Как посчитать ковариацию доходности

$$M\left(Y\right)=\sum^n_=-6\cdot 0,25+0\cdot 0,4+3\cdot 0,35=-0,45.$$

Поскольку $P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0,1\ne 0,3\cdot 0,25$, то случайные величины $X,\ Y$ являются зависимыми.

Определим ковариацию $cov\ \left(X,\ Y\right)$ случайных величин $X,\ Y$ по формуле $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)$. Математическое ожидание произведения случайных величин $X,\ Y$ равно:

$$M\left(XY\right)=\sum_x_iy_j>=0,1\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right)+0,2\cdot \left(-2\right)\cdot 3+0,05\cdot 1\cdot 3+0,1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0,1\cdot 7\cdot 3=-1,95.$$

Тогда $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1,95-1,05\cdot \left(-0,45\right)=-1,4775.$ Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае $cov(X,Y)\ne 0$.

Корреляция

Коэффициентом корреляции случайных величин $X$ и $Y$ называется число:

Перечислим основные свойства коэффициента корреляции.

1. $\rho \left(X,\ X\right)=1$.

2. $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3. $\rho \left(X,\ Y\right)=0$ для независимых случайных величин $X$ и $Y$.

5. $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6. $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

Ранее было сказано, что коэффициент корреляции $\rho \left(X,\ Y\right)$ отражает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами $X$ и $Y$.

При $\rho \left(X,\ Y\right)>0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к увеличению. Это называется положительной корреляционной зависимостью. Например, рост и вес человека связаны положительной корреляционной зависимостью.

При $\rho \left(X,\ Y\right) Да Нет

При копировании материала с сайта, обратная ссылка обязательна!

Источник

Ковариация | Covariance

Математически ковариация (англ. Covariance) представляет собой меру линейной зависимости двух случайных величин. В портфельной теории этот показатель используется для определения зависимости между доходностью определенной ценной бумаги и доходностью портфеля ценных бумаг. Чтобы рассчитать ковариацию доходности необходимо воспользоваться следующей формулой:

где k_i – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;

p_i – доходность портфеля в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;

n – количество наблюдений.

Следует отметить, что в знаменатель формулы подставляется (n-1), если ковариация рассчитывается на основании выборки из генеральной совокупности наблюдений. Если в расчетах учитывается вся генеральная совокупность, то в знаменатель подставляется n.

Пример. В таблице представлена динамика доходность акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг.

Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой для расчета ковариации доходности каждой из акций с портфелем необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:

• для акций Компании А 4,986%;
• для акций Компании Б 5,031%;
• для портфеля 3,201%.

Таким образом, ковариация акций Компании А с портфелем составит -0,313, а акций Компании Б 0,242.

Cov (k_A, k_p) = ((5,93-4,986)(2,27-3,201) + (5,85-4,986)(2,39-3,201) + (5,21-4,986)(3,47-3,201) + (5,37-4,986)(3,21-3,201) + (4,99-4,986)(2,95-3,201) + (4,87-4,986)(2,97-3,201) + (4,70-4,986)(3,32-3,201) + (4,75-4,986)(3,65-3,201) + (4,33-4,986)(3,97-3,201) + (3,86-4,986)(3,81-3,201))/(10-1) = -0,313

Cov (k_Б, k_p) = ((4,25-5,031)(2,27-3,201) + (4,47-5,031)(2,39-3,201) + (4,68-5,031)(3,47-3,201) + (4,71-5,031)(3,21-3,201) + (4,77-5,031)(2,95-3,201) + (5,25-5,031)(2,97-3,201) + (5,45-5,031)(3,32-3,201) + (5,33-5,031)(3,65-3,201) + (5,55-5,031)(3,97-3,201) + (5,85-5,031)(3,81-3,201))/(10-1) = 0,242

Аналогичные расчеты можно произвести в Microsoft Excel при помощи функции «КОВАРИАЦИЯ.В» для выборки из генеральной совокупности или функции «КОВАРИАЦИЯ.Г» для всей генеральной совокупности.

Интерпретация ковариации

Значение коэффициента ковариации может быть как отрицательным, так и положительным. Его отрицательное значение говорит о том, что доходность ценной бумаги и доходность портфеля демонстрируют разнонаправленное движение. Другими словами, если доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о том, что доходность ценной бумаги и портфеля изменяются в одном направлении.

Низкое значение (близкое к 0) коэффициента ковариации наблюдается в том случае, когда колебания доходности ценной бумаги и доходности портфеля носят случайный характер.

Источник

Расчет ковариации для акций

Что такое ковариация?

Сферы математики и статистики предлагают множество инструментов, помогающих нам оценивать акции. Одним из них является ковариация, которая представляет собой статистическую меру направленного отношения между доходностью двух активов. Можно применить концепцию ковариации к чему угодно, но здесь переменными являются доходность акций.

Формулы, вычисляющие ковариацию, могут предсказать, как две акции могут работать относительно друг друга в будущем. Применительно к исторической доходности ковариация может помочь определить, имеет ли доходность акций двигаться вместе или против друг друга.

Используя инструмент ковариации, инвесторы могут даже выбрать акции, которые дополняют друг друга с точки зрения движения цен. Это может помочь снизить общий риск и увеличить общую потенциальную доходность портфеля. При выборе акций важно понимать роль ковариации.

Ключевые выводы

• Ковариация – это мера отношения между доходностью двух активов.
• Ковариацию можно использовать по-разному, но переменными обычно являются доходность акций.
• Эти формулы могут предсказывать производительность относительно друг друга.

Ковариация в управлении портфелем

Ковариация, применяемая к портфелю, может помочь определить, какие активы включить в портфель. Он измеряет, движутся ли акции в одном направлении (положительная ковариация) или в противоположных направлениях (отрицательная ковариация). При построении портфеля менеджер портфеля будет выбирать акции, которые хорошо работают вместе, что обычно означает, что доходность этих акций не будет двигаться в одном направлении.

Расчет ковариации

Расчет ковариации акций начинается с нахождения списка предыдущих доходностей или «исторических доходностей», как они называются на большинстве страниц с котировками. Как правило, вы используете цену закрытия для каждого дня, чтобы найти доход. Чтобы начать расчеты, найдите цену закрытия для обеих акций и составьте список. Например:

Далее нам нужно рассчитать среднюю доходность для каждой акции:

• Для ABC это будет (1,1 + 1,7 + 2,1 + 1,4 + 0,2) / 5 = 1,30.
• Для XYZ это будет (3 + 4,2 + 4,9 + 4,1 + 2,5) / 5 = 3,74.
• Затем мы берем разницу между доходностью ABC и средней доходностью ABC и умножаем ее на разницу между доходностью XYZ и средней доходностью XYZ.
• Наконец, мы делим результат на размер выборки и вычитаем единицу. Если бы это была вся популяция, вы могли бы разделить ее на размер популяции.

Это представлено следующим уравнением:

Используя наш пример ABC и XYZ выше, ковариация рассчитывается как:

• = [(1,1 – 1,30) x (3 – 3,74)] + [(1,7 – 1,30) x (4,2 – 3,74)] + [(2,1 – 1,30) x (4,9 – 3,74)] +…
• = [0,148] + [0,184] + [0,928] + [0,036] + [1,364]
• = 2,66 / (5 – 1)
• = 0,665

В этой ситуации мы используем выборку, поэтому делим на размер выборки (пять) минус один.

Ковариация между двумя доходностей является 0,665. Поскольку это число положительное, акции движутся в том же направлении. Другими словами, когда у ABC была высокая доходность, у XYZ также была высокая доходность.

Ковариация в Microsoft Excel

В Excel вы используете одну из следующих функций, чтобы найти ковариацию:

• = COVARIANCE. S () для образца
• = COVARIANCE. P () для популяции

Вам нужно будет настроить два списка возвратов в вертикальные столбцы, как в таблице 1. Затем, когда будет предложено, выберите каждый столбец. В Excel каждый список называется «массивом», и два массива должны быть внутри скобок, разделенных запятой.

Имея в виду

В этом примере существует положительная ковариация, поэтому две акции имеют тенденцию двигаться вместе. Когда одна акция имеет положительную доходность, другая также имеет тенденцию иметь положительную доходность. Если бы результат был отрицательным, то две акции имели бы тенденцию иметь противоположную доходность – когда одна имела положительную доходность, другая имела бы отрицательную доходность.

Использование ковариации

Обнаружение того, что две акции имеют высокую или низкую ковариацию, само по себе не может быть полезным показателем. Ковариация может сказать, как акции движутся вместе, но чтобы определить силу взаимосвязи, нам нужно посмотреть на их корреляцию. Следовательно, корреляцию следует использовать вместе с ковариацией, и она представлена ​​следующим уравнением:

СогтелтIопзнак равноρзнак равноcоv(Икс, Y)σИксσYжчере:cоv(Икс, Y)знак равноСоvврянсебетжеепXпдУ σИксзнак равноСтпdгддеvIтяопоеХ σYзнак равноСтпdгддеvIтяопоеY \ begin & \ text = \ rho = \ frac <\ sigma_X \ sigma_Y>\\ & \ textbf <где:>\\ & cov \ left ( X, Y \ right) = \ text <Ковариация между X и Y>\\ & \ sigma_X = \ text <Стандартное отклонение X>\\ & \ sigma_Y = \ text <Стандартное отклонение Y>\\ \ end <выровнено >Взаимодействие с другими людьмиКорреляциязнак равноρзнак равноσИксВзаимодействие с другими людьмиσYВзаимодействие с другими людьми

Приведенное выше уравнение показывает, что корреляция между двумя переменными – это ковариация между обеими переменными, деленная на произведение стандартного отклонения переменных. Хотя оба показателя показывают, связаны ли две переменные положительно или наоборот, корреляция дает дополнительную информацию, определяя степень, в которой обе переменные перемещаются вместе. Корреляция всегда будет иметь значение измерения от -1 до 1, и она добавляет значение силы того, как акции движутся вместе.

Если корреляция равна 1, они идеально движутся вместе, а если корреляция равна -1, акции идеально движутся в противоположных направлениях. Если корреляция равна 0, то две акции движутся в случайных направлениях друг от друга. Короче говоря, ковариация говорит вам, что две переменные изменяются одинаково, в то время как корреляция показывает, как изменение одной переменной влияет на изменение другой.

Вы также можете использовать ковариацию, чтобы найти стандартное отклонение портфеля с несколькими акциями. Стандартное отклонение – это принятый расчет риска, который чрезвычайно важен при выборе акций. Большинство инвесторов хотели бы выбирать акции, которые движутся в противоположных направлениях, потому что риск будет ниже, хотя они обеспечат такую ​​же сумму потенциальной прибыли.

Ковариация – это обычный статистический расчет, который может показать, как две акции имеют тенденцию двигаться вместе. Поскольку мы можем использовать только исторические данные, никогда не будет полной уверенности в отношении будущего. Кроме того, ковариацию не следует использовать отдельно. Вместо этого его следует использовать вместе с другими расчетами, такими как корреляция или стандартное отклонение.

Источник