Фундаментальная модель доходности марковица

Суть портфельной теории Марковица

Здравствуйте, уважаемые читатели https://tempofox.com/. В сегодняшней статье рассмотрим суть портфельной теории Марковица, ее сильные и слабые стороны. Я знаю многих инвесторов, которые используют теорию Марковица для формирования инвестиционного портфеля, но вместе с тем расскажу об этой теории комплексно, чтобы вы не думали, что теория Марковица – это решение всех проблем.

Гарри Макс Марковиц – ведущий американский экономист, является автором теории портфельных инвестиций, лауреат Нобелевской премии. Марковиц является также одним из родоначальников теории финансов, одной из наиболее прогрессивно развивающихся экономических наук.

Основы теории Марковица

Портфельная модель Марковица использует математическое ожидание, а стандартное отклонение является мерой риска. При таком подходе анализа инвестиций, мы можем выбрать оптимальные активы для покупки с учетом установленной планки риск/прибыль. Теории Марковица уже более 60 лет, но она до сих пор активно используется для портфельного моделирования.

Как работает портфельная теория Марковица

Предположим, мы решили купить акции компании «Дельта». Стоимость одной акции компании 100 рублей. Покупая акции, мы предполагаем, что данный актив будет находиться в портфеле один год. Если так, тогда прибыль можно представить как сумму двух составляющих: физическую доходность акции (рост цены акций) и непосредственно прибыли по акции. Предположим, что средний доход по акции за последние два года составил +10%, а в денежном эквиваленте прибыль на одну акцию составляет 4 рублям. Тогда имеем следующее: дивидендная доходность составит 4% годовых, а ожидаемая доходность акции компании «Дельта» будет равна 14% годовых. С учетом сказанного, вероятность получения прибыли распределится следующим образом:

Экономическая конъюктура	Ожидаемая прибыль, %	Вероятность
Подъем	42%	0,2
Нейтральная	14%	0,6
Спад	-6%	0,2

Из сказанного можно сделать вывод, что существует 20% вероятности, что акции компании «Дельта» дадут прибыль в размере +42% при условии того, что будет наблюдаться рост экономической активности. В противовес этому, при условии спада экономической активности, предполагается получение убытков в размере до -6%. При нейтральной экономической конъюктуре ожидаемая доходность составит 14%, а вероятность получения такой прибыли составит 60%. Для того, чтобы посчитать суммарную ожидаемую доходность с учетом различного развития событий, нужно использовать следующую формулу:

Но здесь стоит учитывать, что чем больше будет отклонение прибыли по акции, тем больше будет показатель индекса изменчивости ее стоимости. Если, например, взять казначейские облигации с фиксированным купоном, то здесь стандартное отклонение будет равным нулю.

После этого, нужно сформировать портфель таким образом, чтобы собрать в нем наименее коррелируемые активы с учетом данных по ним риск/прибыль. За счет этого мы можем существенно снизить стандартное отклонение портфеля и оптимизировать показатель риск/прибыль.

В качестве примера можно привести акции нефтегазовых компаний. Инвесторы формируют свой портфель из акций авиакомпаний и нефтедобывающих компаний. Что общего у этих двух компаний? Это цена на нефть. Когда стоимость нефти растет, цена на акции авиакомпаний начинает снижаться, а цена на акции нефтедобывающих компаний начинает расти. Таким образом, эти две компании обратно коррелируемы.

Из этого можно сделать следующий вывод: портфельная теория Марквица состоит из двух элементов: оптимального соотношения показателя риск/прибыль и портфель, состоящий из наименее коррелируемых активов.

Слабые стороны теории Марковица

На мой взгляд, главный недостаток теории Марковица состоит в том, инвестору уже известно математическое ожидание прибыли и стандартного отклонения по нужному активу и фактически одобряет тот факт, что имеющиеся в его распоряжении данные дают возможность оценить значение этих величин в будущем. Если еще проще, то на основе анализа исторических данных мы делаем прогноз на будущее, что само по себе не есть хорошо, потому что часто в экономике большую роль играет политика.

Не будем далеко ходить, вспомните ЮКОС. До 2003 года это была мощнейшая компания с большой капитализацией и серьезными перспективами. Если с экономической точки зрения, то у нас было высокое математическое ожидание и низкая волатильность. А после 2003 года ситуация резко изменилась в связи с известными событиями.

Таким образом, когда мы начинаем анализировать общий объем исторических данных, то данные будут показывать «среднюю температуру по больнице» и применительно к целям построения оптимального инвестиционного портфеля эти данные будут бесполезны.

Не хочу сказать, что теория Марковица не работает. Работает, но ко всему нужно подходить взвешенно. Поэтому отметим сильные стороны теории Марковица. О слабых уже было сказано выше.

Преимущества теории Марковица:

Дополнительное видео по теории Марковица

Источник

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу – 2

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу на примере российских акций.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi – доля инструмента в портфеле;

ri – доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции – меры взаимосвязи).

σi – стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij – коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов – акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход – составление портфеля из нескольких российских акций. Для этого возьмем бумаги 5 крупных эмитентов с наибольшей форвардной дивидендной доходностью (прогноз экспертов БКС Брокер): Норникель, Северсталь, НЛМК, МТС (присутствуют санкционные риски), ЛСР.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.

Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.05.2017 по 26.06.2018.

Для учета дивидендного фактора указываем выплаты, которые можно взять из дивидендного календаря БКС Экспресс. Чтобы включить годовые дивиденды ЛСР, берем данные за 13 месяцев.

Для увеличения кликните по таблице

Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге с учетом дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность Норникеля за май 2018 = LN(B14/B13)

В те месяцы, когда были выплачены дивиденды, добавляем их в числитель. К примеру, доходность Норникеля за октябрь 2017 = LN((B7+C7)/B6)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность Норникеля = СРЗНАЧ(L3:L15)

Получаем близкую к нулю доходность ЛСР, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.

Доходность МТС ниже по сравнению с оставшимися в выборке бумагами, а риск выше. Однако оставим МТС для «чистоты эксперимента».

Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск Норникеля =СТАНДОТКЛОН(L3:L15)

Этап 4. Расчет ковариаций между бумагами. Воспользуемся специальной надстройкой в Excel. Для этого выберем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

В результате получаем ковариационную матрицу.

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля.

Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1. Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой J26*L16+K26*M16+L26*N16

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(J26:M26;J22:M25); H22:H25))

Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,4%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры, которые необходимо изменять (доли акций), и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 43% долей Северстали и 57% долей НЛМК.

Визуально портфель выглядит так:

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp Основные виды деятельности: Работа на финансовых рынках Консультирование и сопровождение в работе на финансовых рынках Юридические услуги, связанные с регистрацией, перерегистрацией, ликвидацией российских юридических лиц Консультирование в сфере кредитования и защиты прав заёмщика Информационные услуги связанные с ведением бизнеса

Источник

Портфельная теория Марковица — математический подход в инвестировании для оценки прибыли и рисков

Портфельная теория Марковица — это результат постоянного усовершенствования. Изначально опубликовав в «Финансовом журнале» материал «Выбор портфеля», ее автор постоянно улучшал и дорабатывал. Именно это и стало темой его докторской диссертации по математике. Спустя 10 лет на основе его разработок еще один американец Шарп предлагает улучшенную, более простую версию.

В 1959 году мир увидела практически полностью сформированная портфельная теория Гарри Марковица в виде монографии. Это была первая и удачная попытка перевести на математический язык соотношение прибыли и риска в работе с акциями. О том, почему она не теряет своей популярности и как с ней работать — далее.

Оглавление:

Портфельная теория Марковица — что это?

Книга на русском языке «Портфельная теория Марковица» вышла в 2013 году и направлена на грамотный подход в инвестировании. Основной подход в том, чтобы среди всего разнообразия инструментов найти те, которые отвечают высокой доходности при незначительном риске. Сама теория известна и ею активно пользуются практически 60 лет, хотя и с небольшими доработками.

Интересный момент, что ключевые постулаты теории были сформулированы в 50-х годах, и за это время не только не потеряли популярности, но стали более актуальными. Говоря глобально: теория портфельного вложения и предварительного анализа рынка Марковица стимулирует владеть активами, а не играть на биржевых рынках. Иногда портфельная теория отождествляется не только с Марковицем, но и Шарпом — американскими учеными-экономистами. У. Шарп предложил свою рыночную, менее трудоемкую индексную теорию оценки активов позже, чем Марковиц в 60-х годах, но Нобелевскую премию получил также в 1990 году. Помимо того, что его теория менее оборонительная для инвестора, она рассматривает доходность каждой ценной бумаги по отношению ко всему рынку, а его коллега предлагает сравнивать их между собой.

Портфельная теория Марковица суть

Книга «Портфельная теория Марковица» от автора, который в 90 лет взялся за разработку еще одного научного масштабного труда, имеет достаточно простую и одновременно сложную суть. Доходность способа для вложения денег и риск прямо связаны между собой. Математический метод позволил описать принцип так: риск — это функция от разброса значений прибыли за определенные временные интервалы.

Ключевая задача — добиться высокой диверсификации портфеля не только по суммам вложений, но и по времени работы инструмента. Это актуально, даже работая с небольшими суммами. В учебниках для ВУЗов по экономике и финансированию портфельная теория Марковица активно описывается и много времени уделяется ее изучению. Для инвестора же важно самому или с помощью доверительного менеджера понять базовые постулаты — учитывать 2 критерия во время вложений: доходность и риски, сравнить, например, прибыль за 2 разных периода или вовсе найти один, но суперкритерий оценки.

Скачав реферат по экономике или финансовому анализу рынка, можно увидеть, что портфельная теория Марковица хоть и эффективна, но требует и знаний, и усердия в расчётах. При этом, стоит понимать, что нужно владеть информацией из рынка, чтобы выбрать правильные стратегии и подобрать пакет акций для вложений. Сегодня такой расчёт, а также упрощенная версия, согласно теории Шарпа, относится к классу иоп — индивидуальной образовательной программы. Знания, как говориться, за плечами не носить и если есть математически проверенный метод уменьшения риска, почему бы его не использовать не только с акциями, но и другими инструментами?

Теория на примере

Если необходимо показать пример, как эффективно работает портфельная теория Марковица, стоит обратить внимание на доходность за определенный период и суммарное время работы. Для простоты восприятия покажу это в виде таблицы.

Временной интервал в месяцах	1	2	3	4
Прибыль %	-5	5	2	3

Средний показатель дохода равен (-5+5+2+3)/4=1,25. Это суммарная доходность за весь период (у вас могут быть другие значения). Если же (а так грамотно и рационально делать) в портфеле несколько источников, тогда стоит дополнительно провести расчет еще по одной формуле: ∑р (доходность по всему портфелю) представлена как произведение ожидаемой доходности по одному из инструментов и его доли в общем портфеле. Ожидаемая доходность указывается, когда вы покупаете акции на бирже.

Если вы работаете с большим количеством инструментов, тогда можно использовать для простоты расчета введенную формулу в excel, которая поможет согласно портфельной теории Марковица рассчитать: какая доходность в портфеле от сдачи в аренду квартиры, вложений в бизнес, покупки драгоценных металлов или трейдинга криптовалютой. Рассматривая и применяя разные принципы инвестирования, стоит помнить и о доле риска. Согласно работе математика, он рассчитывается как квадратный корень из произведения 1/n, где n — количество периодов и ∑ (среднего значения дохода способа за вычетом одного периода), возведенного в квадрат. Придется вспомнить математические правила возведения в квадрат выражения и порядок проведения действий.

Работают ли школьные знания?

Взглянув на формулы, представляющие комплексную портфельную теорию Марковица, можно немного испугаться, поскольку они сложные. Но понимания, какая позиция за что отвечает, имея данные по ним, смело можно провести расчеты. Будем честны, далеко не все инвесторы таким занимаются, а пользуются интуицией или школьными знаниями (если такая тема преподавалась) или советами наставника (что более эффективно). Фактически, стоит понимать направление работы, чтобы знания работали: если падает цена на золото, то акции ювелирных компаний будут падать, а изделия дешеветь из-за снижения себестоимости металла.

А что, если будут отклонения?

Читая книгу с детально описанной портфельной теорией Марковица, стоит заметить, что сам автор периодически уточняет, что они могут быть. Основной аспект в том, что стоит оценивать исторический сценарий развития, но он повторяется не всегда и не с точной закономерностью. Достаточно вспомнить цены на акции компаний ЮКОС, Фейсбук, Боинг. Отклонения могут быть связаны и с такими аспектами:

1. не описанные точки входа и выхода из рынка;
2. не предусмотрено использования торгового плеча.

Формируя инвестиционный портфель, можно одновременно использовать несколько теорий, например, дополнительно учитывать коэффициент шарпа, а более делительные рекомендации по формированию стратегии вложения капитала уже на gq-blog.com.

Слабые места теории Марковица

Ключевое слабое место в том, что в портфеле нет инвестиций на короткий срок и полностью исключается спекулятивная торговля. Фактически, автор предлагал работать только с акциями, исключая фиатные деньги.

Несколько управленческих моментов

Математик определил, что прирост рисков выше, чем прирост доходности. Кратко говоря о портфельной теория Марковица, стоит сформировать кривые риска и доходности, это достаточно просто сделать на графике — таблице координат, указав значения по каждому инструменту. Теперь легко понять, какой портфель стоит брать в работу в качестве варианта, а какой нет. Если же предложение по числовым значениям не попадает в поле, сформированное кривыми, его лучше не рассматривать.

Некоторые организации, в частности банки или биржевые брокеры на своих сайтах предлагают рассчитать соотношение риска и прибыли согласно формуле в режиме онлайн. Для частного инвестора таких данных о портфельной теории Марковица достаточно, а, чтобы написать курсовую, стоит более детально ее рассматривать и проводить конкретные расчеты. Подводя итог, хочется еще раз уточнить о важности исследования критериев оценки инвестиционного проекта — не только доходности, но суммы вложений, срока работы, рисков, зависимости от рынка.

Это позволит заметно сократить минусы, а полученный эффект диверсификации будет замечен более высокой и продолжительной прибылью. Традиционно желаю вам, чтобы полученные знания со статьи или презентации о принципах портфельной теории Марковица помогли определить, куда вложить деньги для получения дохода и минимальными рисками потерь.

Источник