Коэффициент вариации доходности портфеля

ТЕМА 14. РИСК И ДОХОДНОСТЬ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

В качестве численного показателя портфельного риска используются следующие показатели:

— ожидаемая доходность портфеля;

— стандартное отклонение портфеля;

— коэффициент вариации портфеля.

Ожидаемая доходность портфеля ценных бумагэто средневзвешенное значение ожидаемых доходностей отдельных активов, входящих в портфель; при этом их веса — это доли общей суммы инвестиций в портфель (часть всего портфеля) вложенные в соответствующие активы:

= * + w₂ * +….+ * = ,

Ковариация (covariance) — это показатель, учитывающий как изменчивость (волатилъностъ) доходности акций или портфелей, так и тенденцию их доходности к росту или снижению по мере того, как растет или снижается доходность других акций или портфелей. Формула определяет ковариацию доходности активов А и В (Cov(AB)):

Cov (AB) =

Величину ковариации обычно оказывается довольно сложно интерпретировать, и поэтому для измерения степени совместного изменения переменных чаще используется другой показатель — коэффициент корреляции (correlation coefficient). Коэффициент корреляции стандартизует ковариантность при делении на произведение, что облегчает сравнения при применении аналогичной шкалы.Коэффициент корреляции (rАВ) вычисляется для переменных следующим образом:

,

Для определения риска портфеля, состоящего из двух активов, используютстандартное отклонение портфеля( ), которое рассчитывают по следующей формуле:

,

Коэффициента вариаций портфеля (VarАВ) рассчитывается как отношение стандартного отклонения портфеля к ожидаемой доходности портфеля:

Из нескольких альтернативных портфелей активов, предпочтение отдается тому портфелю, который имеет наименьший коэффициент вариации, т.е. имеет наименьший уровень риска на единицу доходности.

Задача. На основе данных рассчитать показатели риска портфеля № 1, состоящего из 50 % акций А и 50 % акций В, и портфеля № 2, состоящего из 30 % актива А и 70 % актива В. Какой портфель является наиболее предпочтительнее с точки зрения оптимизации риска и доходности?

Таблица – Вероятностные распределения доходности акций А и В.

спрос	вероятность	Доходность акций, %
А	В
Высокий	0,3
Средний	0,4
Низкий	0,3	-70

Решение:

1) На первом этапе рассчитываем ожидаемую доходность портфелей активов № 1 и 2, используя формулу :

0,5*15+0,5*15=15

0,3*15+0,7*15=15

На втором этапе рассчитываем стандартное отклонение портфелей № 1 и 2. Для этого необходимо рассчитать ковариацию, корреляцию:

Cov(AB) =

Cov(AB) =(100-15)(20-15)*0,3+(15-15)(15-15)*0,4+(-70-15)(10-15)*0.3=255 255

Значение коэффициента корреляции говорит о том, что связь между доходностями прямая.

Первый портфель обладает более высоким риском по сравнению со вторым. Это происходит в результате того, что в первом портфеле удельный вес высокорискового актива «А» составляет 50%, в портфеле №2 — 30%

Далее рассчитаем коэффициент вариации:

Вывод: Наиболее предпочтительным является второй портфель, т.к. он имеет коэффициент вариации.

Источник

Ковариация | Covariance

Математически ковариация (англ. Covariance) представляет собой меру линейной зависимости двух случайных величин. В портфельной теории этот показатель используется для определения зависимости между доходностью определенной ценной бумаги и доходностью портфеля ценных бумаг. Чтобы рассчитать ковариацию доходности необходимо воспользоваться следующей формулой:

где k_i – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;

p_i – доходность портфеля в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;

n – количество наблюдений.

Следует отметить, что в знаменатель формулы подставляется (n-1), если ковариация рассчитывается на основании выборки из генеральной совокупности наблюдений. Если в расчетах учитывается вся генеральная совокупность, то в знаменатель подставляется n.

Пример. В таблице представлена динамика доходность акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг.

Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой для расчета ковариации доходности каждой из акций с портфелем необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:

• для акций Компании А 4,986%;
• для акций Компании Б 5,031%;
• для портфеля 3,201%.

Таким образом, ковариация акций Компании А с портфелем составит -0,313, а акций Компании Б 0,242.

Cov (k_A, k_p) = ((5,93-4,986)(2,27-3,201) + (5,85-4,986)(2,39-3,201) + (5,21-4,986)(3,47-3,201) + (5,37-4,986)(3,21-3,201) + (4,99-4,986)(2,95-3,201) + (4,87-4,986)(2,97-3,201) + (4,70-4,986)(3,32-3,201) + (4,75-4,986)(3,65-3,201) + (4,33-4,986)(3,97-3,201) + (3,86-4,986)(3,81-3,201))/(10-1) = -0,313

Cov (k_Б, k_p) = ((4,25-5,031)(2,27-3,201) + (4,47-5,031)(2,39-3,201) + (4,68-5,031)(3,47-3,201) + (4,71-5,031)(3,21-3,201) + (4,77-5,031)(2,95-3,201) + (5,25-5,031)(2,97-3,201) + (5,45-5,031)(3,32-3,201) + (5,33-5,031)(3,65-3,201) + (5,55-5,031)(3,97-3,201) + (5,85-5,031)(3,81-3,201))/(10-1) = 0,242

Аналогичные расчеты можно произвести в Microsoft Excel при помощи функции «КОВАРИАЦИЯ.В» для выборки из генеральной совокупности или функции «КОВАРИАЦИЯ.Г» для всей генеральной совокупности.

Интерпретация ковариации

Значение коэффициента ковариации может быть как отрицательным, так и положительным. Его отрицательное значение говорит о том, что доходность ценной бумаги и доходность портфеля демонстрируют разнонаправленное движение. Другими словами, если доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о том, что доходность ценной бумаги и портфеля изменяются в одном направлении.

Низкое значение (близкое к 0) коэффициента ковариации наблюдается в том случае, когда колебания доходности ценной бумаги и доходности портфеля носят случайный характер.

Источник

Измерители капитального (общего) риска

Измерителями капитального (общего) риска, связанного с вложениями в отдельную ценную бумагу или в портфель ценных бумаг, являются.

1) вариационный размах доходности;

2) среднеквадратичное (стандартное) отклонение;

3) коэффициент вариации.

Чем выше значение этих показателей, тем выше уровень рис­ка. Показатели расположены в порядке возрастания точности. Значения каждого из последующих показателей уточняют значе­ния предыдущего. Для расчета вышеназванных измерителей риска составим таблицу с прогнозными значениями доходности (минимальной, наиболее вероятной и максимальной) по ценным бумагам фирм «А» и «Б», полученными экспертным путем, т.е. исходя из опыта работы на рынке ценных бумаг.

Наступающее событие — доходность ценной бумаги, которая сложится в будущем периоде, принимается за 100% или 1. При этом каждое из прогнозных значений (минимальная, наиболее вероятная и максимальная доходность) признается частью обще­го события, вес которой оценивается приблизительно, исходя из опыта работы на рынке ценных бумаг. Как правило, на наибо­лее вероятное событие, если нет никаких причин резкого ухуд­шения или резкого улучшения ситуации, отводят более 50%, на­пример 60%, а остальные 40% общего события распределяют поровну между минимальной и максимальной доходностью. Ве­са событий необходимо из процентов перевести в десятичные дроби (таблица).

Расчет основных показателей капитального (общего) риска

Прогнозные оценки доходности

Ценная бумага фирмы А

Ценная бумага фирмы В

Веса в %

Веса в деся­тичных дробях

Наиболее вероят­ная доходность

Математическое ожидание (среднее значение) прогноз­ных значений доходности

Вариационный размах (max-min)

Среднеквадратич­ное (стандартное) отклонение

Расчет вариационного размаха доходности. Под вариацией по­нимается изменчивость значений какого-либо признака. Применительно к портфельному управлению под вариацией понимается изменение значений доходности ценных бумаг.

Значения доходности могут быть:

1) ретроспективными, т.е. имевшими место в прошедшем пе­риоде;

2) (перспективными) прогнозными, которые могут иметь место в будущем периоде.

Количество ретроспективных значений доходности зависит от того, какой интервал времени принят за период (день, месяц, год) и какое количество этих периодов анализируется. Количество (перспективных) прогнозных значений доходно­сти, как правило, равно трем. Обычно рассматривают три вари­анта возможного развития событий:

1) пессимистический вариант, предполагающий наихудшее стечение обстоятельств, в результате которого может быть полу­чена наименьшая (минимальная) доходность;

2) оптимистический вариант, предполагающий наилучшее стечение обстоятельств, в результате которого может быть полу­чена наибольшая (максимальная) доходность;

3) наиболее вероятное развитие событий, в результате кото­рого может быть получена наиболее вероятная доходность, рас­сматриваемая как среднее значение между минимальной и максимальной доходностью.

Под вариационным размахом в высшей математике понимает­ся разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда.

Вариационный размах обозначается латинской буквой R и рас­считывается по формуле:

Применительно к портфельному управлению под вариацион­ным размахом понимается разность между наибольшим и наи­меньшим (прогнозными или ретроспективными) значениями до­ходности ценной бумаги или портфеля.

Чем больше вариационный размах доходности, тем больше риск, связанный с вложениями в ценные бумаги.

Вариационный размах доходности ценных бумаг фирмы «В» в два раза больше вариационного размаха доходности ценных бу­маг фирмы «А», а следовательно, риск вложений в ценные бума­ги фирмы «В» в два раза выше риска вложений в ценные бумаги фирмы «А»:

Следовательно, риск, связанный с вложениями в ценные бу­маги фирмы «В», в два раза выше риска вложений в ценные бу­маги фирмы «А». Уточним полученный результат с помощью расчета следую­щего измерителя общего риска — среднеквадратичного (стан­дартного) отклонения.

Расчет среднеквадратичного отклонения. Среднеквадратичное отклонение в экономической литературе также может называться стандартным отклонением, или стандартной девиацией (девиа­ция — отклонение). Для рассмотрения понятия «среднеквадратичное отклоне­ние» необходимо познакомиться с понятиями «математическое ожидание» и «дисперсия». Под математическим ожиданием (средним значением) дис­кретной случайной величины X понимается сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание (среднее значение) обозначается латинской буквой М и рассчитывается по формуле:

где М — математическое ожидание;

X — случайная дискретная величина (например признак — доход­ность);

X_i — значение признака (например минимальная прогнозная до­ходность);

W_i— вес события (например вес минимального прогнозного значе­ния доходности).

Другими словами, среднее значение прогнозной доходности ценных бумаг можно рассчитать двумя способами:

1) простая арифметическая средняя = сумма прогнозных зна­чений доходности / количество прогнозных значений доходности;

2) математическое ожидание = сумма произведений прогноз­ных значений доходности на их веса.

Рассмотрим применение вышеназванных способов на число­вом примере с прогнозными значениями доходности ценных бу­маг фирм «А» и «В», указанными в таблице.

Простая арифметическая средняя прогнозных значений до­ходности ценных бумаг:

1) фирмы «А» = (14% + 16% + 18%) / 3 = 16%;

2) фирмы «В» = (13% + 17% + 21%) / 3 = 17%.

Математическое ожидание (среднее значение) прогнозных значений доходности ценных бумаг:

1) фирмы «А» = 14% • 0,2 + 16% • 0,6 + 18% • 0,2 = 2,8% + + 9,6% + 3,6% =16%;

2) фирмы «В» = 13% • 0,2 + 17% • 0,6 + 21% • 0,2 = 2,6% + + 10,2 % + 4,2% = 17%.

Под дисперсией случайной величины X понимается математи­ческое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Применительно к портфельному управлению под дисперсией понимается сумма квадратов разностей значений признака (до­ходности) и их среднего значения, умноженных на веса этих зна­чений (таблица).

Сопоставление определений дисперсии в высшей математике и в портфельном управлении

№ п/п

Определение в высшей математике

Определение в портфельном управлении

Случайная величина (X)

Прогнозная доходность ценных бу­маг (R)

Математическое ожидание случайной величины М(Х)

Среднее значение прогнозной доходности, рассчитанное по форму­ле математического ожидания (R)

Квадрат отклонения случай­ной величины от математи­ческого ожидания

Квадрат разности отдельного прогнозного значения признака и его среднего значения

Математическое ожидание квадрата отклонения случай­ной величины от математи­ческого ожидания

Произведение квадрата разности от­дельного прогнозного значения при­знака и его среднего значения на вес этого события

Под среднеквадратичным отклонением случайной величины X понимается арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии. Среднеквадратичное отклонение также называют стандарт­ным отклонением, стандартом, стандартной девиацией. Среднеквадратичное отклонение обозначается греческой бу­квой σ (сигма малая) и рассчитывается по формуле:

где σ — среднеквадратичное отклонение доходности ценной бумаги за исследуемый период;

— R — среднерыночная доходность;

R — доходность ценной бумаги i-того предприятия в j-том периоде;

W — вес вероятности события (доходности).

Среднеквадратичное отклонение представляет собой откло­нение от среднего значения случайной величины. Среднеквадратичное отклонение в финансовом управлении используется в качестве:

1) измерителя риска, связанного с вложениями в ценные бумаги;

2) средства прогноза доходности ценных бумаг.

Приведем примеры расчета среднеквадратичного (стандартного) отклонения доходности ценных бумаг фирм «А» и «В». Напомним, что среднее значение прогнозной доходности ценных бумаг рассчитано по формуле математического ожида­ния. Данные для расчета среднеквадратичного отклонения доход­ности ценных бумаг фирмы «А»:

1) прогнозные значения доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность — 14%;

— наиболее вероятная доходность — 16%;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 18%;

2) математическое ожидание (среднее значение) прогнозной доходности — 16%;

3) веса прогнозных значений доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность — 0,2;

— наиболее вероятная доходность — 0,6;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 0,2.

Данные для расчета среднеквадратичного отклонения доход­ности ценных бумаг фирмы «В»:

1) прогнозные значения доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность — 13%;

— наиболее вероятная доходность — 17%;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 21%;

2) математическое ожидание (среднее значение) прогнозной доходности — 17%;

3) веса прогнозных значений доходности:

— пессимистическая (минимальная) доходность —- 0,2;

— наиболее вероятная доходность — 0,6;

— оптимистическая (максимальная) доходность — 0,2.

Чем больше среднеквадратичное отклонение доходности, тем боль­ше риск, связанный с вложениями в эти ценные бумаги.

Среднеквадратичное отклонение прогнозного значения до­ходности ценных бумаг фирмы «В» больше чем в два раза средне­квадратичного отклонения прогнозного значения доходности ценных бумаг фирмы «А»:

2,53 % : 1,26% = 2,009.

Следовательно, риск, связанный с вложениями в ценные бу­маги фирмы «В», в два раза выше риска вложений в ценные бу­маги фирмы «А». Уточним полученный результат с помощью расчета следую­щего измерителя общего риска — коэффициента вариации.

Расчет коэффициента вариации. Под коэффициентом вариа­ции понимается процентное отношение среднеквадратичного от­клонения к средней арифметической.

где V — коэффициент вариации;

σ — среднеквадратичное отклонение;

х — средняя арифметическая.

Применительно к портфельному управлению под коэффици­ентом вариации понимается процентное отношение среднеквад­ратичного отклонения прогнозного значения доходности ценных бумаг к ее среднему арифметическому значению.

Коэффициент вариации доходности ценных бумаг:

1) предприятия «А» = (1,26% : 16%) = 0,079;

2) предприятия «В» = (2,53% : 17%) = 0,149.

Коэффициент вариации доходности по ценным бумагам фирмы «В» больше коэффициента вариации доходности по цен­ным бумагам фирмы «А» в 1,9 раза, следовательно, риск, связан­ный с вложениями в ценные бумаги фирмы «В», также в 1,9 раза выше, чем риск, связанный с вложениями в ценные бумаги фир­мы «А».

Источник