Номинальная доходность это расчет

Как считать доходность

Считаем доходность финансовых инструментов и других вложений правильно

Основы

Доходность вложения за некоторый период — это отношение дохода ( I ) от вложения к его размеру ( C ) r = I / C .

По-другому её можно выразить как отношение прироста капитала к его размеру на начало периода r = C 0 ​ C 1 ​ − C 0 ​ ​ .

Отсюда получаем, что размер капитала на начало следующего периода будет равен C 1 ​ = ( 1 + r ) C 0 ​ = R C 0 ​ , а на начало следующего C 2 ​ = R C 1 ​ = R 2 C 0 ​ , и так далее C n ​ = R n C 0 ​ . Но только при условии, что доходность R не зависит от размера капитала (для реальных активов это не всегда так, о чём см. далее). Таким образом, «сложный процент» оказывается заключён уже в самом определении доходности.

То есть, если мы считаем доходность на разовое вложение C 0 ​ , которое через n периодов (обычно в качестве периода берут год) даст капитал в размере C n ​ , это будет R = n C n ​ / C 0 ​

​ = ( C 0 ​ C n ​ ​ ) n 1 ​ , или в процентах годовых r = n C n ​ / C 0 ​

​ − 1 , где n — количество лет (возможно, дробное).

Разумеется, из итогового капитала нужно вычитать все расходы, понесённые в связи с инвестицией.

Доходность с изъятиями и довнесениями

В предыдущем разделе мы посчитали доходность на разовое вложение. А что делать, если размер инвестированного капитала изменяется?

Так как доходность актива мы считаем постоянной, можно просто представить итоговый капитал в момент времени t как сумму независимых вложений D i ​ , сделанных в моменты времени t i ​ . Тогда каждое вложение будет приносить свою доходность t − t i ​ периодов. А изъятие капитала мы просто представляем вложением со знаком минус. C t ​ = R t − t 1 ​ D 1 ​ + R t − t 2 ​ D 2 ​ + …

Итоговый капитал тоже можно представить как изъятие в размере остатка, который ни секунды не приносил доходности: R t − t 1 ​ D 1 ​ + R t − t 2 ​ D 2 ​ + … + R 0 ( − C t ​ ) = 0

Получили уравнение с одним неизвестным — R . Решив его, мы и получим искомую доходность. К сожалению, из-за множества слагаемых в высоких (и часто дробных) степенях, какой-либо формулы для его решения не существует.

Поэтому его нужно решать численно (или подбором). Функция для решения такого рода уравнений обычно называется XIRR (в русском варианте экселя и родственников — ЧИСТВНДОХ — чистая внутренняя доходность) и принимает на вход даты, размеры вложений (включая изъятие остатка на последнюю дату), и начальное приближение доходности (численный метод не всегда может получить решение, если оно будет далеко от истинного значения, или просто «неудобным»; иногда нужно попробовать разные значения, чтобы получить результат). Выглядит это примерно так:

Как довложения при этом нужно учитывать только расходы, связанные с активом, которые вы несёте из своего кармана. А как изъятия, соответственно, только те суммы, которые вы получаете от него в свой карман.

То есть, если вы как вложения и изъятия учитываете только суммы перевода на брокерский счёт и обратно, то никакие движения денег внутри него учитывать уже не нужно. Если вы получаете дивиденды и купоны на отдельный счёт и используете их — надо учесть как изъятие. А если вам, например, пришлось доплатить налогов с другого счёта — не забудьте оформить их довложением, потому что это расход, связанный с инвестицией, хотя на него и не было ничего куплено.

Аналогично, если вы рассчитываете доходность сдаваемой в аренду квартиры. Все ваши налоги и прочие связанные с ней расходы надо считать как довложения в актив. А из конечной суммы изъятия не забывать вычесть налоги к уплате (или, более корректно, оформить их последним довложением с правильной датой после изъятия продажной стоимости).

Помимо этого, я бы оценивал примерную стоимость и считал за довложения в том числе и трудозатраты на управление активом.

Есть и приближённые способы вычисления доходности актива при наличии изъятий и довложений (например, по средневзвешенному задействованному капиталу), но, в эпоху электронных таблиц и библиотек финансовой математики, они более трудоёмкие, чем точный расчёт по XIRR, поэтому я не стану их описывать.

Взвешенная по времени доходность

Часто вам может быть интересно сравнить результаты своего портфеля с фондовым индексом, или каким-либо другим бенчмарком. Однако на ранних стадиях формирования портфеля, когда суммы довложений и изъятий составляют значительную его часть, время совершения операций может существенно влиять на результаты. Поэтому результат расчёта из предыдущего раздела, «взвешивающий» доходность по размеру задействованного капитала (поэтому называемый MWR, money-weighted return), для сравнения портфеля с индексом непригоден. Нужно сперва полученную доходность очистить от эффекта выбора времени операций (если, конечно, маркет-тайминг не является основой вашей стратегии). Полученная таким образом доходность называется взвешенной по времени (TWR, time-weighted return).

Чтобы её вычислить нужно разбить весь период инвестирования на отрезки, в которые внешних движений не происходило, перемножить доходности на каждом из отрезков, и возвести в степень, обратную продолжительности периода инвестирования (чтобы привести, например, к среднегодовой).

R = ( C 0 ​ C 1 ​ ​ × C 1 ′ ​ C 2 ​ ​ × C 2 ′ ​ C 3 ​ ​ × ⋯ × C n − 1 ′ ​ C n ​ ​ ) t 1 ​ , здесь C n ′ ​ — это капитал на конец n -го отрезка после учёта довложения/изъятия. Но не забывайте уменьшать C n ​ на размер понесённых расходов, если они ещё не отражены в этом значении.

Характерная доходность

Все предыдущие методы для расчёта доходности учитывают только величины капитала на начало и конец периода инвестирования. Если у нас достаточно волатильный инструмент/портфель, то рассчитанная доходность может очень сильно зависеть не только от удачи в выборе моментов довложений/изъятий (которую устраняет расчёт доходности, взвешенной по времени), но и от выбора начальной и конечной точки. Чтобы устранить и этот шум, нужно рассчитывать доходность характерную.

Характерная доходность — это скорость роста капитала, очищенная от волатильности, медианная доходность по всем возможным интервалам внутри рассматриваемого периода. Чтобы её определить нам надо построить линию тренда на графике роста логарифма размера капитала (потому что нам важен относительный рост, а абсолютный).

Это можно сделать в электронной таблице (функция «вставить линию тренда» и показать формулу зависимости на графике есть практически везде), или выполнить приближение соответствующей линейной модели другим удобным вам способом (в том же экселе нужный результат даст функция SLOPE/НАКЛОН). Работая в экселе не забывайте, что по оси x графика должен быть отложен именно год числом, а не дата. Иначе вы получите не годовую доходность, а дневную (хотя пересчитать её в годовую тривиально).

В примере ниже показано, что характерная реальная доходность индекса SnP500 с 2000 по 2018 составила 3,7%г.

Номинальная и реальная доходность

Используя в расчётах те суммы довложений/изъятий, которые вы фактически сделали и те размеры капитала, которые фактически зафиксировали, вы будете получать номинальные доходности. Однако, в ситуациях с высокой/неравномерной инфляцией (США сюда тоже относятся) эти доходности совершенно неинформативны.

Чтобы получить реальную доходность, необходимо все суммы, участвующие в расчётах, скорректировать на инфляцию, разделив на значение соответствующего индекса на дату вложения/изъятия/фиксации. Дата начала и направление отсчёта индекса и его величина значения при этом не имеют.

В качестве индекса традиционно используется индекс потребительских цен, но можно использовать и другие: однодневных межбанковских кредитов, доходности гособлигаций, дефлятор ВВП, цен производителей и т.д. в зависимости от целей расчёта доходности. Т.е. реальная доходность не однозначна и требует указания на индекс, с помощью которого она рассчитывалась. По умолчанию предполагается, что использован индекс потребительских цен страны происхождения инструмента, что не всегда удобно (например, хотя характерная реальная доходность индекса SnP500 по ИПЦ США в предыдущем примере была 3,7%г, по ИПЦ РФ она будет отрицательной, примерно −1%г).

Реальные активы

У реальных активов, в отличие от идеальных, доходность зависит от объёма вложенного капитала, причём иногда довольно сложным образом. Рассмотрим основные составляющие этой зависимости.

1. Нижний барьер капитализации. «Довложение» суммы меньшей этого барьера не приведёт к росту дохода (т.е. доходность на вложенный капитал упадёт). Барьер возникает из-за того, что существует неделимая единица актива, и суммы меньшие стоимости этой единицы будут простаивать.
2. Верхний барьер капитализации. Рост задействованного капитала сверх барьера не ведёт к росту дохода, доходность на капитал падает. Эффект связан с тем, что любая доходность, в конечно итоге, происходит от создания и продажи экономических благ. Если ресурсы/мощности/рынок сбыта задействованы полностью, то вливание нового капитала роста дохода уже не принесёт.
3. Убывающая отдача. Возникает с приближением к верхнему барьеру капитализации (или какому-то из промежуточных): получение каждой следующей единицы дохода начинает стоить всё бо́льших вложений. Также может быть следствием конкуренции множества агентов за фиксированный доход, который распределяется пропорционально вложенным средствам. Так работают финансовые рынки: размер прибыли которую могут распределить компании, и размер процентов, которые они готовы заплатить по долгам, на коротких горизонтах фиксированы, поэтому при резком росте вложенного в них капитала, доходность каждой последующей единицы падает.
4. Экономия на масштабе. В основном характерна для производственных активов, где велика доля фиксированных издержек, и при росте выпуска каждая последующая единица несёт себе меньшую их долю т.е. обходится дешевле. Однако может возникать и как следствие преодоления нижнего барьера капитализации: если стоимость единицы актива, скажем, 200Кр, то каждые последующие 200Кр капитала приводят к тому, что сокращается время простоя полученного дохода до следующей покупки актива, а, следовательно, растёт эффективная доходность.

Манипуляции доходностью

В интернете находится огромное количество способов извлечения огромной доходности из достаточно простой инвестиционной деятельности. Я здесь имею в виду не мошенников, которые предлагают отдать им деньги в обмен на обещания этой высокой доходности, а именно самостоятельную работу. Как правило, практически все они показывают привлекательные цифры за счёт ошибок в расчёте доходности (и игнорирования операционных рисков, но это тема для другой статьи).

1. В расходы на инвестицию учитываются только стоимость самого объекта инвестирования, но не сопутствующие затраты, которые могут быть сопоставимы или даже больше. Особенно любят забывать стоимость проведения сделок, текущие платежи (например, коммунальные) и налоги. Никто в принципе не учитывает стоимость трудозатрат.
2. Игнорируются барьеры капитализации и убывающая отдача. Вы можете, условно, сдавать гараж стоимостью 200Кр за 2Кр/мес, имея по итогам года после всех расходов 20Кр или 10%, но пока вы 10 лет копите на следующий, эти деньги должны где-то лежать под меньшую доходность. А после десятого гаража вы уже хотите нанять управляющего, только никто не соглашается работать за 16Кр/мес, которые этот десяток гаражей приносит.
3. Используется «наивный» расчёт [суммарный доход]/[суммарный расход]/[количество лет], без учёта сложных процентов и временно́й стоимости денег. Как показано на рисунке ниже, даже для небольшого промежутка времени разница такого метода с точным может быть достаточно велика, чтобы склонить к ошибочному решению.

Не ведитесь на манипуляции, считайте доходность правильно.

Здесь я выкладываю лишь собственные размышления/исследования/расчёты, иногда собственное же изложение чужих мнений или результатов исследований. Размещённая информация может содержать ошибки, быть неактуальной на момент прочтения, допускать множество интерпретаций и проч. Я не занимаюсь образовательной деятельностью и не даю инвестиционных рекомендаций ни на этом сайте, ни в частном порядке.

Может быть, вам показалось, но способов получить гарантированную доходность за счёт каких бы то ни было финансовых инструментов, портфелей или торговых стратегий НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Хуже того, способов гарантированно сохранить свой капитал тоже НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Материалы сайта могут быть использованы на условиях лицензии CC BY-NC-SA.
© Андрей Болкисев, 2021.

Источник

Формулы древних: доходность инвестиций

Как правило, когда мы инвестируем деньги, принято производить оценку успешности инвестиций. Часто такая оценка необходима для выбора между разными проектами или стратегиями. На практике почти всегда необходимо получить количественный результат. Заключение «хорошая инвестиция» мало кого устраивает. Результат количественной оценки может измеряться в единицах валюты или в процентах прироста (убытка) за срок инвестиций. Чаще всего прибыльность инвестиций оценивают за срок действия проекта либо за один год.

Например, если мы инвестировали 1000 руб, а через некоторое время вернули 1100 руб, то прибыль составила 100 руб. или 10%. Если в конце срока вернулись 950 руб, то убыток составил 50 руб. или 5%.

Как оценить результаты таких инвестиций? Если говорить об инвестициях в акции, например, в кризисном 2008 году во время медвежьего рынка, то потеря 5% за год может показаться очень приличным результатом. И наоборот, при инвестициях в благополучные 2005-07 прибыль в 10% можно расценивать как довольно неудачный проект.

При оценке инвестиций на фондовом рынке принято использовать два важных параметра:

• Доход (Income, ENG): обычно это поступления денег в форме купонного дохода от облигаций или дивидендов (в случае с акциями). Прибыль не может быть негативной.
• Изменение рыночной стоимости (Growth,ENG): рост (или падение) стоимости акций или облигаций.

Например, при покупке акций на 1000 руб через год вы получаете дивиденды в 50 руб (5%). Цена акций вырастает до 1100 руб, т.е. увеличивается на 100 руб (10%). В таком случае говорят, что общая прибыль (Total return, ENG) составила 150 руб (100 руб + 50 руб) или 15%.

Следует быть осторожным с публикуемыми в СМИ оценками. Например, часто приходится слышать, например, что индекс ММВБ повысился на 15% за последний год. В таких случаях имеется ввиду только изменение рыночной стоимости входящих в индекс акций без учета дивидендной доходности.

Практически всегда полезно понимать, как соотносится доходность инвестиций с инфляций. Например, если инвестиции принесли 5% годовых, а инфляция за этот период составила 8%, то ваши средства потеряли в покупательной способности.

Номинальная доходность показывает результаты без учета инфляции, а реальная доходность – составляет разницу межу номинальной доходностью и инфляцией. Если нет дополнительных пояснений, то как правило под доходностью понимается номинальная доходность.

С проектами, которые имеют четкие даты начала и конца и не предполагают промежуточных инвестиций или изъятий средств, не возникает сложности. Достаточно разделить полученную в итоге прибыль на размер инвестиции, умножить на 100 и мы получим номинальную доходность в процентах. Но в жизни инвестора не всегда так все просто. Иногда в проект добавляют средства или их изымают, появляются внешние денежные потоки.

Рассмотрим случай, когда в начале срока мы инвестируем 1000 руб, через год добавляем аналогичную сумму (1000 руб). Предположим, через год мы получили прибыль в размере 10%, а во второй год инвестиции показали отрицательную прибыль в -5%. Как оценить доходность такой инвестиции?

Есть два подхода.

Доходность, взвешенная по времени

Этот подход не учитывает размер инвестиций. Принимается внимание только время, когда промежуточная доходность была показана. Таким образом, если за первый год доходность была 10%, а за второй -5%, то итогом будет доходность равная примерно 5%.

Такой подход позволяет быстро сравнить определенную инвестиционную стратегию с другими. Результат такой оценки не обязательно будет точным лично для инвестора, т.к. не учитывают размер промежуточных инвестиций.

Денежно взвешенная доходность

Этот подход учитывает, что во второй год сумма инвестиций была вдвое больше, следовательно вес доходности тоже должен быть вдвое больше (чем за первый период), а итоговый результат приближенно равен 0%.

Действительно, прибыль за первый год составила:

1000 Х 0,1 = 100 руб

Размер инвестиций вырос до 1100 руб. Во второй год мы добавляем еще 1000 руб., т.е. всего имеем

1000 + 1100 = 2100 руб

Убыток за второй год:

2100 Х -0,05 = — 105 руб

Следовательно, за два года общий результат составит:

100 – 105 = — 5 руб (приближенно соответствует 0%)

Как можно видеть, такая оценка более точна для оценки индивидуальных результатов инвестиций.

Следует понимать, что для сравнения инвестиционных стратегий в большинстве случаев подходит расчет доходности, взвешенной по времени.

Расчет доходности за несколько лет инвестиций

Когда накапливается опыт инвестиций, то наиболее удобным способом их оценки становится расчет среднегодовой доходности на основе ежегодных показателей.

Простое среднее

Использование среднего арифметического является самым простым методом, который дает очень приблизительные, но быстрые результаты.

Для расчета достаточно просуммировать все промежуточные ежегодные доходности и результат разделить на количество лет.

Предположим, мы инвестировали 5 лет и ежегодные доходности составили:

Просуммировав эти результаты, мы получим 40%. Для получение среднего арифметического остается разделить на 5. Итогом станет среднегодовая доходность 8%.

Средняя доходность с капитализацией

Точный результат с учетом капитализации составляет 7,5%. В приведенном примере разница небольшая, но с течением лет и ростом доходности капитализация начинает чувствоваться все больше. Как рассчитать результат с учетом капитализации?

Для начала полезно понимать, что каждый год, получив прибыль, мы приумножаем сбережения. Это значит, что начальную сумму инвестиций (А₀) мы умножаем на определенный коэффициент или множитель, который зависит от доходности. Т.е. после первого года мы имеем на счету сумму (А₁) равную произведению А₀ и этого множителя (k₁):

Очевидно, что в следующие годы взаимодействие начального результата и итога повторяется:

В итоге после произвольного количества лет (N) итоговая сумма на счету составит произведение первоначальной инвестиции и всех последующих коэффициентов:

В случае с банковскими вкладами условия год от года не меняются, следовательно все коэффициенты одинаковые:

Теперь считаем прибыль. Для этого достаточно из итоговой суммы на счете вычесть начальные инвестиции:

Т.к. доходность (D) определяется отношением прибыли к начальной инвестиции, то в итоге получаем довольно простую формулу:

Для получения доходности в процентах достаточно результат умножить на 100.

Если нас интересует среднегодовая доходность (D_y), то из итогового коэффициента (k) следует извлечь корень степени N и вычесть единицу:

Этот результат показывает, какой процент в банке необходимо иметь для получения аналогичного инвестиционного результата. Вообще сравнение с депозитом довольно распространенная практика оценки инвестиций, т.к. депозит является традиционно эквивалентом безрисковой (мало рискованной) инвестиции.

Типичной ошибкой, которую допускают иногда даже продвинутые инвесторы, является получение среднегодовой доходности путем деления общей доходности на количество лет. Правильный результат можно получить только при извлечении корня степени N.

Для полной ясности остается разобраться, как получить коэффициенты. Если помните, мы в начале определили коэффициент k₁ как множитель, определяемый соотношением А₁= А₀ х k₁

Но соотношение (A₁-A₀)/A₀ это всего лишь доходность первого года (D1), т.е. прибыль разделенная на размер инвестиции.

Как можно заметить, каждый из коэффициентов определяется как доходность периода (выражаемая при помощи десятичной дроби) увеличенная на единицу.

Для примера рассмотрим предыдущую ситуацию с инвестициями на 5 лет:

Источник