Ковариация доходности коэффициент корреляции

3 Ковариация и корреляция.

Ковариация — это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других. Более простое определение ковариации — это мера взаимодействия двух случайных переменных.
Формула для расчета ковариации следующая:

(2.6)

где rx и ry – доходности активов X и Y,
rXсред и rYсред — ожидаемые (средние) доходности активов X и Y,
n – число наблюдений.
Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер.
Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию, довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. Значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции.
Расчет корреляции осуществляется по формуле:

(2.7)

где cov(X,Y) — ковариация между активами X и Y,
в знаменателе — стандартные отклонения активов X и Y
Приведем пример расчета ковариации и корреляции при помощи Excel между бумагами РАО ЕЭС, Лукойл и Ростелеком, пользуясь встроенными функциями КОВАР и КОРРЕЛ.

Рисунок 2.18 – Вид с формулами
В результате получим:

Рисунок 2.19 – Вид со значениями
Как видно из таблицы корреляции ежемесячные доходности наших активов на отрезке 2004 года являются положительно-коррелированы, что, конечно же, не очень хорошо, однако даже включение в портфель положительно-коррелированных активов способно существенно снизить риск всего портфеля. Вооружившись всеми теми данными, которые теперь есть можно спокойно переходить формированию портфеля и проблемам, связанными с этим.

Источник

Ковариация

Ковариацией $cov\left(X,\ Y\right)$ случайных величин $X$ и $Y$ называется математическое ожидание произведения случайных величин $X-M\left(X\right)$ и $Y-M\left(Y\right)$, то есть:

Бывает удобно вычислять ковариацию случайных величин $X$ и $Y$ по следующей формуле:

которая может быть получена из первой формулы, используя свойства математического ожидания. Перечислим основные свойства ковариации.

1. Ковариация случайной величины с самой собой есть ее дисперсия.

2. Ковариация симметрична.

$$cov\left(X,\ Y\right)=cov\left(Y,\ X\right).$$

3. Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак ковариации.

$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\right).$$

5. Ковариация не изменится, если к одной из случайных величин (или двум сразу) прибавить постоянную величину:

$$cov\left(X+c,\ Y\right)=cov\left(X,\ Y+c\right)=cov\left(X+x,\ Y+c\right)=cov\left(X,\ Y\right).$$

6. $cov\left(aX+b,\ cY+d\right)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\right)$.

8. $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|=\sqrt\Leftrightarrow Y=aX+b$.

9. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин:

$$D\left(X\pm Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm 2cov\left(X,\ Y\right).$$

Пример 1. Дана корреляционная таблица случайного вектора $\left(X,\ Y\right)$. Вычислить ковариацию $cov\left(X,\ Y\right)$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X\backslash Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & p_ <22>& 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end$

События $\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей $p_$, указанных в таблице, должна быть равна 1. Тогда $0,1+0+0,2+0,05+p_<22>+0+0+0,2+0,05+0,1+0+0,1=1$, отсюда $p_<22>=0,2$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X\backslash Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end$

Пользуясь формулой $p_ =\sum _p_ $, находим ряд распределения случайной величины $X$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,25 & 0,25 & 0,2 \\
\hline
\end$

$$M\left(X\right)=\sum^n_=-2\cdot 0,3+0\cdot 0,25+1\cdot 0,25+7\cdot 0,2=1,05.$$

Пользуясь формулой $q_ =\sum _p_ $, находим ряд распределения случайной величины $Y$.

$$M\left(Y\right)=\sum^n_=-6\cdot 0,25+0\cdot 0,4+3\cdot 0,35=-0,45.$$

Поскольку $P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0,1\ne 0,3\cdot 0,25$, то случайные величины $X,\ Y$ являются зависимыми.

Определим ковариацию $cov\ \left(X,\ Y\right)$ случайных величин $X,\ Y$ по формуле $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)$. Математическое ожидание произведения случайных величин $X,\ Y$ равно:

$$M\left(XY\right)=\sum_x_iy_j>=0,1\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right)+0,2\cdot \left(-2\right)\cdot 3+0,05\cdot 1\cdot 3+0,1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0,1\cdot 7\cdot 3=-1,95.$$

Тогда $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1,95-1,05\cdot \left(-0,45\right)=-1,4775.$ Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае $cov(X,Y)\ne 0$.

Корреляция

Коэффициентом корреляции случайных величин $X$ и $Y$ называется число:

Перечислим основные свойства коэффициента корреляции.

1. $\rho \left(X,\ X\right)=1$.

2. $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3. $\rho \left(X,\ Y\right)=0$ для независимых случайных величин $X$ и $Y$.

5. $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6. $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

Ранее было сказано, что коэффициент корреляции $\rho \left(X,\ Y\right)$ отражает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами $X$ и $Y$.

При $\rho \left(X,\ Y\right)>0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к увеличению. Это называется положительной корреляционной зависимостью. Например, рост и вес человека связаны положительной корреляционной зависимостью.

Читайте также: Доходность по вкладам юридических лиц
При $\rho \left(X,\ Y\right) Да Нет

При копировании материала с сайта, обратная ссылка обязательна!

Источник

Коэффициент корреляции | Correlation coefficient

В статистике коэффициент корреляции (англ. Correlation Coefficient) используется для проверки гипотезы о существовании зависимости между двумя случайными величинами, а также позволяет оценить ее силу. В портфельной теории этот показатель, как правило, используется для определения характера и силы зависимости между доходностью ценной бумаги (актива) и доходностью портфеля. Если распределение этих переменных является нормальным или близким к нормальному, то следует использовать коэффициент корреляции Пирсона, который рассчитывается по следующей формуле:

— среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности i-ой ценной бумаги;

— среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности портфеля.

В расширенном виде формулу коэффициента корреляции Пирсона можно записать следующим образом:

где k_i – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;

p_i – доходность портфеля в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность портфеля.

n – количество наблюдений.

Свойства коэффициента корреляции

Значение коэффициента корреляции изменяется от -1 до +1. Его отрицательное значение говорит о том, что между переменными наблюдается обратная взаимосвязь. Например, когда доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о прямой взаимосвязи, то есть, если доходность ценной бумаги будет расти, доходность портфеля также будет расти, и наоборот.

Если абсолютное значение коэффициента корреляции находится ближе к 1, то это свидетельствует о сильной взаимосвязи между переменными, а если ближе к 0 — то это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если его значение равно -1 или +1, то можно говорить о существовании функциональной взаимосвязи между переменными, то есть одну из них можно выразить через другую посредством математической функции.

Пример расчета

Динамика доходности акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг выглядят следующим образом:

Чтобы использовать формулу коэффициента корреляции Пирсона необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:

для акций Компании А 4,986%;

для акций Компании Б 5,031%;

для портфеля 3,201%.

Ковариация доходности акций Компании А и портфеля составит -0,313, а акций Компании Б и портфеля 0,242. (О том, как рассчитывается ковариация доходности можно прочитать здесь)

Среднеквадратическое отклонение доходности акций Компании А составит 0,6398, акций Компании Б 0,5241 и портфеля 0,5668. (О том, как рассчитывается среднеквадратическое отклонение можно прочитать здесь)

Читайте также: Втб инвестиции отделения банка
Коэффициент корреляции доходности акций Компании А и доходности портфеля составит -0,864, а акций Компании Б 0,816.

R_Б = 0,242/(0,5241*0,5668) = 0,816

Можно сделать вывод о присутствии достаточно сильной взаимосвязи между доходностью портфеля и доходностью акций Компании А и Компании Б. При этом, доходность акций Компании А демонстрирует разнонаправленное движение с доходностью портфеля, а доходность акций Компании Б однонаправленное движение.

Источник

Ковариация | Covariance

Математически ковариация (англ. Covariance) представляет собой меру линейной зависимости двух случайных величин. В портфельной теории этот показатель используется для определения зависимости между доходностью определенной ценной бумаги и доходностью портфеля ценных бумаг. Чтобы рассчитать ковариацию доходности необходимо воспользоваться следующей формулой:

где k_i – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;

p_i – доходность портфеля в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;

n – количество наблюдений.

Следует отметить, что в знаменатель формулы подставляется (n-1), если ковариация рассчитывается на основании выборки из генеральной совокупности наблюдений. Если в расчетах учитывается вся генеральная совокупность, то в знаменатель подставляется n.

Пример. В таблице представлена динамика доходность акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг.

Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой для расчета ковариации доходности каждой из акций с портфелем необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:

для акций Компании А 4,986%;

для акций Компании Б 5,031%;

для портфеля 3,201%.

Таким образом, ковариация акций Компании А с портфелем составит -0,313, а акций Компании Б 0,242.

Cov (k_A, k_p) = ((5,93-4,986)(2,27-3,201) + (5,85-4,986)(2,39-3,201) + (5,21-4,986)(3,47-3,201) + (5,37-4,986)(3,21-3,201) + (4,99-4,986)(2,95-3,201) + (4,87-4,986)(2,97-3,201) + (4,70-4,986)(3,32-3,201) + (4,75-4,986)(3,65-3,201) + (4,33-4,986)(3,97-3,201) + (3,86-4,986)(3,81-3,201))/(10-1) = -0,313

Cov (k_Б, k_p) = ((4,25-5,031)(2,27-3,201) + (4,47-5,031)(2,39-3,201) + (4,68-5,031)(3,47-3,201) + (4,71-5,031)(3,21-3,201) + (4,77-5,031)(2,95-3,201) + (5,25-5,031)(2,97-3,201) + (5,45-5,031)(3,32-3,201) + (5,33-5,031)(3,65-3,201) + (5,55-5,031)(3,97-3,201) + (5,85-5,031)(3,81-3,201))/(10-1) = 0,242

Аналогичные расчеты можно произвести в Microsoft Excel при помощи функции «КОВАРИАЦИЯ.В» для выборки из генеральной совокупности или функции «КОВАРИАЦИЯ.Г» для всей генеральной совокупности.

Интерпретация ковариации

Значение коэффициента ковариации может быть как отрицательным, так и положительным. Его отрицательное значение говорит о том, что доходность ценной бумаги и доходность портфеля демонстрируют разнонаправленное движение. Другими словами, если доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о том, что доходность ценной бумаги и портфеля изменяются в одном направлении.

Низкое значение (близкое к 0) коэффициента ковариации наблюдается в том случае, когда колебания доходности ценной бумаги и доходности портфеля носят случайный характер.

Источник