Линейная производственная задача
СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОГО ПРОЕКТА
1. Линейная производственная задача. 3
2. Задача о расшивке узких мест производства 12
3. Целочисленная задача о расшивке узких мест производства 15
4. Транспортная задача линейного программирования 15
5. Нелинейное программирование 22
9. Задача о кратчайшем пути 48
10. Задача о критическом пути 50
11 Оптимальность по Парето 53
12 Многокритериальная оптимизация 54
13. Принятие решений в условиях неопределенности 57
14. Матричная игра 59
15. Биматричная игра 62
16. Оптимальный портфель ценных бумаг 64
17. Рациональная стоимость опционов 67
1. Линейная производственная задача. Предприятие может выпус¬кать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица
затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [эле¬мент aij этой матрицы равен количеству ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3), ко¬торое необходимо затратить в процессе производства единицы продук¬ции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4)], вектор
объемов ресурсов и вектор
удельной прибыли на единицу продукции.
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запасов ре¬сурсов.
Для этого необходимо обсудить экономическое содержание линейной производственной задачи и сформулировать ее математическую модель, преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного про¬граммирования, решить ее симплексным методом, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и определить узкие места производства (дефицитные ресурсы).
Затем требуется сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, обсудить ее экономическое содержание и запи¬сать математическую модель, после чего найти решение двойственной задачи, пользуясь второй основной теоремой двойственности, обосновав экономический смысл этой теоремы.
Указать оптимальную производственную программу и оценки техноло¬гий, максимальную прибыль и минимальную суммарную оценку всех ре¬сурсов, остатки и двойственные оценки ресурсов и обсудить экономиче¬ский смысл всех этих величин.
После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения», паке¬та Microsoft Excel, проверить правильность решения задачи и, кроме того, определить границы, в которых могут изменяться коэффициенты целе¬вой функции, в пределах которых не изменяется ассортимент выпускае¬мой продукции, и границы, в которых могут изменяться правые части ог¬раничений, в пределах которых сохраняется устойчивость двойственных оценок.
Решение
Математическая модель задачи такова. Требуется найти про¬изводственную программу
при ограничениях по ресурсам
где по смыслу задачи
Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему не¬равенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных x5, x6,x7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
в которой дополнительные переменные x 5, x 6 и x7 имеют смысл остатков ресурсов (соответственно первого, второго и третьего вида). Среди всех реше¬ний системы уравнений, удовлетворяющих условиям неотрицательности , нужно найти то решение, при котором целевая функция примет наи¬большее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы неотри¬цательны, а сама система имеет предпочитаемый вид — дополнительные переменные являются базисными. Поэтому можно применить симплекс¬ный метод. Процесс решения записан в виде последовательности сим¬плексных таблиц (табл. 1).
Таблица 1.1
c Базис h 27 39 18 20 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x5 140 2 1 6 5 1 0 0
0 x6 90 0 3 0 4 0 1 0
0 x7 198 3 2 4 0 0 0 1
z0-z 0-z -27 -39 -18 -20 0 0 0
0 x5 110 2 0 6 11/3 1 -1/3 0
39 x2 30 0 1 0 4/3 0 1/3 0
0 x7 138 3 0 4 -8/3 0 -2/3 1
z0-z 1170-z -27 0 -18 32 0 13 0
0 x5 18 0 0 10/3 49/9 1 1/9 -2/3
39 x2 30 0 1 0 4/3 0 1/3 0
27 x1 46 1 0 4/3 -8/9 0 -2/9 1/3
z0-z 2412-z 0 0 18 8 0 7 9
Для первой симплекс таблицы
и
.
Для второй симплекс таблицы
и
Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальной является производственная программа x1 = 46; x2 = 30; x3 = 0; x4 = 0, обеспечивающая предприятию наибольшую прибыль zmax = 2412; при этом остаток ресурса первого вида x5 = 18, второго вида x6 = 0, третьего вида x7 = 0.
Оценочные коэффициенты ∆1, ∆, ∆3 и ∆4 имеют смысл оценок технологий и показывают, насколько уменьшится прибыль, если произвести единицу соответствующей продукции. Напри¬мер, коэффициент ∆3 = 18 при переменной x3 показывает, что если произ¬вести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптималь¬ную производственную программу), то прибыль уменьшится на 18 единиц.
Оставшиеся коэффициенты ∆5, ∆6 и ∆7 имеют смысл двойственных оце-нок ресурсов и показывают, насколько возрастет прибыль, если первона¬чальные запасы соответствующего ресурса увеличить на единицу. Так, увеличение на единицу запаса второго ресурса приведет к увеличению прибыли на ∆ = 7 единиц.
Двойственные оценки представляют собой оптимальное решение зада¬чи, двойственной к исходной задаче планирования производства: это такие внутренние цены y 1, y 2, y 3 , что суммарная внутренняя стоимость всех имеющихся ресурсов минимальна при условии, что внут¬ренняя стоимость ресурсов, из которых можно изготовить единицу про¬дукции каждого вида, не меньше той цены, по которой единицу соответ¬ствующей продукции можно продать на рынке.
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затра¬тить, как видно из матрицы A, 2 единицы ресурса первого вида, 0 едини¬ц ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах y1,y2,y3 наши затраты составят 2y 1 +0y2 +3y3. При реа¬лизации единицы первой продукции на рынке мы получили бы прибыль
27 руб. Следовательно, внутренняя оценка стоимости ресурсов, из кото¬рых можно изготовить единицу первого продукта (2y1 +0y2 +3y3), должна составлять не менее 27 руб. Аналогичные условия должны выполняться и для всех остальных видов продукции.
При этом суммарная оценка всех имеющихся ресурсов 140y1 +90y2 +198y3 должна быть минимальной.
Окончательно двойственная задача формулируется так: требуется найти вектор двойственных оценок
минимизирующий общую оценку всех ресурсов
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ре¬сурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:
при чем оценки ресурсов не могут быть отрицательными:
Запишем вторую основную теорему двойственности для этой задачи:
И подставим в эти уравнения уже известную оптимальную производственную программу x1 = 46; x2 = 30; x3 = 0; x4 = 0:
Первое из этих уравнений означает, что поскольку первый ресурс используется не полностью (при выполнении оптимальной производственной программы расходуется 122 единицы из 140), его двойственная оценка .
Итак,
Решив систему уравнений, получим окончательно, что
Теперь получим решение этой же задачи в пакете Microsoft Excel. Вве¬дем исходные данные в рабочий лист Microsoft Excel. Введем исходные данные (Рис.1.1):
Иными словами, при второй игрок будет выбирать свою вторую стратегию и первый игрок будет выигрывать , при второй игрок будет выбирать первую стратегию и первый игрок будет выигрывать . Наилучший для первого игрока выбор при этом соответствует . В нашем случае оптимальной смешанной стратегией первого игрока является стратегия:
(она определяется из условия ), при этом цена игры равна
.
Отметим, что второй игрок, действуя разумно, никогда не будет выбирать третью и четвертую стратегии, поэтому вектор оптимальной смешанной стратегии второго игрока имеет вид:
.
Тогда выигрыш второго игрока равен , если первый игрок выбирает свою первую стратегию, и , если первый игрок выбирает свою вторую стратегию. Значение определяется из условия
, оно равно .
Итак, оптимальная смешанная стратегия второго игрока равна:
.
Найдем оптимальные смешанные стратегии с помощью сведения матричной игры к паре взаимно двойственных задач линейного программирования.
От платежной матрицы П путем добавления положительного числа перейдем к матрице :
все элементы которой положительны.
Пара двойственных задач линейного программирования будет такой:
Оптимальные решения этих задач равны:
и
Оптимальные смешанные стратегии игроков
и
а цена игры
15. Биматричная игра. Каждое из двух конкурирующих предприятий имеет по две стратегии рыночного поведения. Прибыли предприятий (в млн. руб.) при условии, что первое предприятие изберет стратегию i(i = 1, 2), а второе предприятие — стратегию j (j = 1, 2), равны соответственно aij и bij. Платежные матрицы П(1) =(aij) и П(2) =(bij):
Требуется найти максиминные стратегии предприятий и равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
Решение
Смешанные стратегии предприятий можно представить в виде:
(здесь ). При этом, математические ожидания предприятий равны соответственно:
Максиминные стратегии предприятий определяются из условий:
Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий равны соответственно:
Множество всех возможных пар выигрышей предприятий четырехугольником АBСD (рис.15.1)
Рис.15.1
Очевидно, множество Парето, как и переговорное множество соответствует отрезку ВС.
Прямая, проходящая через точки В(2;1) и С(1;8) задается уравнением
,
поэтому функция Нэша
на отрезке достигает максимума в точке . При этом . Эта точка на рисунке 15.1 обозначена .
Точка является выпуклой комбинацией точек В(2;1) и С(1;8), то есть
откуда .
Точка G означает, что первое предприятие выбирает свою первую чистую стратегию, а второе с вероятностью -первую, и с вероятностью — вторую чистую стратегию.
Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий, равновесные по Нэшу равны соответственно
При этом средний выигрыш первого предприятия равен , а второго —
16. Оптимальный портфель ценных бумаг. Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r1 и r2, риски и, , а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен .
Решение
Введем данные в рабочий лист Micrisoft Excel (рис.16.1). Пусть ячейки В9 и В10 соответствуют долям рисковых вложений , в ячейку В8, соответствующую доле безрисковых вложений , введем формулу соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в акции , в ячейку В12 ведем формулу для ожидаемой эффективности портфеля МЕπ, а в ячейку В13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DЕπ. Учтем, что .
Рис.16.1
Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Поиск решения», и в появившемся окне (рис.16.2) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14(в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $В$10:$B$11 (в которых находятся доли рисковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограничение $В$13:$B$7.
Источник
Как измерить риск инвестиций
И как понять, на какой риск можно идти
Средняя доходность американского рынка акций с 1965 года — около 10% годовых.
Но если вы вложите в американские акции на один год, вы можете получить доходность и −37% — такой результат получили инвесторы в 2008 году. Это риск инвестиций в акции.
Интуитивно все понимают: риск — это вероятность провала. Например, вы ожидали доходность 10% годовых, а получили 40% убытка. Это реализовался риск. Очевидно, что нужно уметь как-то оценивать вероятность такого исхода.
Риск — сложная штука, потому что это уравнение со многими неизвестными. Зачастую риск оценивается по историческим данным и в некотором смысле это как управление автомобилем по зеркалу заднего вида.
Говорить о рисках сложно и интересно. Этим и займемся.
Почему важна оценка риска
Перед инвестированием желательно оценить риск с учетом целей и возможностей. В зависимости от того, сколько у вас денег и на какой срок вы вкладываете, вам подойдут разные инструменты и стратегии.
Например, у вас есть свободные 100 тысяч рублей и вы хотите за год превратить их в 200 тысяч. Тогда покупаете на все деньги акции одной компании второго эшелона и задерживаете дыхание. Риск высокий: в масштабах года эти акции могут обесцениться и на 25%, и на 50%, и даже на 100%. Но могут и подняться в цене на столько же.
Если у вас есть стабильный источник дохода и вы инвестируете часть денег на старость, вам может быть важен долгосрочный результат, но не так страшно, если в следующем году инвестиции обесценятся на треть, а еще через год вырастут вдвое. В таком случае вы можете часть денег инвестировать в рискованные ценные бумаги, а часть — в консервативные инструменты.
Идти на риск или нет — зависит от вашего финансового положения
Если вы планируете уже сейчас жить на деньги от инвестиций, то скачки в доходности и потоках платежей могут быть недопустимы, ведь вам нужен стабильный доход. В таком случае вам подойдут более предсказуемые инструменты, такие как банковские депозиты, короткие государственные облигации или фонды облигаций.
Обычно считается так:
- акции и фонды акций — рискованный инструмент;
- облигации и фонды облигаций — среднерисковые;
- короткие гособлигации и депозиты — относительно безопасные.
Но у всего есть нюансы.
Премия за риск
Считается, что за более высокий риск инвесторы получают более высокую доходность. Это называется премией за риск.
Если вам нужна стабильность, вы покупаете менее рискованные инструменты, но получаете по ним меньший доход. Если вы готовы рисковать, то покупаете более рискованные инструменты и это может принести больший доход. А может не принести. А может принести убыток.
Например, 100 $, инвестированные в довольно рискованный индекс американских акций 90 лет назад, сейчас превратились бы в 300 000 $ . Но та же сотня, инвестированная в сравнительно безопасные американские гособлигации, превратилась бы лишь в 7000 $. При этом суперрискованные акции отдельных компаний подешевели до нуля из-за банкротства.
Чем выше риск, тем выше возможный доход. Ключевое слово — возможный.
Кухонный анализ риска
Прежде чем перейти к качественному и количественному анализу, немного кухонной философии. У аналитиков есть сложные формулы и модели, по которым они считают риск. Они полезны для своих задач, но на практике для нас не так уж нужны. В формулах и моделях используется довольно небольшое число входящих параметров, а мир бесконечно разнообразен и сложен. Поэтому все финансовые расчеты довольно условны и легко разбиваются о суровую реальность с бесконечным числом неизвестных.
Я веду к тому, что для оценки рисков не обязательно погружаться в математические дебри. Просто посмотрите на то, что происходит вокруг.
ЦБ отзывает у банков по три лицензии в неделю. Рискованно ли в такой ситуации иметь депозиты в российских банках или покупать их облигации? Еще как!
В 2007—2008 годах американский рынок акций потерял 45% своей капитализации из-за финансового кризиса. Рискованно ли вкладывать в акции, даже американские? Да!
В 1989 году индекс фондового рынка Японии достиг значения в 38 957 пунктов, но больше никогда к этому значению не возвращался и сейчас находится на уровне около 20 000 пунктов (то есть на 50% ниже). Всегда ли можно досидеть в подешевевших акциях до выхода в прибыль? Пока непонятно, но, как показывает японский рынок на горизонте в 30 лет, не всегда.
19 сентября 2008 года российский индекс РТС вырос на +22,39% за один день. 6 октября 2008 года этот же индекс за один день потерял 19,10%. Готовы ли вы к таким горкам?
Инвестиции на фондовом рынке — это риск. Желательно иметь представление о его размере, чтобы это не стало сюрпризом. Одним способом оценить риск даже без специальных знаний может быть просто изучение того, что случалось ранее, хоть по «Википедии».
Маркировка риска на продуктах
У некоторых финансовых инструментов (например у ETF -фондов) бывает простенькая маркировка уровня риска. Доступные на Московской бирже ETF -фонды работают по европейскому законодательству, которое предписывает каждому фонду иметь маркировку уровня риска по шкале от 1 до 7. 7 — самые рискованные.
Фонд FXRL на российские акций имеет самый высокий уровень риска — 7; фонд FXUS на американские акции — 5; а фонд денежного рынка FXMM — 1, самый низкий. Это значит, что акции FXRL могут завтра сильно подешеветь или подорожать. Если они подешевеют, то вы получите временный убыток. А вот акции FXMM завтра будут стоить примерно столько же, сколько и сегодня. На них вы не заработаете сумасшедшей доходности, но и точно не потеряете деньги. Правда, слово «точно» в ценных бумагах применять нельзя: риск хотя и низкий, но не нулевой.
Аналогичная система маркировки риска есть, например, на сайте американской биржи Nasdaq. Индекс риска — число от нуля до 1000, которое считается по какой-то замороченной формуле. Чем выше число, тем больше риск. Вот значения для нескольких знакомых компаний, индексов и ETF -фонда на облигации:
- «Веон» («Билайн») — 168;
- «Фейсбук» — 87;
- Гугл — 77;
- индекс S&P 500 — 47;
- индекс Nasdaq — 58;
- iShares Floating Rate Bond ETF ( FLOT ) — 4.
Получается, что акции «Билайна» — в два раза более рискованный инструмент, чем акции «Фейсбука» , а сами акции «Фейсбука» в два раза более рискованные, чем акции фондов на индекс S&P 500.
К примерам я добавил и более экзотический инструмент — ETF -фонд среднесрочных корпоративных американских облигаций с плавающей ставкой. Такой пример я добавил, чтобы показать, что индекс риска может быть очень низким:
Простенькие оценки риска на продуктах не позволяют оценить абсолютный размер риска, но позволяют сравнивать разные инструменты, чтобы понять, какие менее, а какие более рискованные.
Качественный анализ и кредитные рейтинги
Если вы хотите сами оценить риск, придется заняться качественным анализом. Это просто умное слово, которое означает « посмотреть своими глазами , найти причины и следствия». Вы смотрите на финансовое состояние компании, ситуацию на рынке и политическую обстановку, делаете какие-то выводы. Это качественный анализ.
Пример качественного анализа — кредитные рейтинги специальных агентств, таких как «Мудис», «Фитч» и «Эс-энд-пи». Люди в агентствах изучают, как устроена компания, что там у нее с партнерами, рынками, экономикой и всем остальным.
Рейтинг показывает, насколько компания надежная и вернет ли долги
На базе экспертных оценок отдельных факторов формируется рейтинг — некое число или буква, которая объясняет, насколько компания хороша. У одних агентств качественные оценки являются основой рейтинга, у других используются наряду с количественными, о которых позже. Рейтинги «кредитные», поэтому они обычно применяются к оценке риска в облигациях, то есть какова вероятность, что компания займет и не вернет.
Кредитные рейтинги не подразумевают какой-то точной вероятности дефолта эмитента. Однако существуют исследования, которые сопоставляют банкротства с рейтингом.
Например, полистайте исследование «Эс-энд-пи»: за последние пять лет было 0 дефолтов эмитентов с хорошим «инвестиционным» рейтингом и 412 дефолтов эмитентов с «неинвестиционным» рейтингом, означающим очень опасный дерзкий актив.
«Инвестиционный» — это вроде как безопасный, вкладывайтесь, мужики. «Неинвестиционный» — сами понимаете.
Рейтинг, как и маркировка ETF , полезен при сравнении облигаций. Например, Тинькофф-банк имеет рейтинг агентства «Фитч» на уровне BB−, а Россия — BBB−. Россия на три ступени выше, то есть инвестировать в облигации России безопаснее.
Источник