Модель блэка шоулза вариация доходности

Модель Блэка-Шоулза

Что такое модель Блэка-Шоулза?

Модель Блэка-Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), представляет собой математическую модель для ценообразования опционного контракта. В частности, модель оценивает изменение финансовых инструментов во времени.

Ключевые выводы

• Модель Блэка-Шоулза Мертона (BSM) – это дифференциальное уравнение, используемое для определения цен опционов.
• Модель Блэка-Шоулза получила Нобелевскую премию по экономике.
• Стандартная модель BSM используется только для определения цены европейских опционов, поскольку она не принимает во внимание возможность исполнения американских опционов до истечения срока их действия.

Понимание модели Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза – одна из важнейших концепций современной финансовой теории. Он был разработан в 1973 году Фишером Блэком, Робертом Мертоном и Майроном Скоулзом и широко используется до сих пор. Это считается одним из лучших способов определения справедливой цены опционов. Модель Блэка-Шоулза требует пяти входных переменных: цена исполнения опциона, текущая цена акции, время до истечения срока, безрисковая ставка и волатильность.

Также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), это была первая широко используемая модель ценообразования опционов. Он используется для расчета теоретической стоимости опционов с использованием текущих цен на акции, ожидаемых дивидендов, цены исполнения опциона, ожидаемых процентных ставок, времени до истечения срока и ожидаемой волатильности.

Первоначальное уравнение было введено в работу Блэка и Скоулза 1973 года «Стоимость опционов и корпоративных обязательств», опубликованную в Журнале политической экономии. Блэк скончался за два года до того, как Скоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике 1997 года за их работу по поиску нового метода определения стоимости производных финансовых инструментов.(Нобелевская премия не вручается посмертно; однако Нобелевский комитет признал роль Блэка в модели Блэка-Шоулза.)

Блэк-Шоулз утверждает, что инструменты, такие как акции или фьючерсные контракты, будут иметь логнормальное распределение цен после случайного блуждания с постоянным дрейфом и волатильностью. Используя это предположение и принимая во внимание другие важные переменные, уравнение выводит цену опциона колл европейского образца.

Входными данными для уравнения Блэка-Шоулза являются волатильность, цена базового актива, цена исполнения опциона, время до истечения срока опциона и безрисковая процентная ставка. С помощью этих переменных продавцы опционов теоретически могут устанавливать рациональные цены на продаваемые ими опционы.

Кроме того, модель предсказывает, что цена активно торгуемых активов следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. Применительно к опциону на акции модель учитывает изменение постоянной цены акции, временную стоимость денег, цену исполнения опциона и время истечения срока действия опциона.

Предположения Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза делает определенные предположения:

• Опцион является европейским и может быть исполнен только по истечении срока его действия.
• В течение срока действия опциона дивиденды не выплачиваются.
• Рынки эффективны (т. Е. Движения рынка невозможно предсказать).
• При покупке опциона транзакционные издержки отсутствуют.
• Ставка без риска и волатильности базового известны и постоянным.
• Доходность базового актива распределяется по нормальному логарифмическому принципу.

Хотя исходная модель Блэка-Шоулза не учитывала эффекты дивидендов, выплачиваемых в течение срока действия опциона, модель часто адаптируется для учета дивидендов путем определения стоимости базовых акций на дату экс-дивидендов. Многие маркет-мейкеры, торгующие опционами, также модифицируют модель, чтобы учесть влияние опционов, которые могут быть исполнены до истечения срока их действия. В качестве альтернативы фирмы будут использовать трехчленную модель или модель Бьерксунда-Стенсланда для ценообразования наиболее часто торгуемых опционов в американском стиле.

Формула Блэка-Шоулза

Математика, используемая в формуле, сложна и может напугать. К счастью, вам не нужно знать или даже понимать математику, чтобы использовать моделирование Блэка-Шоулза в ваших собственных стратегиях. У трейдеров опционов есть доступ к множеству онлайн-калькуляторов опционов, и многие из сегодняшних торговых платформ могут похвастаться надежными инструментами анализа опционов, включая индикаторы и электронные таблицы, которые выполняют вычисления и выводят значения цен опционов.

Формула колл-опциона Блэка-Шоулза рассчитывается путем умножения цены акции на кумулятивную стандартную функцию нормального распределения вероятностей. После этого чистая приведенная стоимость (ЧПС) страйковой цены, умноженная на кумулятивное стандартное нормальное распределение, вычитается из результирующего значения предыдущего расчета.

В математической записи:

Искажение волатильности

Блэк-Шоулз предполагает, что цены на акции имеют логнормальное распределение, поскольку цены на активы не могут быть отрицательными (они ограничены нулем). Это также известно как распределение Гаусса.

Часто наблюдается значительная асимметрия цен на активы и некоторая степень эксцесса (толстые хвосты). Это означает, что нисходящие движения с высоким риском часто происходят на рынке чаще, чем предсказывает нормальное распределение.

Допущение логнормальных цен базовых активов должно показать, что подразумеваемая волатильность одинакова для каждой страйковой цены в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако после рыночного краха 1987 года подразумеваемая волатильность опционов при деньгах была ниже, чем волатильность опционов с более низкой или высокой доходностью. Причина этого явления заключается в том, что рынок оценивает цены с большей вероятностью того, что высокая волатильность переместится в нисходящую сторону.

Это привело к наличию перекоса волатильности. Когда предполагаемая волатильность для опционов с одинаковой датой истечения срока действия отображается на графике, можно увидеть улыбку или форму перекоса. Таким образом, модель Блэка-Шоулза неэффективна для расчета подразумеваемой волатильности.

Ограничения модели Блэка-Шоулза

Как указывалось ранее, модель Блэка-Шоулза используется только для определения цены европейских опционов и не принимает во внимание возможность исполнения американских опционов до истечения срока их действия. Более того, модель предполагает, что дивиденды и безрисковые ставки постоянны, но в действительности это может быть неверно. Модель также предполагает постоянную летучесть останки над жизнью опциона, что это не так, потому что волатильность колеблется в зависимости от уровня спроса и предложения.

Кроме того, другие предположения – что нет транзакционных издержек или налогов; что безрисковая процентная ставка постоянна для всех сроков погашения; что короткие продажи ценных бумаг с использованием доходов разрешены; и что нет никаких возможностей безрискового арбитража – это может привести к ценам, которые отклоняются от реального мира, где присутствуют эти факторы.

Часто задаваемые вопросы

Что делает модель Блэка-Шоулза?

Модель Блэка-Шоулза, также известная как Блэк-Шоулз-Мертон (BSM), была первой широко используемой моделью ценообразования опционов. Основываясь на предположении, что инструменты, такие как акции или фьючерсные контракты, будут иметь логнормальное распределение цен после случайного блуждания с постоянным дрейфом и волатильностью, а также с учетом других важных переменных, уравнение выводит цену колл европейского типа. вариант. Это достигается путем вычитания чистой приведенной стоимости (ЧПС) цены исполнения, умноженной на кумулятивное стандартное нормальное распределение, из произведения цены акции и кумулятивной функции стандартного нормального распределения вероятностей.

Каковы исходные данные для модели Блэка-Шоулза?

Входными данными для уравнения Блэка-Шоулза являются волатильность, цена базового актива, цена исполнения опциона, время до истечения срока опциона и безрисковая процентная ставка. С помощью этих переменных продавцы опционов теоретически могут устанавливать рациональные цены на продаваемые ими опционы.

Какие предположения делает модель Блэка-Шоулза?

Модель Блэка-Шоулза делает определенные предположения. Главный из них заключается в том, что опцион является европейским и может быть исполнен только по истечении срока его действия. Другие предположения заключаются в том, что в течение срока действия опциона дивиденды не выплачиваются; рынки эффективны (т. е. движения рынка невозможно предсказать); отсутствие транзакционных издержек при покупке опциона; что безрисковая ставка и волатильность базового актива известны и постоянны; и что доходность базового актива распределяется нормально логарифмически.

Каковы ограничения модели Блэка-Шоулза?

Модель Блэка-Шоулза используется только для определения цены европейских опционов и не принимает во внимание возможность исполнения опционов в США до истечения срока их действия. Более того, модель предполагает, что дивиденды и безрисковые ставки постоянны, но в действительности это может быть неверно. Модель также предполагает, что волатильность остается постоянной в течение срока действия опциона, что не так, поскольку волатильность колеблется в зависимости от уровня спроса и предложения.

Кроме того, другие предположения – что нет транзакционных издержек или налогов; что безрисковая процентная ставка постоянна для всех сроков погашения; что короткие продажи ценных бумаг с использованием доходов разрешены; и что нет никаких возможностей безрискового арбитража – это может привести к ценам, которые отклоняются от реального мира, где присутствуют эти факторы.

Источник

Модель Блэка-Шоулза

Введение

Модель ценообразования опционов была впервые представлена общественности в 1973 году двумя учеными: Фишером Блэком (Fisher Black) и Майраном Шоулзом (Myron Scholes). В настоящее время она широко известна как «модель Блэка-Шоулза» (англ. Black-Scholes Option Pricing Model). Авторами была предложена математическая модель описывающая рынок финансовых деривативов. Практическим результатом модели стала формула Блэка-Шоулза, которая позволила рассчитать цену опциона колл европейского типа. Ее появление привело к буму торговли опционами, а сама она получила широкое применение среди участников рынка. Как и любая математическая модель, она имеет свои преимущества и недостатки, с которыми мы сейчас попытаемся разобраться.

Исходные предположения модели Блэка-Шоулза

К исходным предположениям, на которых основывается модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза, относятся.

1. Отсутствие арбитража. Ни один из участников рынка не может получить прибыль за счет разницы цен на один и тот же актив на разных рынках. Другими словами, цена актива одинакова на всех рынках.
2. Безрисковая процентная ставка. Любой участник рынка может взять в долг или одолжить любую сумму в любой момент времени под безрисковую процентную ставку.
3. Отсутствие ограничений на торговлю. В любой момент времени у участников рынка есть возможность купить или продать любое количество акций, включая дробное. Также не существует ограничений на короткую продажу.
4. Отсутствие транзакционных издержек. При осуществлении покупки или продажи участники рынка не несут каких-либо дополнительных затрат, как, например, комиссионные или налоги.
5. Цена актива изменяется случайным образом. Изначально предполагается, что курс акций изменяется случайным образом (подчиняется закону нормального распределения) с постоянным направлением и волатильностью.
6. Отсутствие дивидендов. Предполагается, что по акции, являющейся базовым активом для опциона, не выплачиваются дивиденды.
7. Нейтральность к риску. Все участники рынка являются нейтральными по отношению к риску, то есть принимают решение в пользу актива с максимальной доходностью не принимая при этом во внимание фактор риска. Другими словами, если существует два актива с одинаковой доходностью, но разным уровнем риска, нейтральному к риску инвестору будет безразлично какой из них выбрать. При этом, не склонный к риску инвестор (англ. Risk Averse Investor) выберет актив с меньшим риском, а склонный к риску инвестор (англ. Risk Seeking Investor) остановится на активе с большим риском.

При условии выполнения всех этих предположений модель Блэка-Шоулза показывает, что существует возможность формирования портфеля путем продажи опциона колл и покупки акций, стоимость которого не будет зависеть от курса акций.

По мере развития и дополнения модели некоторые из этих исходных предположений были исключены. В современных вариациях модели Блэка-Шоулза учитывается динамическое изменение процентных ставок, транзакционные издержки, налоги и выплата дивидендов.

Уравнение Блэка-Шоулза

Само по себе, уравнение Блэка-Шоулза является дифференциальным уравнением в частных производных (англ. Partial Differential Equation), которое описывает цену опциона колл во времени. Главная идея уравнения состоит в том, что существует возможность идеально хеджировать опцион, правильным способом покупая и продавая базовый актив, то есть устранить риск. Такое хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что существует только одна истинная цена опциона колл, которая рассчитывается по формуле Блэка-Шоулза.

В общем виде уравнение Блэка-Шоулза может быть записано так:

δV	+	1	σ 2 S 2	δ 2 V	+ rS	δV	— rV = 0
δt		2		δS 2		δS

где V – цена опциона как функция от времени и цены базовой акции;
t – время в годах (в настоящий момент равна 0, при истечении срока действия опциона равна T);
σ – волатильность доходности акции (среднеквадратическое отклонение доходности, рассчитанное по выборке цен акции за определенный период).
S –цена акции;
r – годовая безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая).

С учетом исходных предположений модели Блэка-Шоулза, это дифференциальное уравнение в частных производных подходит для любого типа опционов, пока его функция цены (V) дважды дифференцируема относительно S и один раз относительно t. Различные формулы ценообразования для различных опционов возникают в зависимости от выбора функции выплаты при истечении срока действия и соответствующих граничных условий.

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза позволяет рассчитать цену опциона колл европейского типа. Она выводится из приведенного выше уравнения в результате его решения при соответствующих предельных и граничных условиях.

Без выплаты дивидендов

Цена опциона колл [C(S_t, t)] для базовой акции, по которой не выплачиваются дивиденды, рассчитывается по формуле:

где S_t – спотовая цена базового актива в момент времени t;
K – цена исполнения опциона (англ. Strike Price);
e – константа (число Эйлера), приблизительно равная 2,718281828;
r – годовая безрисковая процентная ставка;
(T-t) – время до истечения срока действия опциона в годах.

N(d₁) является вероятностью того, что опцион колл окажется «в деньгах», то есть спотовая цена базового актива на момент исполнения T будет выше или равна страйку (S_T ≥ K). В свою очередь N(d₂) является вероятностью того, что опцион колл окажется «вне денег», то есть (S_T 2 )(T-t) d₁ = K 2 σ√ T-t

ln	St	+ (r —	σ 2	)(T-t)
	d2 =		K		2
σ√ T-t

где σ – среднеквадратическое отклонение доходности базовой акции.

Рассчитать значение N(d₁) и N(d₂) удобнее всего в Excel воспользовавшись функцией НОРМ.СТ.РАСП (см. Пример расчета).

Формула для расчета цены соответствующего опциона пут выводится из уравнения пут-колл паритета:

С выплатой дивидендов

Дискретные дивиденды

В результате выплаты дивидендов цена акции снижается, следовательно цена опциона колл также уменьшается, а цена соответствующего ему опциона пут увеличивается. Чтобы учесть это в формуле текущая спотовая цена акции (S_t) должна быть уменьшена на величину приведенной стоимости ожидаемых дивидендов, которые будут выплачены до наступления даты исполнения опциона.

F = St —	N	Di
	Σ
		(1 + r) Ti
	i = 1

Где F – форвардная цена акции, D_i – ожидаемый размер дивиденда в i-ом периоде, T_i – время в годах до i-ой выплаты дивидендов, N – ожидаемое количество выплат дивидендов до истечения срока действия опциона колл.

В этом случае формула Блэка-Шоулза с учетом дивидендов приобретает следующий вид:

Важно! Формула расчета параметров d₁ и d₂ остается без изменений!

Непрерывные дивиденды

В случае с опционом колл на индекс делается предположение о непрерывной выплате дивидендов, поскольку индекс включает в себя множество акций, дивиденды по которым выплачиваются в разное время. Вторым предположением является постоянная ставка дивидендной доходности (q). В этом случае формула Блэка-Шоулза для опциона колл приобретает следующий вид:

Цена соответствующего опциона пут рассчитывается так:

При этом F является модифицированной форвардной ценой, которая рассчитывается по формуле:

Важно! Предположения о непрерывности дивидендных выплат и постоянной ставке дивидендной доходности должны быть учтены при расчете параметров d1 и d2.

ln	St	+ (r — q +	σ 2	)(T-t)
	d1 =		K		2
σ√ T-t

Греки

Так называемые «греки» используются для оценки чувствительности стоимости опциона к изменению одного из параметров, в то время как остальные параметры остаются неизменными. Они применяются трейдерами и финансовыми институтами для оценки и управления рисками. В граничных условиях модели Блэка-Шоулза формулы для расчета греков опционов колл и пут европейского типа приведены ниже.

Дельта

Дельта (англ. Delta) считается наиболее важной из «греков», поскольку она оценивает чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Например, если дельта опциона колл равна 0,75, и цена базовой акции увеличивается на $1, то цена этого опциона увеличится на $0,75. Для расчета значения этого коэффициента используются следующие формулы.

Гамма

Гамма (англ. Gamma) является первой производной от дельты опциона и оценивает скорость ее изменения при изменении цены базового актива на 1 пункт (обычно $0,01). Например, если гамма опциона равна 2, то при росте цены базового актива на 1 пункт, дельта опциона вырастет на 2 пункта.

Исходя из пут-колл паритета гамма одинакова для опциона колл и соответствующего опциона пут:

где N’(x) – функция плотности вероятности.

Вега (англ. Vega) используется для оценки чувствительности цены опциона к изменению среднеквадратического отклонения доходности базового актива. Этот коэффициент показывает на сколько изменится цена опциона при изменении среднеквадратического отклонения на 1%. Например, если вега равна 0,5, то при изменении среднеквадратического отклонения с 11% до 12% цена опциона вырастет на $0,5.

Исходя из пут-колл паритета вега одинакова для опциона колл и соответствующего опциона пут.

Тета (англ. Theta) является коэффициентом, который характеризует изменение цены опциона по мере приближения даты его экспирации. Например, если тета опциона равна 0,75, то на следующий день его цена должна снизиться на $0,75.

Для расчета теты опциона колл и соответствующего опциона пут используются следующие формулы:

θCALL =	StN’(d1)σ	— rKe -r(T-t) N(d2)
	2√ T-t

θCALL =	StN’(d1)σ	+ rKe -r(T-t) N(-d2)
	2√ T-t

Следует также отметить, что гамма и тета опциона всегда имеют противоположные знаки. Также для теты характерен рост по мере приближения даты экспирации.

Ро (англ. Rho) используется в качестве меры чувствительности опциона к изменению безрисковой процентной ставки, в качестве которой обычно используют ставку по Казначейским векселям США (англ. Treasury Bill, T-bill). Формула для ее расчета выглядит следующим образом:

Этот коэффициент показывает на сколько изменится цена опциона при изменении безрисковой процентной ставки на 1%. Предположим, что ро опциона колл равна 0,35 и -0,25 для соответствующего опциона пут. Если ставка по Казначейским векселям возрастает с 2,50% до 3,50%, то цена опциона колл увеличится на $0,35, а цена опциона пут снизится на $0,25. В случае снижения процентных ставок цена опциона колл будет снижаться, а опциона пут расти.

Примеры

Пример расчета цены европейского опциона на акции без выплаты дивидендов

В настоящий момент инвестор имеет возможность приобрести европейский опцион пут на акции корпорации Apple Inc. по цене $4.57. Необходимо определить, следует ли инвестору приобретать этот опцион, если он располагает следующей информацией:

• спотовая цена акции Apple Inc. в настоящий момент составляет $196,16;
• цена исполнения опциона $192,50;
• до экспирации опциона остается 21 день;
• среднеквадратическое отклонение годовой доходности акций составляет 26,07%;
• процентная ставка по 12-ти месячному Казначейскому векселю (Treasury Bill) составляет 2,50%;
• до наступления даты экспирации опциона выплата дивидендов производиться не будет.

Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой Блэка-Шоулза нам необходимо рассчитать параметры d₁ и d₂.

(T-t) =	(21 — 0)	= 0,057534
	365

ln	196,16	+ (0,025 +	0,2607 2	)0,057534
	d1 =		192,50		2	= 0,355464
0,2607√ 0,057534

d₂ = 0,355464 — 0,2607√ 0,057534 = 0,292932

Для расчета значений N(d₁) и N(d₂) воспользуемся функцией Excel НОРМ.СТ.РАСП.

1. В ячейку B1 и B2 введем полученные значения d₁ и d₂.
2. Выберите ячейку B4.
3. Нажмите кнопку fx, в поле Категория выберите Полный алфавитный перечень, в открывшемся списке выберите функцию НОРМ.СТ.РАСП.
4. В поле Z выберите ячейку B1, а в поле Интегральная введите значение 1 (логическая переменная для выбора интегральной функции распределения, если ввести 0 то будет выбрана функция плотности вероятности!).
5. Нажмите кнопку OK.

Полученное значение интегральной функции распределения N(d₁) составляет 0,638879. Аналогичным образом рассчитывается и значение N(d₂), которое составляет 0,615213.

Рассчитаем цену опциона колл на акции Apple Inc. приняв ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой процентной ставки:

С(S_t,t) = 0,638879×196,16 — 0,615213×192,5×2,718282 -0,025×0,057534 = $7,06

Рассчитаем цену соответствующего опциона пут воспользовавшись уравнением пут-колл паритета:

P(S_t,t) = 192,5×2,718282 -0,025*0,057534 — 196,16 + 7,06 = $3,13

Поскольку справедливая цена опциона пут составляет $3,13, инвестору не стоит принимать предложение об его покупке по цене $4,57.

Пример расчета цены европейского опциона на акции с выплатой дивидендов

Предположим, что на рынке есть европейский опцион колл на акции General Motors Company с ценой исполнения $35.00, экспирация которого наступает через 173 дня. В настоящий момент акции этой компании торгуются по цене $38.86, среднеквадратическое отклонение их годовой доходности равно 14,57%, а ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям составляет 2,50%. При этом ожидается, что до истечения срока действия опциона будет произведено две выплаты дивидендов в размере $1,52 на акцию. Первая из них ожидается через 64 дня, а вторая через 151 день.

Чтобы рассчитать цену этого опциона колл необходимо воспользоваться формулой Блэка-Шоулза с учетом дивидендных выплат. Для этого рассчитаем форвардную цену акций F приняв процентную ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой.

T1 =	64	= 0,1753
	365

T2 =	151	= 0,4137
	365

F = 38,86 —	1,52	—	1,52	= $35,84
	(1+0.025) 0,1753		(1+0.025) 0,4137

(T-t) =	(173-0)	= 0,474
	365

ln	38,86	+ (0,025 +	0,1457 2	)0,474
	d1 =		35		2	= 1,21124
0,1457√ 0,474

d₂ = 1,21124 — 0,1457√ 0,474 = 1,11094

Значения интегральной функции распределения рассчитываются в Excel: N(d₁) = 0,8871 и N(d₂) = 0,8667.

С(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,474 (35,84×0,8871 — 35×0,8667) = $1,44

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d1) = 0,1129 и N(-d2) = 0,1333.

P(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,474 (35×0,1333 — 35,84×0,1129) = $0,61

Пример расчета цены европейского опциона на индекс с выплатой дивидендов

Текущее значение индекса S&P 500 составляет 2 878,20. Необходимо определить цену европейского опциона колл на этот индекс с ценой исполнения 2 650,50, который истекает через 55 дней. При этом годовое среднеквадратическое отклонение индекса составляет 11,54%, а процентная ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям 2,50%. Постоянная ставка дивидендной доходности (q) равняется 5,78%.

Рассчитаем модифицированное форвардное значение индекса (F) и параметры d₁ и d₂.

(T-t) =	(55-0)	= 0,1507
	365

F = 2 878,20×2,718282 (0,025-0,0578)×0,1507 = 2 864,01

ln	2 878,20	+ (0,025 -0,0578 +	0,1154 2	)0,1507
	d1 =		2 650,50		2	= 1,7519
0,1154√ 0,1507

d₂ = 1,7519 — 0,1154√ 0,1507 = 1,7071

N(d₁) = 0,9601 и N(d₂) = 0,9561 были рассчитаны в Excel.

С(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,1507 (2 864,01×0,9601 — 2 650,50×0,9561) = $214,80

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d₁) = 0,0399 и N(-d₂) = 0,0439.

P(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,1507 (2 650,50×0,0439 — 2 864,01×0,0399) = $2,09

Источник