) суммарные издержки всех перевозок минимальны.

Формальная постановка. Используя введенные обозначения, имеем:

(2.1)

(2.2)

Задача 2.1.Имеется пять поставщиков и пять потребителей некоторого груза. Стоимости перевозки единицы груза с_ij от i-го поставщика к j-му потребителю, данные о возможностях поставщиков и запросах потребителей, а также штрафы за недопоставку/невывоз каждой единицы груза, представлены в следующих таблицах:

Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4	Потребитель 5	Штрафы за невывоз
Поставщик 1
Поставщик 2
Поставщик 3
Поставщик 4
Поставщик 5

Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4	Потребитель 5
Штрафы за недопоставку

Поставщик 1	Поставщик 2	Поставщик 3	Поставщик 4	Поставщик 5
Возможности поставщиков

Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4	Потребитель 5
Запросы потребителей

Каждый поставщик заинтересован поставить весь имеющийся у него груз, каждый потребитель – максимально удовлетворить свои потребности. Составить оптимальный план перевозок с минимальной стоимостью.

Решение: 1) переписываем «возможности поставщиков» в столбец как «запасы»;

2) переписываем «запросы потребителей» как «потребности»

3) подсчитываем (в ячейках В9 и I2) суммарные запасы и суммарные потребности, определяя после этого тип задачи (закрытая, на избыток или на недостаток);

4) подсчитываем кол-во вывезенного (В18:В22), привезенного (D16:H16) груза, остатки у поставщиков (J18:J22) и недопоставки у потребителей (D24:H24);

5) подсчитываем издержки (B13; D13; F13; H13); 7) вызываем «Поиск решения» и решаем задачу:

Рис 2.1. Шаблон с решением задачи 2.1

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.2. Для строительства 4-х объектов используется кирпич, изготовляемый на трех заводах. Ежедневно на заводе1, заводе2 и заводе3 может изготовляться соответственно 100, 150 и 50 тыс. шт. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов равны 75, 80, 60 и 85 тыс. шт. Известны также тарифы перевозок 1 тыс. шт. кирпича с каждого завода к каждому из строящихся объектов:

Объект1	Объект2	Объект3	Объект4
Завод1
Завод2
Завод3

Составить такой план перевозок кирпича к строящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Чему она равна? Ответ: F_min=665 при X * = .

Задача 2.3. В трех хранилищах горючего хранится 175, 125 и 140 тонн бензина. Этот бензин запрашивают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 110, 60 и 40 тонн. Тарифы перевозок 1 тонны бензина с хранилищ к заправочным станциям заданы в таблице

Хранилища	Заправочные станции
I	II	III	IV
А
В
С

Составить такой план перевозки бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной, а все заправочные станции получают столько, сколько запрашивают. Штрафы за недопоставку и за невывоз бензина равны нулю.

Ответ: F_min=1675 при X * = .

Задача 2.4.На трех мелькомбинатах объединения «Мука» ежедневно производится 110, 190 и 90 тонн муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 тонн. Тарифы перевозок 1 тонны муки с мелькомбинатов к каждому из хлебозаводов известны и задаются матрицей

Мелькомбинаты	Хлебозаводы
I	II	III	IV
А
В
С

Составить такой оптимальный план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Ответ:F_min=1280 при X * = .

Задача 2.5. Заводы автомобильной фирмы MG расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Новом Орлеане. Основные центры распределения продукции сосредоточены в Денвере и Майами. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1500 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одного автомобиля на одну милю равняется 8 центам. Расстояние в милях между заводами и центрами распределения приведены в таблице:

Лос-Анджелес
Детройт
Новый Орлеан
Денвер	Майами

Составить такой план перевозок автомобилей в центры распределения, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Чему она равна? Ответ: F_min=31320000 при X * = .

Задача 2.6.Заводы фирмы расположены в городах Лидсе и Кардиффе; они доставляют товары на склады городов Манчестер, Бирмингем и Лондон. Расстояния (в милях) между этими городами приведены в таблице:

Заводы	Склады
Манчестер	Бирмингем	Лондон
Лидс
Кардифф

Завод в Лидсе выпускает в год 800 т. товаров, а в Кардиффе — 500 т. Манчестерский склад вмещает 400 т., Бирмингемский — 600 т., а Лондонский — 300 т. Стоимости перевозки единицы товара на единицу расстояния равны по любым направлениям. Как следует транспортировать товары для минимизации стоимости перевозок?

Ответ:F_min=125000 при .

Источник