Финансовая компания создала фонд для погашения своих облигаций путем
Анализ операций с ценными бумагами с Microsoft Excel
1.3.2 Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)
Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).
Теоретически, в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др. [13, 16]
В финансовой практике часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и.т.д.).
Выплаты по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, формирование различных фондов – все это далеко неполный перечень финансовых операций, денежные потоки которых, представляют собой обыкновенные аннуитеты. Рассмотрим их свойства и основные количественные характеристики.
Согласно определению, простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:
1) все его n -элементов равны между собой: CF 1 = CF 2 . = CF n = CF ;
отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. t n — t n-1 = . = t 2 — t 1 .
В отличии от разовых платежей, для количественного анализа аннуитетов нам понадобятся все выделенные ранее характеристики денежных потоков: FV , PV , CF , r и n .
Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета
Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.
Методику определения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем примере.
Финансовая компания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10000 под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?
Выполнив ряд математических преобразований над (1.10), можно получить более компактную запись:
. (1.11)
Как уже отмечалось ранее, платежи могут осуществляться j -раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m . В этом случае общее число платежей за n -лет будет равно mn , процентная ставка – r/m , а величина платежа – CF/m . Тогда, выполнив преобразования над (1.11), получим:
. (1.12)
Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000 . Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу 4-го года ?
Общее количество платежей за 4 года равно: 4 ´ 12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит: 12 / 12 = 1%. Тогда:
.
Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисления m , называется периодической.
Следует отметить, что п ериодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.
Текущая (современная) стоимость простого аннуитета
Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.
Определение текущей стоимости денежного потока, представляющего собой простой аннуитет, покажем на следующем примере.
Предположим, что мы хотим получать доход, равный 1000 в год, на протяжении 4-х лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?
Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет следующий вид:
. (1.13)
Нетрудно заметить, что выражения в квадратных скобках в (1.13) представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.
Для случая, когда выплаты сумм аннуитета и начисления процентов совпадают во времени, т.е. j = m , удобно использовать соотношение вида:
. (1.14)
Исчисление суммы платежа, процентной ставки и числа периодов
Величину периодического платежа CF и числа периодов проведения операции n для обыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (1.9), так и (1.11).
Если известна будущая стоимость FV , при заданных n и r величина платежа может быть найдена из (1.11):
. (1.15)
При этом выражение в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения или накопления (sinking fund factor).
Соответственно если неизвестной величиной является n , она определяется по формуле:
. (1.16) В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV , формулы для определения CF и n примут следующий вид:
. (1.17)
. (1.18) Выражение в квадратных скобках в (1.17) называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала (capital recovery factor).
Исчисление процентной ставки для денежных потоков в виде серии платежей представляет определенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечивают получение лишь приближенной оценки и не рассматриваются в настоящей работе. Как будет показано в дальнейшем, современные табличные процессоры позволяют без особых затруднений определять этот важнейший параметр любой финансовой операции. Автоматизация исчисления характеристик аннуитетов
Группу функций EXCEL, предназначенную для автоматизации расчетов характеристик аннуитетов, составляют уже хорошо известные вам функции БЗ() , КПЕР() , НОРМА() , ПЗ() (см. табл. 1.1), к которым добавляется функция определения периодического платежа – ППЛАТ() .
Функция ППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип])
Данная функция применяется в том случае, если необходимо определить величину периодического платежа – CF .
Предположим, что в примере 1.11 требуется определить размер периодического платежа при заданной будущей величине фонда в 46410 .
=ППЛАТ(0,1; 4; 0; 46410) (Результат: -10000,00).
Для банка, в котором размещен данный депозит, периодические платежи означают приток средств, а конечная сумма по депозиту – расход:
=ППЛАТ(0,1; 4; 0; -46410) (Результат: 10000,00).
Обратите особое внимание на значение параметра «нз» ( PV ). Условиями данной операции наличие первоначальной суммы на депозите в момент времени t = 0 не предусмотрено, поэтому значение параметра «нз» равно нулю. Изменим условия примера 1.10 следующим образом.
Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50000 , с последующим ежегодным пополнением суммами по 10000 . Ставка по депозиту равна 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года ?
В случае, если условиями контракта предусмотрено начисление процентов в начале каждого периода , при исчислении любой характеристики финансовой операции необходимо задавать аргумент “ тип ”, равный 1.
Для предыдущего примера, функции вычисления будущей величины и периодического платежа будут иметь следующий вид:
Отметим, что начисление процентов в начале каждого периода всегда приводит к большему значению будущей величины аннуитета за тот же срок .
При начислении процентов m -раз в году, величины r и n корректируются также, как и в предыдущих примерах.
Попробуйте самостоятельно построить шаблон для определения количественных характеристик денежных потоков, представляющих собой простой аннуитет. Его можно получить путем несложных преобразований предыдущего шаблона, воспользовавшись командами редактирования ППП EXCEL.
На рис. 1.7 приведен один из простейших вариантов подобного шаблона, который может быть взят за основу. Формулы шаблона приведены в табл. 1.3.
Источник
Финансовая компания создала фонд для погашения своих облигаций путем
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Добро пожаловать!
2.1. Синтаксис: ПС (ставка; кпер; плт; бс; тип) 2.2. Примечание: Убедитесь, что вы последовательны в выборе единиц измерения для задания аргументов ставка и кпер. Если вы делаете ежемесячные выплаты по четырехгодичному займу из расчета 12 процентов годовых, то используйте 12%/12 для задания аргумента ставка и 4*12 для задания аргумента кпер. Если Вы делаете ежегодные платежи по тому же займу, то используйте 12% для задания аргумента ставка и 4 для задания аргумента кпер. В функциях, связанных с аннуитетами, выплачиваемые денежные средства, такие как депозит на сбережения, представляются отрицательным числом; полученные денежные средства, такие как чеки на дивиденды, представляются положительным числом.
Например, депозит в банк на сумму 1000 руб. представляется аргументом -1000 — для вкладчика и аргументом 1000 — для банка.
2.3. Пример расчетов:
Данные Описание 500 Деньги, уплачиваемые по страховке в конце каждого месяца 8% Процентная ставка, которую приносят выплачиваемые деньги 20 Число лет, по истечении которых деньги будут выплачены Формула Описание (результат) =ПС(A3/12; 12*A4; A2; ; 0) Приведенная стоимость аннуитета с указанными выше условиями (-59 777,15).
NB. Поле «Данные» занимает ячейку «А1». Результат получается отрицательный, поскольку он представляет деньги, которые необходимо выплатить, исходящий денежный поток. Если бы за аннуитет требовалось заплатить 60 000, эта инвестиция была бы не выгодной, так как приведенная стоимость (59 777,15) аннуитета меньше данной суммы.
3. Ставка — возвращает процентную ставку по аннуитету за один период. СТАВКА вычисляется путем итерации и может давать нулевое значение или несколько значений. Если последовательные результаты функции ставка не сходятся с точностью 0,0000001 после 20ти итераций, то возвращается сообщение об ошибке «#ЧИСЛО!» 3.1. Синтаксис: СТАВКА (кпер; плт; пс; бс; тип; предположение) Предположение — это предполагаемая величина ставки.
• Если значение предположения опущено, то оно полагается равным 10 процентам.
• Если функция СТАВКА не сходится, попробуйте подставить различные значения для предположения. СТАВКА обычно сходится, если величина предположения находится между числами 0 и 1.
3.2. Примечание. Если получившийся ответ немного отличен от правильного, измените количество знаков после запятой, отображаемых в данной ячейке с помощью меню: Формат – Ячейки – Число.
3.3 Пример расчета:
Данные Описание 4 Срок займа в годах -200 Ежемесячная сумма платежа 8000 Сумма займа Формула Описание (результат) =СТАВКА(A2*12; A3; A4) Месячная процентная ставка по займу (0,77%) =СТАВКА(A2*12; A3; A4)*12 Годовая процентная ставка по займу (9,24%) 4. КПЕР — возвращает общее количество периодов выплаты для инвестиции на основе периодических постоянных выплат и постоянной процентной ставки.
4.1. Синтаксис: КПЕР(ставка; плт; пс; бс; тип) 4.2. Примечание. Если Вы используете годовую процентную ставку, то ответ получится в годах. Для того, что бы избавиться от дробной части ответа можно пересчитать срок в месяцы используя пропорцию.
4.3. Пример расчета:
Данные Описание 12% Годовая процентная ставка -100 Выплата за каждый период -1000 Стоимость на текущий момент 10000 Будущая стоимость 1 Платежи осуществляются в начале периода Формула Описание (результат) =КПЕР(A2/12; A3; A4; A5; 1) Периоды выплат для данной инвестиции (60) 5. ПЛТ — Возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки.
5.1. Синтаксис: ПЛТ(ставка; кпер; пс ;бс; тип) 5.2. Примечание. Для нахождения общей суммы, выплачиваемой на протяжении интервала выплат, умножьте возвращаемое функцией ПЛТ значение на «кпер».
5.3. Пример расчета:
Данные Описание 8% Годовая процентная ставка 10 Количество месяцев платежей 10000 Сумма кредита Формула Описание (результат) =ПЛТ(A2/12; A3; A4) Месячная сумма платежа по указанному кредиту (-1 037,03) 6. БЗРАСПИС — возвращает будущую стоимость первоначальной основной суммы после применения ряда (плана) ставок сложных процентов. Функция БЗРАСПИС используется для вычисления будущей стоимости инвестиции с переменной процентной ставкой. Функцию БЗРАСПИС удобно использовать для расчета будущей величины разовой инвестиции в случае, если начисление процентов осуществляется по плавающей ставке. Подобные операции широко распространены в отечественной финансовой и банковской практике.
6.1. Синтаксис: БЗРАСПИС (первичное; план) Первичное — это стоимость инвестиции на текущий момент.
План — это массив применяемых процентных ставок.
6.2. Примечание. Значения в аргументе ставки могут быть числами или пустыми ячейками; любые другие значения дают в результате значение ошибки «#ЗНАЧ!» при работе функции «БЗРАСПИС». Пустые ячейки трактуются как нули (нет дохода).
NB. Если данная функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ, установите и загрузите надстройку «Пакет анализа». В меню Сервис выберите команду Надстройки. В списке надстроек выберите Пакет анализа и нажмите кнопку OK.
6.3. Пример расчета:
Формула Описание (результат) =БЗРАСПИС(1000;<0,09;0,1;0,12>) Будущая стоимость капитала размером 1000 при ставках сложных процентов 0,09, 0,10 и 0,12 (1342,88) 7. Две функции: «НОМИНАЛ» и «ЭФФЕКТ» являются взаимообратными и потому будут рассмотрены одновременно.
Номинал — возвращает номинальную годовую ставку, если заданы эффективная (фактическая) ставка и число периодов в году, за которые начисляются сложные проценты.
• Кол_пер — количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты.
Примечание: Аргумент кол_пер усекается до целого. Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОМИНАЛ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ! Если эффект_ставка 0 или если кол_пер =0).
Подобное задание формул позволяет избежать возникновения ошибок, связанных с неполнотой или некорректным заданием исходных данных. Кроме того, таблица при этом более наглядна, так как ее результирующая часть всегда содержит только одно ненулевое значение — искомую величину.
Рисунок 4. Шаблон для операций с элементарными потоками платежей (формулы).
Формулы, которыми следует заполнить шаблон приведены на рисунке 4.
Проверьте работоспособность шаблона на примере: кредит в сумме $100 000 на 3 года выдан под 19,5% годовых. Проценты начисляются ежеквартально и подлежат выплате вместе с основной суммой долга по истечении срока кредита. Определить сумму выплаты на момент погашения кредита (-177036,86).
Удобство шаблона Excel состоит в том, что при изменении любой характеристики рассмотренной выше операции достаточно ввести новое значение в соответствующую ячейку. Кроме того, шаблон может быть легко преобразован для одновременного анализа сразу нескольких однотипных ситуаций.
Рассмотрим еще один пример. Корпорация «К» осуществляла выплаты дивидендов своим акционерам на протяжении 5 лет. Величина дивиденда составила: 1 год — 2,50; 2 год — 2,60; 3 год — 2,74; 4 год — 2,88; 5 год — 3,04. Определить коэффициент роста доходов по акциям (5,01% годовых).
Коэффициентом роста в данном случае является процентная ставка, по которой производится наращение современной величины 2,50 до ее будущего значения 3,04 за 4 года.
Таким образом задача сводится к исчислению ставки r при известных величинах FV, PV, n.
Введите исходные данные в шаблон (не забывайте, что величины PV и FV должны иметь разные знаки!).
Глава 2. Потоки платежей, образующие финансовые ренты Как вы помните из курса «Финансово-экономических расчетов», финансовой рентой называется поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны. Примерами финансовых рент являются и погашение банковского кредита, и выплата дивидендов, и студенческая стипендия, и многие аналогичные выплаты.
Рассмотрим свойства и основные характеристики финансовых рент.
Согласно определению рента обладает двумя основными свойствами:
1) все ее n элементов равны между собой: CF1 = CF2. = CFn = CF;
2) отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. tn — tn-1. =. = t2 — t1.
При анализе финансовых рент основное внимание уделяется рассчету двух показателей: Приведенного (дисконтированного) значения ренты (аннуитета) и Будущей стоимости финансовой ренты. Будущая стоимость аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.
Методику определения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем примере. Финансовая компания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10 000 ден.ед. под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу четвертого года FV4 = 10 000(1 + 0,10)3+10 000(1 + 0,10)2 + 10 000(1 + 0,10)1+10 000 = 46 410 (5) Для n периодов в общем виде соотношение принимает вид:
n (1 + r ) — FV = CF. (6) n r Как отмечалось выше, платежи могут осуществляться j раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m. В этом случае общее число платежей за n лет будет равно mn, процентная ставка — r/m, а величина платежа — CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (6), получим:
r mn (1 + ) — m FV = CF (7) r m (1 — ) — m Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1 000 ден.ед.
Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу четвертого года Общее количество платежей за 4 года равно: 4×12 = 48.
Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисления m, называется периодической.
Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.
Текущая (современная) стоимость простого аннуитета Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции. Определение текущей стоимости денежного потока, представляющего собой простой аннуитет, покажем на следующем примере.
Предположим, что мы хотим получать доход, равный 1 000 ден.ед. в год, на протяжении четырех лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых РV= 1000/1,10 + 1000/(1,10)2 + 1000/(1,10)3+ 1000/(1,10)4= 3169,87.
Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет вид:
(1 + r)-n — PVn = CF (8) r Величину периодического платежа CF и числа периодов проведения операции n для обыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (7), так и (8).
Для автоматизации расчетов, связанных с финансовыми рентами используются рассмотренные ранее функции: БС, ПС, СТАВКА, КПЕР, ПЛТ. Остановимся подробнее на функции ПЛТ. Данная функция применяется, если необходимо определить величину периодического платежа CF. Предположим, что требуется определить размер периодического платежа при заданной будущей величине фонда в $46 410, ставке 10% и сроке 4 года =ПЛТ(0,1; 4; 0; 46 410) (Результат: — 10 000,00) Обратите особое внимание на значение параметра нз (PV). Условиями данной операции наличие первоначальной суммы на депозите в момент времени t = 0 не предусмотрено, поэтому значение параметра нз равно нулю.
Изменим условия примера: финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50 000 ден.ед. с последующим ежегодным пополнением суммами по 10 000 ден.ед. Ставка по депозиту равна годовых. Какова будет величина фонда к концу 4 — го года =БС(0,1; 4; — 10 000; — 50 000) (Результат: 119 615,00).
Соответственно изменится и формат функции для определения величины ежегодного платежа:
Если условиями контракта предусмотрено начисление процентов в начале каждого периода, при исчислении любой характеристики финансовой операции необходимо задавать аргумент тип, равный 1.
. (1.10)
. (1.11)
. (1.12)
.
. (1.13)
. (1.14)
. (1.15)
. (1.16) В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV , формулы для определения CF и n примут следующий вид:
. (1.17)
. (1.18) Выражение в квадратных скобках в (1.17) называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала (capital recovery factor).