Как найти дисперсию доходности портфеля

Дисперсия (вариация) | Variance

В статистике дисперсия или вариация (англ. Variance) является показателем, который используется для оценки разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. В портфельной теории дисперсия доходности является мерой риска, связанного с инвестированием в определенный актив или портфель активов.

Формула

Если известен полный набор вероятностей исхода события, что крайне редко встречается на практике, для расчета величины дисперсии используется следующая формула:

где k_i – доходность ценной бумаги или актива при i-ом варианте исхода событий;

— ожидаемая доходность ценной бумаги или актива;

p_i – вероятность i-го варианта исхода событий.

В реальной практике инвестирования аналитику обычно доступны исторические данные о доходности ценной бумаги или актива. Если он располагает всем массивом информации, то есть оценивает дисперсию на основании генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу:

где k_i – i-ое значение доходности ценной бумаги;

— средняя доходность ценной бумаги;

n – количество наблюдений.

Однако чаще оценку риска проводят на основании некоторой выборки из генеральной совокупности данных, поэтому для получения несмещенной оценки дисперсии количество степеней свободы уменьшают на 1. В этом случае формула для ее оценки будет выглядеть следующим образом:

Интерпретации дисперсии

Чем выше значение дисперсии, то есть чем выше разброс доходности актива или портфеля активов относительно его ожидаемой доходности, тем выше будет уровень риска. Напротив, низкие значения этого показателя свидетельствуют о низком уровне риска, связанного с осуществлением инвестиций.

Также следует отметить, что квадратный корень от дисперсии случайной величины является ее среднеквадратическим отклонением.

Пример расчета

Пример 1. Предположим, что финансовому аналитику необходимо произвести оценку риска, связанного с приобретением акций Компании А и Компании Б. Предположим, что аналитику известен полный набор вероятностей событий, который представлен в таблице.

Ожидаемая доходность для акций Компании составит 18,75%, а для акций Компании Б 19,45%.

_А = 7*0,05+15*0,2+18*0,5+24*0,2+32*0,05 = 18,75%

_Б = -24*0,05+8*0,2+20*0,5+31*0,2+57*0,05 = 19,45%

В свою очередь, дисперсия доходности акций Компании А будет равна 24,288%, а акций Компании Б 217,948%.

σ 2 _А = (7-18,75)2*0,05 + (15-18,75)2*0,2 + (18-18,75)2*0,5 + (24-18,75)2*0,2 + (32-18,75)2*0,05 = 24,288%

σ 2 _Б = (-24-19,45)2*0,05 + (8-19,45)2*0,2 + (20-19,45)2*0,5 + (31-19,45)2*0,2 + (57-19,45)2*0,05 = 217,948%

Хотя ожидаемая доходность у акций обеих компаний практически одинаковая, риски инвестирования в акции Компании Б будут существенно выше.

Пример 2. Историческая доходность акций за последние пять лет представлена в таблице.

Средняя доходность акции составит 5,784%.

= (5,78+12,33-7,21+8,25+9,77)/5 = 5,784%

Поскольку анализируется не вся генеральная совокупность данных, а только выборку из нее, оценка дисперсии составит 58,42%.

σ 2 = ((5,78-5,784)2 + (12,33-5,784)2 + (-7,21-5,784)2 + (8,25-5,784)2 + (9,77-5,784)2)/(5-1) = 58,42%

Источник

Talkin go money

Пример. Доверительный интервал для дисперсии (Июнь 2021).

Table of Contents:

Дисперсия портфеля измеряет дисперсию доходности портфеля. Он рассчитывается с использованием стандартного отклонения каждой ценной бумаги в портфеле и корреляции между ценными бумагами в портфеле.

Расчет вариации портфеля ценных бумаг

Чтобы рассчитать дисперсию портфеля ценных бумаг в портфеле, умножьте квадрат веса каждой ценной бумаги на соответствующую дисперсию ценной бумаги и добавьте два умноженных на средневзвешенное значение ценных бумаг, умноженное на ковариация между ценными бумагами.

Чтобы рассчитать дисперсию портфеля с двумя активами, умножьте квадрат взвешивания первого актива на дисперсию актива и добавьте его к квадрату веса второго актива, умноженного на по разнице второго актива. Затем добавьте результирующее значение к двум, умноженное на весы первого и второго активов, умноженное на ковариацию двух активов.

Например, предположим, что у вас есть портфель, содержащий два актива, акции в компании A и акции в компании B. Шестьдесят процентов вашего портфеля инвестировано в компанию A, а остальные 40% инвестируются в компанию B. Годовая разница акций компании A составляет 20%, а разница в запасах компании B составляет 30%.

Корреляция между двумя активами равна 2. 04. Чтобы вычислить ковариацию активов, кратный квадратный корень дисперсии акций Компании А на квадратный корень из-за разницы в запасах компании B , Полученная ковариантность равна 0. 50.

Результирующая дисперсия портфеля равна 0. 36, или ((0. 6) ^ 2 * (0. 2) + (0. 4) ^ 2 * (0. 3) + (2 * 0. 6 * 0. 4 * 0. 5)).

Источник

Разница в портфеле

Что такое Разница в портфеле?

Дисперсия портфеля – это измерение риска, то есть того, как совокупная фактическая доходность набора ценных бумаг, составляющих портфель, колеблется во времени. Эта статистика отклонения портфеля рассчитывается с использованием стандартных отклонений каждой ценной бумаги в портфеле, а также корреляций каждой пары ценных бумаг в портфеле.

Ключевые моменты

• Дисперсия портфеля является мерой общего риска портфеля и представляет собой квадрат стандартного отклонения портфеля.
• Дисперсия портфеля учитывает веса и дисперсии каждого актива в портфеле, а также их ковариации.
• Более низкая корреляция между ценными бумагами в портфеле приводит к меньшей дисперсии портфеля.
• Дисперсия портфеля (и стандартное отклонение) определяют ось риска эффективной границы в современной теории портфеля (MPT).

Понимание дисперсии портфеля

Дисперсия портфеля смотрит на ковариацию или коэффициенты корреляции для ценных бумаг в портфеле. Как правило, более низкая корреляция между ценными бумагами в портфеле приводит к более низкой дисперсии портфеля.

Дисперсия портфеля рассчитывается путем умножения квадрата веса каждой ценной бумаги на ее соответствующую дисперсию и добавления удвоенного средневзвешенного веса, умноженного на ковариацию всех отдельных пар ценных бумаг.

Современная теория портфелей утверждает, что дисперсию портфеля можно уменьшить, выбрав классы активов с низкой или отрицательной корреляцией , такие как акции и облигации, где дисперсия (или стандартное отклонение) портфеля представляет собой ось x эффективной границы .

Формула и расчет дисперсии портфеля

Самым важным качеством дисперсии портфеля является то, что его стоимость представляет собой взвешенную комбинацию индивидуальных дисперсий каждого из активов, скорректированных на их ковариации. Это означает, что общая дисперсия портфеля ниже, чем простое средневзвешенное значение индивидуальных дисперсий акций в портфеле.

Формула дисперсии портфеля в портфеле с двумя активами выглядит следующим образом:

• Дисперсия портфеля = w 1 2 σ 1 2 + w 2 2 σ 2 2 + 2w 1 w 2 Cov 1,2

• w 1 = вес портфеля первого актива
• w 2 = вес портфеля второго актива
• σ 1 = стандартное отклонение первого актива
• σ 2 = стандартное отклонение второго актива
• Cov 1,2 = ковариация двух активов, которая, таким образом, может быть выражена как p (1,2) σ 1 σ 2 , где p (1,2) – коэффициент корреляции между двумя активами.

Краткая справка

Дисперсия портфеля эквивалентна квадрату стандартного отклонения портфеля.

По мере роста числа активов в портфеле члены формулы для дисперсии растут экспоненциально. Например, портфель из трех активов имеет шесть членов при расчете дисперсии, а портфель из пяти активов – 15.

Дисперсия портфеля и современная теория портфеля

Современная теория портфеля (MPT) представляет собой основу для построения инвестиционного портфеля. В основе MPT лежит идея о том, что рациональные инвесторы хотят максимизировать доходность, одновременно минимизируя риск, иногда измеряемый с помощью волатильности . Инвесторы стремятся к так называемой эффективной границе или к самому низкому уровню риска и волатильности, при котором может быть достигнута целевая доходность.

Риск портфелей MPT снижается за счет инвестирования в некоррелированные активы. Активы, которые сами по себе могут быть рискованными, могут фактически снизить общий риск портфеля за счет инвестиций, которые будут расти, когда другие инвестиции падают. Эта уменьшенная корреляция может уменьшить дисперсию теоретического портфеля.

В этом смысле доходность отдельных инвестиций менее важна, чем их общий вклад в портфель с точки зрения риска, доходности и диверсификации .

Уровень риска в портфеле часто измеряется с помощью стандартного отклонения, которое рассчитывается как квадратный корень из дисперсии. Если точки данных далеки от среднего, дисперсия высока, и общий уровень риска в портфеле также высок. Стандартное отклонение – это ключевая мера риска, используемая управляющими портфелем, финансовыми консультантами и институциональными инвесторами. Управляющие активами обычно включают стандартное отклонение в свои отчеты о производительности.

Пример отклонения портфеля

Например, предположим, что есть портфель, состоящий из двух акций. Акция A стоит 50 000 долларов и имеет стандартное отклонение 20%. Акция B стоит 100 000 долларов и имеет стандартное отклонение 10%. Корреляция между двумя акциями составляет 0,85. Учитывая это, вес портфеля Акции A составляет 33,3% и 66,7% для Акции B. Подставляя эту информацию в формулу, рассчитывается дисперсия:

• Дисперсия = (33,3% ^ 2 x 20% ^ 2) + (66,7% ^ 2 x 10% ^ 2) + (2 x 33,3% x 20% x 66,7% x 10% x 0,85) = 1,64%

Дисперсия – это не такая простая статистика для интерпретации сама по себе, поэтому большинство аналитиков вычисляют стандартное отклонение, которое является просто квадратным корнем из дисперсии. В этом примере квадратный корень из 1,64% составляет 12,81%.

Источник

Определение отклонения портфеля

Дисперсия портфеля – это измерение риска того, как фактические доходы из набора ценные бумаги составление портфеля колеблется со временем. Это портфолио дисперсия статистика рассчитывается с использованием Стандартное отклонение каждой ценной бумаги в портфеле, а также корреляции каждой пары безопасности в портфеле.

Дисперсия портфеля эквивалентна квадрату стандартного отклонения портфеля.

Дисперсия портфеля смотрит на ковариационная или коэффициенты корреляции для ценных бумаг в портфеле. Как правило, более низкая корреляция между ценными бумагами в портфеле приводит к меньшей дисперсии портфеля.

Дисперсия портфеля рассчитывается путем умножения квадрата веса каждой ценной бумаги на соответствующую дисперсию и сложения в два раза средневзвешенное умноженный вес по ковариации всех индивидуальных пар безопасности.

• Дисперсия портфеля является мерой общего риска портфеля и является квадратом стандартного отклонения портфеля.
• Дисперсия портфеля учитывает вес и дисперсию каждого актива в портфеле, а также их ковариации.
• Дисперсия портфеля (и стандартное отклонение) определяют ось риска эффективной границы в современной теории портфеля.

Наиболее важным качеством отклонения портфеля является то, что его стоимость представляет собой взвешенную комбинацию отдельных отклонений каждого из активов, скорректированных по их ковариациям. Это означает, что общая дисперсия портфеля ниже простого средневзвешенного значения отдельных дисперсий акций в портфеле.

Уравнение для дисперсии портфеля портфеля с двумя активами, простейшего расчета дисперсии портфеля, учитывает пять переменных:

• w1 = вес портфеля первого актива
• w2 = вес портфеля второго актива
• σ1 = стандартное отклонение первого актива
• σ2 = стандартное отклонение второго актива
• cov (1,2) = ковариация двух активов, которая может быть выражена как: p (1,2) σ1σ2, где p (1,2) – коэффициент корреляции между двумя активами

Формула для дисперсии в портфеле из двух активов:

По мере роста количества активов в портфеле условия в формуле для дисперсии растут в геометрической прогрессии. Например, портфель из трех активов имеет шесть условий в расчете дисперсии, а портфель из пяти активов – 15.

Например, предположим, что есть портфель, состоящий из двух акций. Акция стоит 50 000 долларов США и имеет стандартное отклонение 20%. Акция B стоит 100 000 долларов США и имеет стандартное отклонение 10%. Корреляция между двумя акциями составляет 0,85. Учитывая это, вес портфеля Акции 33,3% и 66,7% для Акции В. С учетом этой информации в формулу, дисперсия рассчитывается следующим образом:

Дисперсия = (33,3% ^ 2 х 20% ^ 2) + (66,7% ^ 2 х 10% ^ 2) + (2 х 33,3% х 20% х 66,7% х 10% х 0,85) = 1,64%

Дисперсия не очень легкая статистика для самостоятельной интерпретации, поэтому большинство аналитиков вычисляют стандартное отклонение, которое является просто квадратным корнем дисперсии. В этом примере квадратный корень из 1,64% составляет 12,82%.

Современная теория портфеля – это основа для построения инвестиционного портфеля. В качестве основной предпосылки MPT ��спользует идею о том, что рациональные инвесторы хотят максимизировать доходность, а также минимизировать риск, иногда измеряемый с помощью волатильности. Инвесторы ищут то, что называется эффективной границей, или самым низким уровнем или риском и волатильностью, при которой может быть достигнут целевой доход.

Риск в портфелях МРТ снижается за счет инвестирования в некоррелированные активы. Активы, которые могут быть рискованными сами по себе, могут фактически снизить общий риск портфеля, вводя инвестиции, которые будут расти, когда другие инвестиции падают. Эта уменьшенная корреляция может уменьшить дисперсию теоретического портфеля. В этом смысле доходность отдельной инвестиции менее важна, чем ее общий вклад в портфель с точки зрения риска, доходности и диверсификации.

Уровень риска в портфеле часто измеряется с использованием стандартного отклонения, которое рассчитывается как квадратный корень из дисперсии. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, дисперсия высока, и общий уровень риска в портфеле также высок. Стандартное отклонение является ключевым показателем риска используется портфельными менеджерами, финансовыми консультантами и институциональными инвесторами. Управляющие активами обычно включают стандартное отклонение в свои отчеты об эффективности.

Источник