Определение доходности по периодам

Курс лекций «Основы финансового менеджмента»

5.2. Определение средней доходности

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной , в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля” составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

r i – доходность i -го инструмента;

w i – доля (удельный вес) стоимости i -го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая , взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим r ср = 12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1)) 1/3 -1). При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка : игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% — к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).

Таблица 5.2.1
Динамика доходности акции за 3 года
руб.

Источник

Как посчитать доходность облигаций?

Я хочу попробовать вложиться в облигации, но раньше пользовался только вкладами. Там все понятно, ставка указана в договоре.

В облигациях все выглядит сложнее. Расскажите, пожалуйста, как правильно посчитать доходность по облигации. Она зависит только от размера купона или нет?

Облигации — полезный вид ценных бумаг: доход по ним выше, чем по вкладам. Однако сами по себе эти ценные бумаги сложнее. Давайте разбираться, какие бывают виды доходностей, от чего зависит их величина и как это все посчитать.

Типы облигаций по форме выплаты

Чаще всего встречаются купонные облигации. Купон — это выплата процентов, которая происходит с определенной периодичностью: например, раз в полгода. Даты выплат известны заранее, а вот размер купонов может со временем меняться.

Также бывают дисконтные ценные бумаги: по ним не выплачиваются купоны, но сами бумаги продаются заметно дешевле номинала. Доход можно получить, если цена вырастет или если погасить облигацию по номиналу в конце срока.

Облигации с купоном популярнее, поэтому рассмотрим их на примере типичного представителя — ОФЗ-26217 с погашением 18 августа 2021 года. По состоянию на 2 октября эта облигация стоит 99,3% от номинала, то есть 993 рубля.

Купонная доходность

Это деньги, которые эмитент обязан периодически платить владельцам облигаций. Процентную ставку доходности облигации с купоном посчитать легко:

(Годовые купоны / Номинал) × 100%

Номинал облигации ОФЗ-26217 — 1000 рублей, выплаты производятся каждые полгода в размере 37,4 рубля. Купонная доходность — 7,5% в год.

Облигации далеко не всегда продаются по номиналу: их цена меняется со временем. Поэтому расчет купонной доходности не позволяет точно узнать, сколько инвестор заработает на облигациях.

Текущая доходность

Это более точный показатель, при расчете которого используется не номинал, а чистая цена, — без накопленного купонного дохода. НКД — это часть купона, которая накопилась, но еще не выплачена. Покупая облигацию, нужно заплатить ее владельцу НКД — это как компенсация за то, что он продает ценную бумагу, не получив купон. Зато новый владелец получит весь купон в дату выплаты.

Величина текущей ставки показывает, какой денежный поток дает облигация, купленная по определенной цене.

Формула выглядит так:

(Купонный доход за год / Чистая цена) × 100%

Доходность ОФЗ-26217 равна (74,8 / 993) × 100%, или 7,53% годовых.

Этот показатель выше купонной ставки, так как цена ОФЗ-26217 ниже номинала. Если бы эта ОФЗ стоила дороже номинала, текущая доходность была бы ниже купонной.

Простая доходность к погашению

Многие держат облигации до даты их погашения, когда вместе с последним купоном инвестор получает номинал. Но рассчитать величину доходности облигации на момент погашения можно лишь тогда, когда известен размер всех купонов.

Ставка к погашению рассчитывается по более сложной формуле:

((Номинал − Полная цена покупки + Все купоны за период владения) / Полная цена покупки) × (365 / Количество дней до погашения) × 100%

У ОФЗ-26217 простая доходность к погашению составит ((1000 − 1001,2 + 224,4) / 1001,2) × (365 / 1051) × 100% = 7,74% годовых.

Эффективная доходность к погашению

Если использовать полученные купоны для покупки дополнительных ценных бумаг, можно посчитать ставку дохода по облигациям с реинвестированием купонов — примерно как вклад с капитализацией процентов.

Считается, что купоны вкладываются в новые бумаги по текущей ставке — той, что была первоначально. Это допущение, так как цена меняется со временем и фактическая доходность будет отличаться.

Реинвестировать купон можно, если полученного дохода от купонов хватает на покупку дополнительных ценных бумаг. Получив 37,4 рубля в виде купона по одной ОФЗ-26217, часть облигации федерального займа купить не удастся. А вот если иметь 100 таких бумаг, купонная выплата будет 3 740 рублей. Этого хватит на 3 дополнительные ценные бумаги — и еще останется.

Простой и точный способ узнать эффективную доходность к погашению — воспользоваться облигационным калькулятором на сайте Rusbonds или на сайте Московской биржи. У ОФЗ-26217 этот показатель на 2 октября был равен 7,93% годовых.

Для расчета доходности с помощью облигационного калькулятора необходимо выбрать ценную бумагу из списка, указать дату приобретения и чистую цену без НКД. Калькулятор также покажет текущую и простую процентные ставки к погашению, то есть их необязательно считать вручную. При этом налоги, брокерские и депозитарные комиссии в калькуляторе не учитываются.

Нюансы и полезные советы

Цена на облигацию зависит в том числе от процентных ставок в экономике. Если Центробанк поднимет ставку, инвесторы захотят иметь инструменты с большей доходностью. Они начнут распродавать старые бумаги с постоянным купоном, и те подешевеют. Если ЦБ снизит ставку, на старые облигации вырастет спрос и они подорожают. Чем меньше времени до даты погашения, тем менее чувствительны ценные бумаги к изменениям ключевой ставки.

Выбирая между бумагами государственных займов и корпоративными, важно знать, что наибольшая доходность при прочих равных — у корпоративных облигаций. Более щедрые купоны по сравнению с государственными — это премия за риск потерять вложенные деньги, если дела у компании пойдут плохо. Если у бумаги необычно большие купоны или цена упала намного ниже номинала, значит, велики шансы лишиться денег.

Купонный доход по одним корпоративным облигациям облагается НДФЛ, по другим — нет. Список бумаг со льготным налогообложением можно посмотреть на сайте Московской биржи. Сравнивая доходность ОФЗ, корпоративных бумаг и вкладов, помните про НДФЛ.

С полученного вами НКД могут удержать налог. Лучше продавать облигацию, когда по ней выплачен купон или НКД минимальный. Также налог взимается, если продать облигацию дороже цены покупки или купить ее дешевле номинала и дождаться погашения по номиналу.

Простой вариант увеличить доход от вложений — открыть ИИС и использовать вычет на взносы. Возврат НДФЛ повысит доходность инвестиций на несколько процентных пунктов в год, а вычет можно внести на ИИС и купить дополнительные активы.

Хорошо, если брокер разрешает получать купоны на банковский счет, а не зачисляет их на ИИС. Тогда купоны можно будет самостоятельно внести на ИИС и получить потом вычет и с этих денег.

Если у вас есть вопрос о личных финансах, правах и законах, здоровье или образовании, пишите. На самые интересные вопросы ответят эксперты журнала.

Источник

Как считать доходность

Считаем доходность финансовых инструментов и других вложений правильно

Основы

Доходность вложения за некоторый период — это отношение дохода ( I ) от вложения к его размеру ( C ) r = I / C .

По-другому её можно выразить как отношение прироста капитала к его размеру на начало периода r = C 0 ​ C 1 ​ − C 0 ​ ​ .

Отсюда получаем, что размер капитала на начало следующего периода будет равен C 1 ​ = ( 1 + r ) C 0 ​ = R C 0 ​ , а на начало следующего C 2 ​ = R C 1 ​ = R 2 C 0 ​ , и так далее C n ​ = R n C 0 ​ . Но только при условии, что доходность R не зависит от размера капитала (для реальных активов это не всегда так, о чём см. далее). Таким образом, «сложный процент» оказывается заключён уже в самом определении доходности.

То есть, если мы считаем доходность на разовое вложение C 0 ​ , которое через n периодов (обычно в качестве периода берут год) даст капитал в размере C n ​ , это будет R = n C n ​ / C 0 ​

​ = ( C 0 ​ C n ​ ​ ) n 1 ​ , или в процентах годовых r = n C n ​ / C 0 ​

​ − 1 , где n — количество лет (возможно, дробное).

Разумеется, из итогового капитала нужно вычитать все расходы, понесённые в связи с инвестицией.

Доходность с изъятиями и довнесениями

В предыдущем разделе мы посчитали доходность на разовое вложение. А что делать, если размер инвестированного капитала изменяется?

Так как доходность актива мы считаем постоянной, можно просто представить итоговый капитал в момент времени t как сумму независимых вложений D i ​ , сделанных в моменты времени t i ​ . Тогда каждое вложение будет приносить свою доходность t − t i ​ периодов. А изъятие капитала мы просто представляем вложением со знаком минус. C t ​ = R t − t 1 ​ D 1 ​ + R t − t 2 ​ D 2 ​ + …

Итоговый капитал тоже можно представить как изъятие в размере остатка, который ни секунды не приносил доходности: R t − t 1 ​ D 1 ​ + R t − t 2 ​ D 2 ​ + … + R 0 ( − C t ​ ) = 0

Получили уравнение с одним неизвестным — R . Решив его, мы и получим искомую доходность. К сожалению, из-за множества слагаемых в высоких (и часто дробных) степенях, какой-либо формулы для его решения не существует.

Поэтому его нужно решать численно (или подбором). Функция для решения такого рода уравнений обычно называется XIRR (в русском варианте экселя и родственников — ЧИСТВНДОХ — чистая внутренняя доходность) и принимает на вход даты, размеры вложений (включая изъятие остатка на последнюю дату), и начальное приближение доходности (численный метод не всегда может получить решение, если оно будет далеко от истинного значения, или просто «неудобным»; иногда нужно попробовать разные значения, чтобы получить результат). Выглядит это примерно так:

Как довложения при этом нужно учитывать только расходы, связанные с активом, которые вы несёте из своего кармана. А как изъятия, соответственно, только те суммы, которые вы получаете от него в свой карман.

То есть, если вы как вложения и изъятия учитываете только суммы перевода на брокерский счёт и обратно, то никакие движения денег внутри него учитывать уже не нужно. Если вы получаете дивиденды и купоны на отдельный счёт и используете их — надо учесть как изъятие. А если вам, например, пришлось доплатить налогов с другого счёта — не забудьте оформить их довложением, потому что это расход, связанный с инвестицией, хотя на него и не было ничего куплено.

Аналогично, если вы рассчитываете доходность сдаваемой в аренду квартиры. Все ваши налоги и прочие связанные с ней расходы надо считать как довложения в актив. А из конечной суммы изъятия не забывать вычесть налоги к уплате (или, более корректно, оформить их последним довложением с правильной датой после изъятия продажной стоимости).

Помимо этого, я бы оценивал примерную стоимость и считал за довложения в том числе и трудозатраты на управление активом.

Есть и приближённые способы вычисления доходности актива при наличии изъятий и довложений (например, по средневзвешенному задействованному капиталу), но, в эпоху электронных таблиц и библиотек финансовой математики, они более трудоёмкие, чем точный расчёт по XIRR, поэтому я не стану их описывать.

Взвешенная по времени доходность

Часто вам может быть интересно сравнить результаты своего портфеля с фондовым индексом, или каким-либо другим бенчмарком. Однако на ранних стадиях формирования портфеля, когда суммы довложений и изъятий составляют значительную его часть, время совершения операций может существенно влиять на результаты. Поэтому результат расчёта из предыдущего раздела, «взвешивающий» доходность по размеру задействованного капитала (поэтому называемый MWR, money-weighted return), для сравнения портфеля с индексом непригоден. Нужно сперва полученную доходность очистить от эффекта выбора времени операций (если, конечно, маркет-тайминг не является основой вашей стратегии). Полученная таким образом доходность называется взвешенной по времени (TWR, time-weighted return).

Чтобы её вычислить нужно разбить весь период инвестирования на отрезки, в которые внешних движений не происходило, перемножить доходности на каждом из отрезков, и возвести в степень, обратную продолжительности периода инвестирования (чтобы привести, например, к среднегодовой).

R = ( C 0 ​ C 1 ​ ​ × C 1 ′ ​ C 2 ​ ​ × C 2 ′ ​ C 3 ​ ​ × ⋯ × C n − 1 ′ ​ C n ​ ​ ) t 1 ​ , здесь C n ′ ​ — это капитал на конец n -го отрезка после учёта довложения/изъятия. Но не забывайте уменьшать C n ​ на размер понесённых расходов, если они ещё не отражены в этом значении.

Характерная доходность

Все предыдущие методы для расчёта доходности учитывают только величины капитала на начало и конец периода инвестирования. Если у нас достаточно волатильный инструмент/портфель, то рассчитанная доходность может очень сильно зависеть не только от удачи в выборе моментов довложений/изъятий (которую устраняет расчёт доходности, взвешенной по времени), но и от выбора начальной и конечной точки. Чтобы устранить и этот шум, нужно рассчитывать доходность характерную.

Характерная доходность — это скорость роста капитала, очищенная от волатильности, медианная доходность по всем возможным интервалам внутри рассматриваемого периода. Чтобы её определить нам надо построить линию тренда на графике роста логарифма размера капитала (потому что нам важен относительный рост, а абсолютный).

Это можно сделать в электронной таблице (функция «вставить линию тренда» и показать формулу зависимости на графике есть практически везде), или выполнить приближение соответствующей линейной модели другим удобным вам способом (в том же экселе нужный результат даст функция SLOPE/НАКЛОН). Работая в экселе не забывайте, что по оси x графика должен быть отложен именно год числом, а не дата. Иначе вы получите не годовую доходность, а дневную (хотя пересчитать её в годовую тривиально).

В примере ниже показано, что характерная реальная доходность индекса SnP500 с 2000 по 2018 составила 3,7%г.

Номинальная и реальная доходность

Используя в расчётах те суммы довложений/изъятий, которые вы фактически сделали и те размеры капитала, которые фактически зафиксировали, вы будете получать номинальные доходности. Однако, в ситуациях с высокой/неравномерной инфляцией (США сюда тоже относятся) эти доходности совершенно неинформативны.

Чтобы получить реальную доходность, необходимо все суммы, участвующие в расчётах, скорректировать на инфляцию, разделив на значение соответствующего индекса на дату вложения/изъятия/фиксации. Дата начала и направление отсчёта индекса и его величина значения при этом не имеют.

В качестве индекса традиционно используется индекс потребительских цен, но можно использовать и другие: однодневных межбанковских кредитов, доходности гособлигаций, дефлятор ВВП, цен производителей и т.д. в зависимости от целей расчёта доходности. Т.е. реальная доходность не однозначна и требует указания на индекс, с помощью которого она рассчитывалась. По умолчанию предполагается, что использован индекс потребительских цен страны происхождения инструмента, что не всегда удобно (например, хотя характерная реальная доходность индекса SnP500 по ИПЦ США в предыдущем примере была 3,7%г, по ИПЦ РФ она будет отрицательной, примерно −1%г).

Реальные активы

У реальных активов, в отличие от идеальных, доходность зависит от объёма вложенного капитала, причём иногда довольно сложным образом. Рассмотрим основные составляющие этой зависимости.

1. Нижний барьер капитализации. «Довложение» суммы меньшей этого барьера не приведёт к росту дохода (т.е. доходность на вложенный капитал упадёт). Барьер возникает из-за того, что существует неделимая единица актива, и суммы меньшие стоимости этой единицы будут простаивать.
2. Верхний барьер капитализации. Рост задействованного капитала сверх барьера не ведёт к росту дохода, доходность на капитал падает. Эффект связан с тем, что любая доходность, в конечно итоге, происходит от создания и продажи экономических благ. Если ресурсы/мощности/рынок сбыта задействованы полностью, то вливание нового капитала роста дохода уже не принесёт.
3. Убывающая отдача. Возникает с приближением к верхнему барьеру капитализации (или какому-то из промежуточных): получение каждой следующей единицы дохода начинает стоить всё бо́льших вложений. Также может быть следствием конкуренции множества агентов за фиксированный доход, который распределяется пропорционально вложенным средствам. Так работают финансовые рынки: размер прибыли которую могут распределить компании, и размер процентов, которые они готовы заплатить по долгам, на коротких горизонтах фиксированы, поэтому при резком росте вложенного в них капитала, доходность каждой последующей единицы падает.
4. Экономия на масштабе. В основном характерна для производственных активов, где велика доля фиксированных издержек, и при росте выпуска каждая последующая единица несёт себе меньшую их долю т.е. обходится дешевле. Однако может возникать и как следствие преодоления нижнего барьера капитализации: если стоимость единицы актива, скажем, 200Кр, то каждые последующие 200Кр капитала приводят к тому, что сокращается время простоя полученного дохода до следующей покупки актива, а, следовательно, растёт эффективная доходность.

Манипуляции доходностью

В интернете находится огромное количество способов извлечения огромной доходности из достаточно простой инвестиционной деятельности. Я здесь имею в виду не мошенников, которые предлагают отдать им деньги в обмен на обещания этой высокой доходности, а именно самостоятельную работу. Как правило, практически все они показывают привлекательные цифры за счёт ошибок в расчёте доходности (и игнорирования операционных рисков, но это тема для другой статьи).

1. В расходы на инвестицию учитываются только стоимость самого объекта инвестирования, но не сопутствующие затраты, которые могут быть сопоставимы или даже больше. Особенно любят забывать стоимость проведения сделок, текущие платежи (например, коммунальные) и налоги. Никто в принципе не учитывает стоимость трудозатрат.
2. Игнорируются барьеры капитализации и убывающая отдача. Вы можете, условно, сдавать гараж стоимостью 200Кр за 2Кр/мес, имея по итогам года после всех расходов 20Кр или 10%, но пока вы 10 лет копите на следующий, эти деньги должны где-то лежать под меньшую доходность. А после десятого гаража вы уже хотите нанять управляющего, только никто не соглашается работать за 16Кр/мес, которые этот десяток гаражей приносит.
3. Используется «наивный» расчёт [суммарный доход]/[суммарный расход]/[количество лет], без учёта сложных процентов и временно́й стоимости денег. Как показано на рисунке ниже, даже для небольшого промежутка времени разница такого метода с точным может быть достаточно велика, чтобы склонить к ошибочному решению.

Не ведитесь на манипуляции, считайте доходность правильно.

Здесь я выкладываю лишь собственные размышления/исследования/расчёты, иногда собственное же изложение чужих мнений или результатов исследований. Размещённая информация может содержать ошибки, быть неактуальной на момент прочтения, допускать множество интерпретаций и проч. Я не занимаюсь образовательной деятельностью и не даю инвестиционных рекомендаций ни на этом сайте, ни в частном порядке.

Может быть, вам показалось, но способов получить гарантированную доходность за счёт каких бы то ни было финансовых инструментов, портфелей или торговых стратегий НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Хуже того, способов гарантированно сохранить свой капитал тоже НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Материалы сайта могут быть использованы на условиях лицензии CC BY-NC-SA.
© Андрей Болкисев, 2021.

Источник