Эквивалентную по доходности процентную ставку

2.5. Эквивалентность процентных ставок различного типа

Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалент­ных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых на­чальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа­ях, когда существует возможность выбора условий финансовой оперции и требуется инструмент для корректного сравнения раз­личных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заклю­чается в следующем. Выбирается величина, которую можно рас-

считать при использовании различных процентных ставок (обыч­но это наращенная сумма S). На основе равенства двух выраже­ний для данной величины и составляется уравнение эквивалент­ности, из которого путем соответствующих преобразований полу­чается соотношение, выражающее зависимость между процент­ными ставками различного вида.

Вспомним обозначения, использованные ранее:

i — простая годовая ставка ссудного процента;

d — простая годовая учетная ставка;

iс — сложная годовая ставка ссудного процента;

dc — сложная годовая учетная ставка;

j — номинальная ставка ссудного процента;

f — номинальная учетная ставка.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные в преды­дущих параграфах этой главы:

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотно­шения, выражающие зависимость между любыми двумя различ­ными процентными ставками.

Рассмотрим несколько случаев.

Приравнивая соотношения (1.7) и (2.5), получим

Из формул (1.7) и (3.1) имеем

Приравнивание формул (1.7) и (3.6) дает

Для различных случаев сложных процентов получаем уравне­ние эквивалентности, приравнивая формулы (3.1) и (3.6):

Полученная по формуле (5.7) годовая ставка сложных процен­тов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется Эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или срав­нить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления. Очевидно, что значение эффективной Процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при т = 1.

Далее из формул (3.1) и (4.1) имеем

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми Другими эквивалентными процентными ставками.

Проанализировав полученные формулы, можно сделать два замечания.

1. Эквивалентность различных процентных ставок никог­да не зависит от величины первоначальной суммы р (для данного рассматриваемого случая, когда первоначальная сумма р предполагается одинаковой).

2. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления за исключением

случая эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

Используя для вычислений формулы (3.1) и (4.1), можно по­строить таблицу, отражающую зависимость между эквивалентны­ми сложными учетными ставками и ставками ссудных процентов (табл. 2). Видно, что небольшие учетные ставки имеют эквива­лентные ставки ссудного процента, сопоставимые по величине, но с ростом учетных ставок разница увеличивается очень быстро.

Таблица 2. Зависимость между эквивалентными сложными учетными ставками

Источник

Эквивалентность процентных ставок

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример 1. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m[(1 + i) 1 / m — 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 — 1] = 0,23607.

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m[(1 + i) 1 / m — 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 — 1] = 0,22523.

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

сложная процентная ставка:

Пример 2. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m) m • n — 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 • 4 — 1] / 4 = 0,2859.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

Находим эквивалентную сложную ставку процентов для простой ставки:

Таким образом, процентная ставка 18,64% годовых с полугодовым начислением процентов ниже 20% годовых с полугодовым начислением процентов, то первый вариант выгоднее.

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

Пример 3. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:

t₁= 11(апрель) + 31(май) — 1 = 41 день;

для второго платежа и консолидированного платежа:

Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:

= 20’000 • (1 + 41/360 • 0,1) + 30’000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50’402,78 руб.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50’402,78 руб.

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж FV₁ со сроком n₁ надо заменить платежом FV_об. со сроком n_об. (n_об. > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

Пример 4. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

Решение:

Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56’448 руб.

Источник

Эквивалентность процентных ставок

Понятие эквивалентности использовалось выше применительно к платежам. Теперь распространим его на процентные ставки. Как было показано ранее, для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим теперь те их значения, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет отношения сторон в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалентными.

Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в гл. 2 при определении эффективной ставки процента. Там было показано, что годовая эффективная ставка i эквивалентна номинальной ставке j при начислении процентов т раз в году. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности ставок более полно и систематизировано. Сперва соотношения эквивалентности простых ставок, затем простых и сложных, далее эквивалентность различного вида сложных ставок, наконец, некоторые соотношения эквивалентности дискретных и непрерывных ставок.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Приведем лишь один пример. Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками наращения. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения:

где i_s и i — ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (рис. 3.4). Решение дает следующие отношения эквивалентности ставок:

(3.9) (3.10)

Аналогичным образом определим и другие, приведенные ниже соотношения эквивалентности ставок.

Эквивалентность простых процентных ставок.При выводе искомых соотношений между ставкой наращения и учетной ставкой следует иметь в виду, что при их применении используются временные базы K = 360 или K = 365 дней. Если временные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множителей наращения следует:

(3.11) (3.12)

где: п — срок в годах;

d — учетная ставка.

Пример 3.12.Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15%. Какова доходность учетной операции в виде процентой ставки? По формуле (3.11) находим:

i_s = = 0,17647, или 17,647%.

Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647%.

Из приведенных формул и примера следует, что для одинаковых условий операции справедливо неравенство d m — 1; (3.23) (3.24)

(3.25) (3.26)

где d_c — сложная учетная ставка.

Приведем еще несколько полезных соотношений, которые нетрудно получить на основе формул (3.25) и (3.26). Напомним, что v = (1 + i) -1 :

Заметим, что в зависимостях (3.23) — (3.29) срок не играет никакой роли.

Пример 3.15.При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально?

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок.Теоретически можно найти соотношение эквивалентности между силой роста и любой дискретной процентной ставкой. Однако в этом, вероятно, нет необходимости. Ограничимся несколькими такими соотношениями, необходимость в которых может возникнуть в практических расчетах.

Эквивалентность и i.Из равенства следует:

(3.30) (3.31)

Эквивалентность и j:

(3.32) (3.33)

Эквивалентность и d_c.Из равенства следует:

(3.34) (3.35)

Приведем еще одно полезное соотношение:

Пример 3.16.Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%? Согласно формуле (3.33) находим

= 4 х ln(1 + 0,2) = 0,19516, или 19,516%.

Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют расширить область применения непрерывных процентов. Как уже говорилось выше, непрерывные проценты во многих сложных расчетах дают возможность существенно упростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому после использования в расчетах формул непрерывных процентов нетрудно с помощью формул эквивалентности представить полученные результаты в виде общепринятых дискретных характеристик.

Средние процентные ставки

Проблема эквивалентности ставок в некоторых случаях может быть решена и с помощью расчета средних значений ставок. Если речь идет об одной финансовой операции, в которой размер ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью соответствующей средней. Причем замена всех усредняемых значений ставки на среднюю ставку не должна изменить результаты наращения или дисконтирования.

Искомые средние получим при приравнивании множителей наращения друг к другу. Начнем с простой ставки. Пусть за периоды n₁, n₂. n_k начисляются простые проценты по ставкам i₁, i₂. i_k, тогда на основе равенства множителей наращения:

;

где N = — общий срок наращения;

— средняя ставка;

получим искомую среднюю:

Найденная характеристика представляет собой арифметическую среднюю взвешенную с весами, равными продолжительности отдельных периодов.

Аналогичным способом получим среднюю учетную ставку:

Пример 3.17.Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20; 22 и 25%. Продолжительность периодов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы? Находим среднюю:

Если усредняются переменные во времени ставки сложных процентов, то из равенства множителей наращения

(3.36)

Средняя в этом случае, как видим, вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

Пример 3.18.Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка, равная 15%, для следующих трех лет она составляет 20%. Средняя ставка за весь срок ссуды равна

или 17,974%.

Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в нескольких однородных операциях, которые различаются суммой долга P_t и ставкой процента i_t.Искомые средние ставки находим из условия равенства соответствующих сумм после наращения процентов. Так, если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковы, то можно записать следующее исходное равенство:

(3.37)

Как видим, искомая ставка равна взвешенной арифметической средней; в качестве весов берутся размеры ссуд.

Усреднение сложных ставок для тех же условий достигается с помощью взвешенной степенной средней:

(3.38)

Пример 3.19.Выданы две ссуды: Р₁ = 1 млн. руб., P₂ = 2 млн. руб. Первая выдана под 20% годовых, вторая — под 30%, сроки ссуд одинаковы и равны полутора годам. Если ставки простые, то:

= 0,2667.

Для сложных ставок находим:

= 0,2671.

Формулы (3.37) и (3.38) получены для частного случая, когда сроки ссуд одинаковы. В более общих случаях они, разумеется, не работают. Решение соответствующих задач возможно на основе методов, разработанных для так называемых потоков платежей. Эти методы обсуждаются в следующем разделе книги.

Источник