Доходность портфеля это линейная функция

Риск и доходность портфельных инвестиций

Доходность портфеля (Кр) — это линейная функция пока­зателей доходности входящих в него активов. Определяется она по формуле средней арифметической взвешенной:

где к — доходность j-го актива, %;

dj— доля j-го актива в портфеле;

n — число активов в портфеле.

Пример. 5.5. В финансовом портфеле находятся три вида акций А, В, С. Их доходность соответственно составляет 12, 14 и 18%. Возможны два варианта формирования портфеля: пер­вый вариант содержит 30% акций А и по 35% акций В и С; вто­рой вариант содержит 40% акций А, 50% акций В и 10% акций С. Какой вариант предпочтет инвестор?

Решение. Определяем доходность потенциальных финан­совых портфелей

Kp = (0,12 х 0,3) + (0,14 х 0,35) + (0,18 х 0,35) = 0,148 = 14,8%,

Kp = (0,12 х 0,4) + (0,14 х 0,5) + (0,18 х 0,1) = 0,136 = 13,6%.

Отсюда вывод: с позиции доходности для формирования фи­нансового портфеля предпочтительнее вариант первый.

При оценке любого финансового инструмента основой при­нятия решения является позитивное соотношение между ри­ском и ожидаемым доходом. Риск ценных бумаг определяется теми же показателями, как любой вид риска: математическое ожидание (среднее значение, или центр распределения), дис­персия (а2), среднеквадратическое отклонение (а), коэффици­ент вариации (V), размах колебаний (?).

Статистические методы основаны на обработке информа­ции о результатах и исходе подобного события. Величина и сте­пень риска измеряются расчетом средних величин и их измен­чивостью (таблица 5.1).

Математическое ожидание — это среднее значение слу­чайной величины, рассчитываемое по формуле средней ариф­метической взвешенной (аналогично доходности портфеля), где весом выступает вероятность исхода случайной величины.

Для оценки средневзвешенного значения для всех возмож­ных исходов используются дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия представляет собой средневзвешенное из ква­дратов отклонений реальных результатов от ожидаемых (таб­лица 5.1).

Среднеквадратическое отклонение характеризует сред­нюю изменчивость варьирующего признака и определяется по формуле, которая отражена в таблице 5.1. Формула также мо­жет быть представлена в виде

где а2 — дисперсия;

Y. — ожидаемое значение результата при i-м исходе; Y — среднее ожидаемое значение;

Рі — вероятность i-го исхода;

n — количество исходов.

Для относительной оценки колебания используется коэф­фициент вариации (V). Он представляет собой отношение сред­неквадратического отклонения к средней величине варьирую­щего показателя и измеряется в процентах (таблица 5.1). Чем больше V, тем сильнее колебание. Считается, что если коэффи­циент вариации V имеет величину:

— до 10% — колебание слабое;

— свыше 20% — сильное.

Выбирая финансовый актив, инвестор сам определяет при­оритеты, какая доходность ему требуется, какая степень риска для него допустима, с учетом этого решает: приобретать высо­кодоходные, но с большой величиной риска, бумаги или отдать предпочтение менее доходным бумагам с устойчивой динами­кой к росту.

Размах колебаний (А) — это разность двух крайних резуль­татов из ряда возможных исходов (Y) (таблица 5.1). Разрыв меж­ду максимальным и минимальным уровнями показателей харак­теризует возможные проявления рисковой ситуации, но ничего не говорит о вероятности таких проявлений.

Приведем пример использования этих показателей.

Пример 5.6. Инвестор может вложить 20 млн руб. в финан­совые активы: А или В. Доходность по этим активам может ко­лебаться (таблица 5.2):

Таблица 5.2 — Доходность по ативам А и Б Оценка доходности Пакеты акций А В величи­на, % вероят­ ность величи­на, % вероят­ ность Оптимистическая 15 0,25 20 0,25 Наиболее вероятная 12 0,5 18 0,5 Пессимистическая 5 0,25 (10) 0,25

Необходимо определить, какой пакет акций более целесо­образен для вложений капитала.

Решение дано в таблице 5.3.

Таблица 5.3 — Оценка целесообразности инвестирования капитала Показатель Пакеты акций А В 1. Средняя ожидаемая доходность К % 11*i 11,5*1 2. Дисперсия а2 0,0014*2 0,0155*2 3. Среднеквадратическое отклонение а 0,037*3 0,124*3 4. Коэффициент вариации V, % 33,6*4 107,8*4 5. Размах колебаний, Д 10 30 *1Ks (A) = (0,15 X 0,25) + (0,12 X 0,5) + (0,05 X 0,25) = 0,11 = 11%; *1k[ (В) = (0,2 X 0,25) + (0,18 X 0,5) + (-0,1 X 0,25) = 0,115 = 11,5%; *2ст2 (A) = (0,15 — 0,11)2 X 0,25 + (0,12 — 0,11)2 X 0,5 + (0,05 — 0,11)2 X 0,25 = 0,0014; *2а2 (В) = (0,20 — 0,115)2 X 0,25 + (0,18 — 0,115)2 X 0,5 + (-0,10 — 0,115)2 X 0,25 = 0,0155; *3а (А)= -^0,0014 = 0,037; *3а (В)= V0,0155 = 0,124;

*4 V(A)- 0,037 х100%-33,6%; *4 V(B) -0124. х100%-107,8%.

Вывод. Более целесообразно приобретение пакета акций А (особенно при умеренном подходе к формированию финансово­го портфеля).

Целесообразность объединения ценных бумаг в портфеле можно определить с помощью коэффициента ковариации.

Ковариация — мера, учитывающая дисперсию (разброс) ин­дивидуальных значений доходности актива и силу связи между изменением доходностей данного актива и всех других бумаг. Ко­вариация (COV) между двумя бумагами А и В может быть рас­считана по формуле

где kAiи kBi — доходность акций А и В в i-м периоде;

kA и kB — средняя доходность за весь период активов А и В; Pi — вероятность доходности А и В при i-м исходе; n — число учитываемых значений доходности акций А и В.

Если коэффициент ковариации имеет отрицательное зна­чение, то объединение этих акций в портфель снизит суммар­ный риск, и, наоборот, при положительном значении риск бу­дет увеличиваться.

Зная коэффициент ковариации (COV) можно рассчитать коэффициент корреляции (гА В) по формуле

Для определения риска портфеля, состоящего из двух ак­тивов, может использоваться громоздкая, но удобная в вычис­лительном плане формула

где dA — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу А; dB — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу В. Если в эту формулу включить дополнительные слагаемые, ее можно использовать для любого числа активов, входящих в портфель.

Пример 5.7. Необходимо определить целесообразность объ­единения активов А и В исходя из данных, приведенных в таб­лице 5.4.

Таблица 5.4 — Возможная доходность по активам А и В

Вероятность(P)	Доходность активов, %
	А	В
0,4	14	22
0,5	16	18
0,1	22	14

1. Определим среднюю доходность активов:

КА= (0,14 х 0,4) + (0,16 х 0,5) + (0,22 х 0,1) = 0,158, или 15,8%; КВ = (0,22 х 0,4) + (0,18 х 0,5) + (0,14 х 0,1) = 0,192, или 19,2%.

Так как коэффициент ковариации отрицателен, объеди­нение активов целесообразно, суммарный риск будет снижен.

4. Определим коэффициент корреляции:

3. Определим коэффициент ковариации:

У финансовых активов А и В наблюдается обратная функ­циональная зависимость изменения доходности, поэтому их объ­единение целесообразно.

5. При объединении в портфеле активов в пропорции 40% и 60% среднеквадратическое отклонение доходности портфе­ля будет равна:

Как следует из примера 5.7, рисковость портфеля, изме­ряемая средним квадратическим отклонением доходности, как правило, меньше средней величины риска отдельных активов, входящих в портфель. Это имеет большое значение при опре­делении требуемой доходности ценной бумаги. Таким образом, это подтверждает, что инвесторам следует владеть портфелем ценных бумаг, а не отдельной ценной бумагой. Поэтому есть все основания для оценки рисковости любой ценной бумаги не при

рассмотрении ее изолированно, а с точки зрения ее вклада в ри- сковость портфеля.

Экономическая теория предполагает, что существует соот­ношение между доходом, который инвесторы желают получить, и неизбежным риском.

Моделью такого соотношения может служить линия рын­ка ценной бумаги, отраженная на рисунке 5.1.

Относительный ожидаемый доход за год Рисунок 5.1 — Линия рынка ценной бумаги

Линия рынка ценной бумаги — равновесное линейное со­отношение между относительным ожидаемым доходом и систе­матическим риском.

Систематический риск — риск акции, связанный с изме­нениями экономической ситуации.

Несистематический риск — риск, специфический имен­но для этих ценных бумаг. Может быть устранен посредством должной диверсификации.

Ожидаемый доход за год показан на рисунке 5.1 на верти­кальной оси, а неизбежный риск — на горизонтальной. Линия риска пересекает вертикальную ось при некотором положитель­

ном значении уровня дохода, поскольку риск в этой точке отсут­ствует, такой уровень дохода называют безрисковой ставкой. По мере роста риска необходимый уровень дохода растет. Уровень наклона характеризует несклонность инвесторов к риску: чем меньше угол наклона, тем больше склонность инвесторов к ри­ску. Если бы инвесторы были вовсе безразличны к риску, линия рынка ценной бумаги была бы горизонтальной.

Линия рынка ценной бумаги отражает выбор между ожи­даемым доходом и неизбежным риском в определенный момент времени.

Положение этой линии может меняться с течением време­ни в результате изменения процентной ставки и психологии ин­весторов.

Изменение положения линии рынка ценной бумаги вслед­ствие изменения процентных ставок отражено на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 — Изменение положения линии рынка ценной бумаги при повышении процентных ставок

Психология инвесторов также может измениться, напри­мер, вследствие ожидания экономического роста или спада. На

рисунке 5.3 отражено изменение положения линии рынка цен­ной бумаги вследствие изменения настроения инвесторов от бо­лее пессимистического к более оптимистическому.

Рисунок 5.3 — Изменение положения линии рынка ценной бумаги при изменении психологии инвесторов

Итак, избыточный доход на рыночный портфель (превы­шающий безрисковую ставку) известен как рисковая премия.

Ожидаемый относительный доход вычисляется следую­щим образом:

K = Безрисковая ставка + Премия за риск.

Пример 5.8. Текущая ставка по государственным ценным бумагам (используемая нами как безрисковая) составляет 10%, мы оцениваем требуемую инвесторами премию за риск как 6%. Определите прогноз рыночного дохода.

К = 0,10 + 0,06 = 0,16, или 16%.

Хорошо диверсифицированный портфель — инвестицион­ный портфель, составленный из большого количества ценных бумаг таким образом, что доля каждой бумаги сравнительно невелика. Риск хорошо диверсифицированного портфеля при­ближен к систематическому риску рынка в целом. При этом не­систематический риск каждой бумаги ликвидируется посред­ством диверсификации.

Суммарный риск состоит из диверсифицируемого и неди- версифицируемого риска.

Считается, что значительного снижения доли несистемати­ческого риска можно добиться при умеренной диверсификации, нахождении в портфеле 15—20 акций. На рисунке 5.4 отражено соотношение между суммарным риском и количеством ценных бумаг в портфеле.

Рисунок 5.4 — Зависимость риска и количества бумаг в портфеле

Таким образом, значимым является не весь риск, связанный с владением акциями, поскольку его часть устранима путем ди-

версификации. Важной составляющей риска акции является не­избежный, или систематический, риск. Чем больше системати­ческий риск ценной бумаги, тем большей доходности от нее бу­дут ждать инвесторы. Связь между ожидаемой доходностью и систематическим риском, а также вытекающее из нее определе­ние стоимости ценных бумаг составляют сущность модели оцен­ки доходности финансовых активов с учетом систематического риска (Capital Asset Pricing Model, САРМ), разработанной лау­реатом Нобелевской премии Уильямом Шарпом. Она была соз­дана еще в 1960-е гг., однако до сих пор не утратила своей акту­альности в финансовом секторе (см. гл. 2 “Концепции финансо­вого менеджмента”).

Модель оценки доходности финансовых активов с уче­том систематического риска (САРМ) — модель, описываю­щая связь между риском и ожидаемой доходностью, согласно которой ожидаемая доходность ценной бумаги равна безриско­вой процентной ставке плюс премия, учитывающая системати­ческий риск такой ценной бумаги.

Как и любая другая модель, САРМ упрощает реальное по­ложение вещей, позволяет сделать определенные выводы о ри­ске и размере премии за риск, необходимой для компенсации за принятие риска. Для простоты изложения будем рассматри­вать следующие возможности инвестирования. Первая — без­рисковые ценные бумаги, доходы по которым известны. В каче­стве ставки используют ставку по государственным обязатель­ствам США. Вторая — рыночный портфель ценных бумаг (т. е. портфель всех бумаг фондового рынка).

На рисунке 5.5 отражена характеристическая прямая, по­казывающая связь между избыточным доходом на определен­ную акцию и избыточным доходом на весь рыночный портфель.

Эта связь строится из прошлых соотношений. Избыточный доход определяется следующим образом: из дивидендов и цены на конец периода отнимается цена на начало периода и делит­ся на цену на начало периода; из полученного соотношения вы­читается безрисковая ставка. Характеристическая прямая наи­лучшим образом аппроксимирует эти данные.

Рисунок 5.5 — Характеристическая прямая

Характеристическая прямая — прямая, показывающая соотношение между изменением дохода на акцию и изменени­ем дохода на рыночный портфель.

Альфа-коэффициент (a-коэффициент) находится на пе­ресечении характеристической линии и вертикальной оси (ри­сунок 5.6).

Рисунок 5.6 — Характеристическая прямая (расчет a-коэффициента)

Если ожидается, что избыточный доход на рыночный порт­фель равен нулю, то альфа представляет ожидаемый избыточ­ный доход на акцию. Теоретически альфа для отдельных акций должна быть равна нулю. Если имеют место проблемы статисти­ческого измерения и/или неравновесное состояние рынка аль­фа может отличаться от нуля.

Бета-коэффициент (P-коэффициент) измеряет уровень ре­акции дохода на акцию на изменение дохода на рыночный порт­фель:

Чем больше угол наклона характеристической линии, тем больше ее систематический риск.

Если P-коэффициент равен 1, это значит, что дополнитель­ная доходность акции изменяется соразмерно дополнительной доходности рыночного портфеля. Другими словами, акция ха­рактеризуется таким же систематическим риском, что и рынок в целом. Если рынок на подъеме и предлагает дополнительную доходность 5% в месяц, можно ожидать, что в среднем дополни­тельная доходность акции также составит 5%.

Если P-коэффициент выше 1, то дополнительная доходность акции растет быстрее рыночного портфеля. Если взглянуть на это с другой стороны, можно сказать, что такая ценная бумага характеризуется большим неизбежным риском, чем рынок в це­лом. Этот вид акций часто называют “агрессивными”.

Если P-коэффициент меньше 1, говорят, что рост дополни­тельной доходности акции отстает от возрастания дополнитель­ной доходности рыночного портфеля. И такой вид акций назы­вают “оборонительным”.

Бета-коэффициент — показатель систематического ры­ночного риска. Этот риск, как уже отмечалось, нельзя устра­нить путем диверсификации, инвестируя в большее число ак­ций, поскольку он зависит от таких вещей, как изменения в эконо-мической и политической ситуации, влияющие на весь фондовый рынок.

Для расчета P-коэффициента рассмотрим рисунок 5.7.

Рисунок 5.7 — Характеристическая прямая (расчет Р-коэффициента)

— избыточный доход акции (актива);

избыточный доход портфеля;

КББ — безрисковая доходность (ставка);

КРБ — ожидаемая доходность портфеля, состоящего из всех акций фондового рынка (или рыночного портфеля), %;

К — ожидаемая доходность акции i-й компании, %;

Р — бета-коэффициент акций, доли ед.

Пример 5.9. Определите требуемую норму доходности по ак­циям организации, если безрисковая ставка составляет 8%, ожи­даемая норма доходности по рыночному портфелю равна 13%, P-коэффициент по акциям рассматриваемой организации — 0,65.

К = 0,08 + (0,13 — 0,08) х 0,65 = 0,1125 х 100% = 11,25%.

Важным свойством модели САРМ является ее линейность относительно уровня риска, что дает возможность определить P-коэффициент фондового портфеля как средневзвешенную величину коэффициентов, входящих в портфель финансовых инструментов:

где Рфп — значение P-коэффициента фондового портфеля ком­пании;

Pj — значение P-коэффициента j-го финансового инстру­мента (акции) в портфеле компании;

dj — доля j-го финансового инструмента (акции) в портфе­ле компании;

n — количество различных видов финансовых инструмен­тов (акций) в портфеле (j = 1,2,3, . n).

Ценовая модель рынка капитала САРМ подвергалась жест­кой критике по двум причинам:

• с одной стороны, она однофакторная;

• с другой стороны, эмпирически невозможно проверить, действительно ли рыночный портфель принадлежит эффек­тивному множеству.

Однако в реальной практике модель широко используется до сих пор для определения общей стоимости капитала органи­зации и требуемой нормы доходности для отдельных финансо­вых инструментов, включаемых в инвестиционный портфель.

С целью преодоления отмеченных недостатков САРМ в бо­лее поздние годы появились: многофакторная модель арбитраж-

ного ценообразования (АРТ), модель ценообразования опционов (ОРТ) (см. гл. 2 “Концепции финансового менеджмента”).

Другие предлагаемые модели пока не получили развития в силу сложности их использования и недостаточного развития фондового рынка РФ.

Источник