Ковариация — это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других. Более простое определение ковариации — это мера взаимодействия двух случайных переменных. Формула для расчета ковариации следующая:
(2.6)
где rx и ry – доходности активов X и Y, rXсред и rYсред — ожидаемые (средние) доходности активов X и Y, n – число наблюдений. Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер. Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию, довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. Значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции. Расчет корреляции осуществляется по формуле:
(2.7)
где cov(X,Y) — ковариация между активами X и Y, в знаменателе — стандартные отклонения активов X и Y Приведем пример расчета ковариации и корреляции при помощи Excel между бумагами РАО ЕЭС, Лукойл и Ростелеком, пользуясь встроенными функциями КОВАР и КОРРЕЛ.
Рисунок 2.18 – Вид с формулами В результате получим:
Рисунок 2.19 – Вид со значениями Как видно из таблицы корреляции ежемесячные доходности наших активов на отрезке 2004 года являются положительно-коррелированы, что, конечно же, не очень хорошо, однако даже включение в портфель положительно-коррелированных активов способно существенно снизить риск всего портфеля. Вооружившись всеми теми данными, которые теперь есть можно спокойно переходить формированию портфеля и проблемам, связанными с этим.
Источник
Ковариация | Covariance
Математически ковариация (англ. Covariance) представляет собой меру линейной зависимости двух случайных величин. В портфельной теории этот показатель используется для определения зависимости между доходностью определенной ценной бумаги и доходностью портфеля ценных бумаг. Чтобы рассчитать ковариацию доходности необходимо воспользоваться следующей формулой:
где ki – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;
— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;
pi – доходность портфеля в i-ом периоде;
— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;
n – количество наблюдений.
Следует отметить, что в знаменатель формулы подставляется (n-1), если ковариация рассчитывается на основании выборки из генеральной совокупности наблюдений. Если в расчетах учитывается вся генеральная совокупность, то в знаменатель подставляется n.
Пример. В таблице представлена динамика доходность акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг.
Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой для расчета ковариации доходности каждой из акций с портфелем необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:
для акций Компании А 4,986%;
для акций Компании Б 5,031%;
для портфеля 3,201%.
Таким образом, ковариация акций Компании А с портфелем составит -0,313, а акций Компании Б 0,242.
Аналогичные расчеты можно произвести в Microsoft Excel при помощи функции «КОВАРИАЦИЯ.В» для выборки из генеральной совокупности или функции «КОВАРИАЦИЯ.Г» для всей генеральной совокупности.
Интерпретация ковариации
Значение коэффициента ковариации может быть как отрицательным, так и положительным. Его отрицательное значение говорит о том, что доходность ценной бумаги и доходность портфеля демонстрируют разнонаправленное движение. Другими словами, если доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о том, что доходность ценной бумаги и портфеля изменяются в одном направлении.
Низкое значение (близкое к 0) коэффициента ковариации наблюдается в том случае, когда колебания доходности ценной бумаги и доходности портфеля носят случайный характер.
Источник
Дисперсия и ковариация: что это такое и в чем разница?
Здравствуйте, уважаемые читатели проекта Тюлягин! Сегодня речь пойдет о дисперсии и ковариации, двух на первый взгляд сложных понятий. Однако при более близком рассмотрении вы поймете что в них нет ничего сложного. Эти два термина чаще всего можно встретить в математике и статистике, однако они также используются в финансах и инвестициях. Об этом и поговорим далее в статье.
Содержание статьи:
Что такое дисперсия и ковариация
Дисперсия и ковариация — математические термины, часто используемые в статистике и теории вероятностей. Дисперсия это разброс набора данных вокруг его среднего значения, в то время как ковариация это мера направленного отношения между двумя случайными величинами.
В дополнение к их общему использованию в статистике, оба этих термина имеют также определенные значения для инвесторов, относящиеся к измерениям, проводимым на фондовом рынке, и распределению активов, оба из которых указаны ниже.
Дисперсия простыми словами
Дисперсия используется в статистике для описания разброса между набором данных от его среднего значения. Она рассчитывается путем нахождения взвешенного по вероятности среднего квадрата отклонений от ожидаемого значения. Таким образом, чем больше дисперсия, тем больше расстояние между числами в наборе и средним значением. И наоборот, меньшая дисперсия означает, что числа в наборе ближе к среднему.
Наряду со статистическим определением термин дисперсия также может использоваться в финансовом контексте. Многие биржевые эксперты и финансовые консультанты используют дисперсию акции для измерения ее волатильности. Возможность выразить, насколько далеко стоимость данной акции может отклониться от среднего значения, в одном числе — очень полезный индикатор того, насколько велик риск, с которым связана конкретная акция. Акция с более высокой дисперсией обычно сопряжена с большим риском и потенциалом для более высокой или более низкой доходности, в то время как акция с меньшей дисперсией может быть менее рискованной, что означает, что она будет иметь среднюю доходность.
Ковариация простыми словами
Ковариация — это мера того, как две случайные величины изменятся при сравнении друг с другом. Однако в финансовом или инвестиционном контексте термин ковариация описывает доходность двух разных инвестиций за период времени по сравнению с разными переменными. Эти активы обычно представляют собой рыночные ценные бумаги в портфеле инвестора, например акции.
Положительная ковариация означает, что доходность обоих инвестиций имеет тенденцию одновременно увеличиваться или уменьшаться в стоимости. С другой стороны, обратная или отрицательная ковариация означает, что доходности будут отдаляться друг от друга. Так, когда один актив поднимается, другой актив падает.
Ковариация может измерять движения двух переменных, но не указывает на степень, в которой эти две переменные изменяются по отношению друг к другу. Ковариацию также можно использовать как инструмент для диверсификации портфеля инвестора. Для этого управляющий инвестиционным портфелем должен искать инвестиции, которые имеют отрицательную ковариацию друг с другом. Это означает, что когда доходность одного актива падает, доходность другого (связанного) актива повышается. Таким образом, покупка акций с отрицательной ковариацией — отличный способ минимизировать риск портфеля. Можно ожидать, что экстремальные пики и спады динамики акций уравновесят друг друга, что приведет к более стабильной норме доходности на протяжении многих лет.
Резюме
В статистике дисперсия — это разброс набора данных вокруг его среднего значения, а ковариация — это мера направленного отношения между двумя случайными величинами.
Дисперсия используется финансовыми экспертами для измерения волатильности актива, в то время как ковариация описывает доходность двух разных инвестиций за период времени по сравнению с разными переменными.
Управляющие инвестиционным портфелем могут минимизировать риск в портфеле инвестора, покупая инвестиции, которые имеют отрицательную ковариацию друг с другом.
А на этом сегодня все про дисперсию и ковариацию, как видите это не так и сложно. Надеюсь статья была для вас полезной и интересной. Делитесь статьей в социальных сетях и мессенджерах и добавляйте сайт в закладки. Успехов и до новых встреч на страницах проекта Тюлягин!
Источник
CFA — Ожидаемая доходность, ковариация и корреляция активов инвестиционного портфеля
Расчет и интерпретация ожидаемой доходности, дисперсии доходности, ковариации и корреляции активов инвестиционного портфеля являются фундаментальными навыками финансового аналитика. Рассмотрим эти концепции, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Современная теория инвестиционного портфеля часто использует идею о том, что инвестиционные возможности можно оценить с использованием ожидаемой доходности в качестве меры вознаграждения и дисперсии доходности в качестве меры риска.
Расчет и интерпретация ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля являются фундаментальными навыками финансового аналитика. В этом разделе мы рассмотрим концепции ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности.
Хотя в этом разделе мы коснемся ряда основных понятий, мы не будем разбирать портфельную теорию как таковую. Портфельная теория Марковица (англ. ‘mean-variance analysis’) будет рассматриваться в следующих чтениях.
Доходность портфеля определяется доходностью отдельных его составляющих. В результате расчет дисперсии портфеля как функция доходности отдельного актива является более сложным, чем расчет дисперсии, проиллюстрированный в предыдущем разделе.
Рассмотрим пример портфеля,
50% которого инвестируются в фонд индекса S&P 500,
25% — в фонд долгосрочных корпоративных облигаций США, и
25% — в фонд индекса MSCI EAFE (представляющий рынки акций в Европе, Австралии и на Дальнем Востоке).
Таблица 5 показывает это распределение.
Таблица 5. Портфельные веса.
Долгосрочные корпоративные облигации США
Сначала рассмотрим расчет ожидаемой доходности портфеля. В предыдущем разделе мы определили ожидаемое значение случайной величины как средневзвешенную вероятность возможных результатов случайной величины.
Мы знаем, что доходность портфеля — это средневзвешенная доходность ценных бумаг в портфеле. Аналогично, ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную величину ожидаемой доходности ценных бумаг в портфеле с использованием точно таких же весов.
Когда мы оценили ожидаемую доходность отдельных ценных бумаг, мы сразу же получили ожидаемую доходность портфеля. Этот удобный факт вытекает из свойств ожидаемого значения.
Свойства ожидаемого значения.
Пусть \( w_i \) — любая постоянная величина (константа), а \( R_i \) — случайная величина.
1. Ожидаемое значение постоянной величины, умноженной на случайную величину, равно постоянной, умноженной на ожидаемое значение случайной величины.
2. Ожидаемое значение взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме ожидаемых значений с использованием тех же весов.
Предположим, у нас есть случайная величина с заданным ожидаемым значением. Например, если мы умножим каждый результат на 2, ожидаемое значение случайной величины умножится также на 2. В этом смысл части 1.
Второе утверждение — это правило, которое напрямую приводит к выражению ожидаемой доходности портфеля.
Портфель с n ценными бумагами определяется весами его портфеля, \( w_1, w_2, \ldots, w_n \), которые в сумме составляют 1. Таким образом, доходность портфеля, \( R_p \), равна \( R_p = w_1R_1 + w_2R_2 + \ldots + w_nR_n \).
Теперь мы можем сформулировать следующий принцип:
Расчет ожидаемой доходности портфеля.
Для портфеля с n ценными бумагами ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную ожидаемую доходность по включенным в него ценным бумагам:
В предыдущем разделе мы изучали дисперсию как меру рассеивания результатов вокруг ожидаемого значения. Здесь нас интересует дисперсия доходности портфеля как мера инвестиционного риска.
Если \( R_p \) обозначает доходность портфеля, то дисперсия доходности портфеля составляет \( \sigma^2(R_p) = E \Big\ < \big[R_p - E(R_p)\big]^2 \Big\>\) в соответствии с Формулой 8.
Как можно использовать это определение на практике?
В чтении о статистических концепциях и рыночной доходности мы узнали, как рассчитать историческую или выборочную дисперсию на основе выборки ставок доходности.
Теперь мы рассматриваем дисперсию в прогностическом смысле. Мы будем использовать информацию об отдельных активах в портфеле, чтобы получить доходность всего портфеля.
Чтобы избежать беспорядка в обозначениях, мы пишем \( ER_p \) вместо \(E(R_p)\). Нам нужна концепция ковариации.
Определение ковариации.
Для двух случайных величин \(R_i\) и \(R_j\) ковариация между \(R_i\) и \(R_j\) равна
Альтернативными обозначениями являются \(\sigma(R_i,R_j)\) и \(\sigma_\).
Формула 14 утверждает, что ковариация (англ. ‘covariance’) между двумя случайными переменными является средневзвешенной вероятностью для перекрестных произведений отклонения каждой случайной переменной от ее собственного ожидаемого значения.
Последний шаг следует из определений дисперсии и ковариации.
Полезные факты о дисперсии и ковариации включают в себя следующее:
Дисперсия постоянной величины (константы) умноженная на случайную величину равна квадрату константы умноженной на дисперсию случайной величины, или \( \sigma^2(wR) = w^2\sigma^2(R) \);
Дисперсия константы плюс случайная величина равна дисперсии случайной величины, или \( \sigma^2(w + R) = \sigma 2(R)\), поскольку константа имеет нулевую дисперсию;
Ковариация между константой и случайной величиной равна нулю.
Для выделенных курсивом ковариационных членов в Формуле 15 мы использовали тот факт, что порядок переменных в ковариации не имеет значения: например, \(\textrm(R_2,R_1) = \textrm(R_1,R_2) \).
Как мы покажем далее, диагональные дисперсионные члены \(\sigma^2(R_1)\), \(\sigma^2(R2)\) и \(\sigma^2(R_3)\) могут быть выражены как \(\textrm(R_1,R_1)\), \(\textrm(R_2,R_2)\) и \(\textrm(R_3,R_3)\), соответственно.
Опираясь на этот факт, можно вывести наиболее компактный вид Формулы 15:
Знаки суммирования говорят: «Установите i = 1, и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 2 и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 3 и пусть j меняется от 1 до 3; наконец, добавьте девять членов».
Эту формулу можно использовать для портфеля любого размера n:
Из Формулы 15 видно, что отдельные отклонения доходности составляют часть, но не все отклонения портфеля. Три отклонения фактически превосходят по численности шесть ковариационных членов вне диагонали. Для трех активов это соотношение составляет 1 к 2 или 50 процентов.
Если имеется 20 активов, то есть 20 дисперсионных слагаемых и 20(20) — 20 = 380 недиагональных ковариационных слагаемых. Отношение слагаемых дисперсии к недиагональным слагаемым ковариации составляет менее 6 к 100, или 6%. Таким образом, первое наблюдение заключается в том, что с увеличением числа активов портфеля ковариация становится все более важной, в остальном все не меняется.
Когда значение ковариации как «недиагональной ковариации» очевидно, как здесь, мы опускаем уточняющие слова. Ковариация обычно используется в этом смысле.
Как именно влияет ковариация на дисперсию доходности портфеля?
Члены ковариации показывают, как совместное движение доходности отдельных активов влияет на дисперсию всего портфеля.
Например, рассмотрим две акции: одна имеет тенденцию к высокой доходности (относительно ее ожидаемой доходности), а другая имеет низкую доходность (относительно ее ожидаемой доходности).
Доходность одной акции имеет тенденцию компенсировать доходность другой акции, снижая изменчивость или дисперсию доходности портфеля.
Как и дисперсию, значения ковариации трудно интерпретировать, и мы вскоре представим более интуитивно понятную концепцию. Между тем, из определения ковариации мы можем установить два существенных примечания о ковариации.
1. Мы можем интерпретировать ковариацию следующим образом:
Ковариация доходности отрицательна, когда доходность одного актива выше его ожидаемого значения, а доходность другого актива имеет тенденцию быть ниже его ожидаемого значения (средняя обратная зависимость между ставками доходности).
Ковариация доходности равна 0, если доходность активов не связана.
Ковариация доходности положительна, когда доходность обоих активов, как правило, находятся по одну сторону (выше или ниже) относительно ожидаемых значений в одно и то же время (средняя положительная зависимость между ставками доходности).
2. Ковариация случайной величины с самой собой (собственная ковариация) — это ее собственная дисперсия:
Полный список ковариаций составляет все статистические данные, необходимые для расчета дисперсии доходности портфеля. Ковариации часто представлены в табличном формате, который называется ковариационной матрицей (англ. ‘covariance matrix’).
В Таблице 7 показано, как вводятся расчетные значения в ковариационную матрицу для ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.
Таблица 7. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля — значения матрицы:
Для трех активов ковариационная матрица имеет \(3^2 = 3 \times 3 = 9 \) ячеек, но значения ячеек по диагонали (дисперсия) обычно рассчитываются отдельно от недиагональных ячеек. Эти диагональные значения выделены жирным шрифтом в Таблице 7.
Это различие естественно, так как дисперсия акций — это концепция с одной переменной. Таким образом, есть 9 — 3 = 6 ковариаций, исключая дисперсии.
Но \(\textrm(R_B,R_A) = \textrm(R_А,R_В)\), \( \textrm(R_С,R_A) = \textrm(R_B,R_A) \) и \( \textrm(R_С,R_B) = \textrm(R_B,R_C) \).
Ковариационная матрица под диагональю является зеркальным отображением ковариационной матрицы над диагональю. В результате, есть только 6/2 = 3 различных ковариационных члена для оценки. В целом, для n ценных бумаг существует \( n(n — 1)/2 \) различных ковариаций для оценки и n дисперсий для оценки.
Предположим, у нас есть ковариационная матрица, показанная в Таблице 8.
Мы будем работать с доходностью, указанной в процентах, а записи в таблице будут выражены в процентах в квадрате (% 2 ). Члены 38% 2 и 400% 2 равны 0.0038 и 0.0400 соответственно в десятичном виде; правильная работа в процентах и десятичных дробях приводит к одинаковым ответам.
Таблица 8. Ковариационная матрица.
Долгосрочные корпоративные облигации США
Долгосрочные корпоративные облигации США
Если взять Формулу 15 и сгруппировать дисперсионные члены, мы получим следующее:
Разница составляет 195.875. Стандартное отклонение доходности составляет 195.875 1/2 = 14%. В итоге, ожидаемая годовая доходность портфеля составляет 11.75%, а стандартное отклонение доходности — 14%.
Давайте посмотрим на первые три члена в приведенном выше расчете. Их сумма, 100 + 5.0625 + 27.5625 = 132.625, является вкладом отдельных дисперсий активов в общую дисперсию портфеля. Если бы доходность по трем активам была независимой, ковариации были бы равны 0, а стандартное отклонение доходности портфеля составило бы 132.625 1/2 = 11.52% по сравнению с 14% ранее.
Портфель будет иметь меньший риск. Предположим, что члены ковариации были отрицательными. Тогда к 132.625 будет добавлено отрицательное число, поэтому дисперсия портфеля и риск будут еще меньше.
В то же время мы не изменили ожидаемую доходность. При той же ожидаемой доходности портфеля, портфель имеет меньший риск. Это снижение риска является преимуществом диверсификации, что означает снижение риска от владения портфелем активов.
Преимущество диверсификации увеличивается с уменьшением ковариации.
Это наблюдение является ключевым понятием современной теории портфеля. Это станет еще более интуитивно понятно, когда мы рассмотрим концепцию корреляции. Тогда мы сможем сказать, что до тех пор, пока ставки доходности акций портфеля не имеют абсолютно положительной корреляции, возможны преимущества диверсификации.
Кроме того, чем меньше корреляция между доходностью акций, тем выше стоимость отказа от диверсификации (с точки зрения упущенных выгод от снижения риска), при прочих равных условиях.
Определение корреляции.
Корреляция (англ. ‘correlation’) между двумя случайными величинами, \(R_i\) и \(R_j\), определяется как:
Деление, указанное в определении, делает корреляцию чистым числом (т.е. без единицы измерения) и устанавливает границы для ее наибольшего и наименьшего возможных значений.
Используя приведенное выше определение, мы можем сформулировать корреляционную матрицу только на основе данных из ковариационной матрицы. В Таблице 9 показана матрица корреляции.
(2.6)
(2.7)
— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;
— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;
