Финансовый анализ эффективности инвестиций в опционы и в их комбинации
Рынок производных ценных бумаг обязан своим возникновением и развитием появлению интересов, непосредственно сопряженных с обладанием ценными бумагами и иными денежными активами. Агенты рынка стремятся максимизировать свою прибыль или минимизировать риск. В тот момент, когда у двух таких агентов возникают противоположные интересы или обратные рыночные предпочтения, возникает предмет специального соглашения между этими двумя агентами.
Например, инвестор, стремящийся понизить свои курсовые риски, приобретает право продать свои бумаги в будущем по фиксированной цене (put-опцион) . Подспудно такой инвестор закладывается на возможность падения цен (страхуется, хеджируется ). При этом говорится, что инвестор занял длинную позицию . Наоборот, агент, уступающий опцион, рассчитывает на то, что цена не упадет ниже определенного критического уровня. Он полагает, что в процессе исполнения контракта покупатель опциона просто потеряет деньги, а он, наоборот, наживется. Говорят, что, уступая опцион, продавец встает в короткую позицию по этой бумаге.
Есть и еще вариант: этот агент дополнительно приобретает put-опцион (“ покрывается”) с большей ценой исполнения ( страйком ). Тогда, при значительном падении курсовой цены, агент-продавец извлечет доход в виде “ спрэда медведя ” (курсовой разницы между страйками двух опционов). Но, разумеется, если падения курсов не происходит, в этом случае оба агента проигрывают.
Или еще пример. Некий агент приобретает право приобрести бумаги по фиксированной цене в будущем (call-опцион). Такой агент рассчитывает на то, что бумага вырастет значительно выше страйка call-опциона, и в доход ему попадет вся разница между курсовой ценой и страйком (за вычетом, разумеется, цены самого опциона). Другой агент, уступающий call-опцион, разумеется, рассчитывает на то, что подобного курсового роста не произойдет. Если же он не вполне уверен в своем суждении, он может покрыться call-опционом с меньшим страйком. Тогда, в случае существенного курсового роста агент-продавец поймает “спрэд быка” — разницу между двумя страйками. В случае падения цен оба агента потеряют деньги.
Итак, возникает множество противоположных интересов, связанных с обладанием фондовыми активами ( производных интересов ). Столкновение этих интересов осуществляется на рынке. Организованным местом такого рода торговли является опционная биржа. Классическим примером биржи такого рода является CBOE – Chicago Board Options Exchange [1].
Существует множество источников, где рассматривается существо опционов и операций над ними. В [2] и [3] приводится приличный перечень монографий, откуда бы я выделил [4] как хороший учебник, на который я буду ссылаться далее по ходу изложения.
Что сегодня известно об эффективности вложений в опционы? Многое. Хорошо известна классическая формула оценки справедливой цены опциона, предложенная нобелевскими лауреатами Блэком и Шоулзом [5], она повсеместно используется в опционных калькуляторах. Отдельно отмечу пару работ, посвященных управлению риском вложений в опционы и в портфели на опционах [6,7].
Из анализа библиографии возникает странное чувство, что все задачи в области анализа эффективности использования опционов, что ставятся и решаются исследователями, — обратные по отношению к прямой , которая не ставится и не решается. Чем это можно объяснить? Вероятно, сильным воздействием на развитие теории результата, полученного Блэком и Шоулзом. Все прочие изыскания как бы идут в фарватере этого результата, он доминирует над ходом научной мысли в этой области знаний.
Что я понимаю под прямой и обратной задачами? Рассмотрим на примере.
Берем любой опционный онлайн-калькулятор, к примеру, [8]. Известны: исходная цена бумаги, дивидендный доход в процентах, безрисковая процентная ставка, страйк, срок опционного контракта или срок до его исполнения. Далее есть варианты расчета. Если известна волатильность подлежащего актива, можно посчитать теоретическую цену опциона, и наоборот, если известна фактическая цена опциона, можно оценить соответствующую волатильность актива. Среди исходных данных мы не найдем расчетную доходность актива, потому что, согласно результатов Блэка и Шоулза, теоретическая цена опциона не зависит от расчетной доходности подлежащего актива. Также все известные опционные калькуляторы позволяют оценить значения производных параметров, называемых в финансовой теории опционов греческими буквами . Существо этих параметров объясняется в [4] и непосредственно в [8].
Итак, мы можем оценить, насколько сильно теоретическая цена опциона отличается от фактической, и тем самым сделать косвенную оценку эффективности использования опционов. Превосходно. Но может ли такая оценка быть количественной? Что, если я приобретаю не один опцион, а выстраиваю опционную комбинацию? Каков инвестиционный эффект от покрытия опционом подлежащего актива?
Чтобы ответить на перечисленные вопросы, нужно как бы отстраниться от всего достигнутого в опционной теории и посмотреть на проблему совсем с другой стороны – а именно так, как на нее смотрит классический инвестор. А он задается простым вопросом:
- если я покупаю по известной цене один опцион или некоторую опционную комбинацию, на какой эффект, с точки зрения доходности и риска своих вложений, я могу рассчитывать?
Вот именно эту-то задачу я и называю прямой . И тогда, если я разработал метод оценки доходности и риска вложений в опционы, я смогу дать ответ на поставленный вопрос и на все остальные, с ним связанные. Умея рассчитывать доходность и риск одного или группы опционов, я смогу перейти к оценке того же для опционных портфелей. Собственно, этому-то и посвящена настоящая работа.
1. ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МОДЕЛЬНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Введем следующие обозначения, которые будем употреблять в дальнейшем.
Входные данные (дано):
T – расчетное время (срок жизни портфеля или время до исполнения опционного контракта);
S 0 – стартовая цена подлежащего опционам актива;
z c – цена приобретения опциона call;
z p – цена приобретения опциона put;
x c — цена исполнения опциона call;
x p — цена исполнения опциона put;
S T – финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная величина);
r T – текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
— среднеожидаемая доходность подлежащего актива;
s r – среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего актива.
Выходные данные (найти):
I T – доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;
R T – текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
— среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);
s R – СКО доходности опциона (комбинации);
Q T – риск опциона (комбинации).
Далее по тексту работы все введенные обозначения будут комментироваться в ходе их использования.
Также мы дополнительно оговариваем следующее:
- Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять модель).
- Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа , т.е. такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на протяжении всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не требовать синхронизации срока жизни портфеля на подлежащих опционам активах и сроков соответствующих опционных контрактов.
Еще один важный момент. Общепринятым модельным допущением к процессу ценового поведения акций является то, что процесс изменения котировки является винеровским случайным процессом [4,5], и формула Блэка-Шоулза тоже берет это предположение за исходное. Все, что я думаю по поводу применения вероятностных моделей к анализу ценового поведения акций, я подробно изложил в [9]. В этом же смысле высказывается и автор работы [10]. Существуют определенные ограничения на использование вероятностей в экономической статистике. Но, поскольку этот инструмент учета неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я хочу оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших модельных допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей.
А затем, по мере накопления опыта моделирования, мы будем усложнять модельные допущения и одновременно переходить от статистических вероятностей к вероятностным распределениям с нечеткими параметрами, используя при этом результаты теории нечетких множеств, по образцу того, как это делается в [9].
Но это дело будущего, а сейчас посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами m (коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского процесса [4,11]:
(1)
где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса 0 и коэффициентом диффузии 1.
Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S 0 , то мы можем, исходя из (1), построить вероятностное распределение цены S T в момент T . Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:
- среднее значение:
; (2)
- среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln S T /S 0 :
(3)
В принципе для моих последующих построений вид вероятностного распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность обозначим как
(4)
Примерный вид плотности нормального распределения вида (4) представлен на рис. 1.
Рис. 1. Примерный вид плотности нормального распределения
Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их комбинаций.
2. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОПЦИОНА CALL
Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между финальной ценой подлежащего актива S T и ценой исполнения опциона x c . Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона z c , то владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.
Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением [4]
(5)
В правой части (5) все параметры являются известными и постоянными величинами, за исключением ST, которая является случайной величиной с плотностью распределения (4).
А текущую доходность по опциону call мы определим формулой
(6)
Замечание . Представление (2), когда стартовая и финальная цены актива связаны экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования. Аналогичные неудобства вызывает представление доходности на основе степенной зависимости. Именно поэтому мы оперируем категорией текущей доходности как линейной функции дохода и финальной цены. Предполагая нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом приходим к нормальному распределению текущей доходности. Построенная линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью, которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного моделирования.
Определим плотность j I (y) распределения дохода I T по опциону как функции случайной величины S T . Воспользуемся известной формулой. Если исходная случайная величина X имеет плотность распределения j X (x) , а случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X) , и при этом существует обратная функция X=X(Y) , тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид [11]
. (7)
В нашем случае, исходя из (5),
(8)
dS T /dI T = 1, I T > -z c . (9)
Мы видим, что в точке I T = -z c плотность j I (y) приобретает вид дельта-функции. Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это можно сделать косвенным образом. На участке, где функция S T (I T ) дифференцируема, в силу (7)-(9) выполняется
I T > -z c . (10)
В силу нормирующего условия справедливо
(11)
откуда, в силу (10), искомый множитель K есть
(12)
Множитель K есть, таким образом, не что иное, как вероятность события S T c . При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался не в деньгах . Это событие – условие отказа от исполнения call-опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.
Наконец, итоговое выражение для j I (y):
(13)
(14)
На рис. 2 представлен примерный вид плотности вида (13).
Рис. 2. Примерный вид плотности распределения
Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв первого рода в точке с бесконечной плотностью.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности j R (v) , пользуясь (6), (7) и (13):
(15)
Плотности вида (13) и (15) – бимодальные функции.
Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Очень подробно виды опционных рисков изложены в [ 12 ]. В литературе по инвестициям в ценные бумаги очень часто под риском вложений в бумагу понимается ее волатильность (колеблемость относительно среднего значения). Имеется мнение, с которым я солидарен, что волатильность не может отражать инвестиционного риска в силу того, что болезненность убытков для инвестора несопоставима с удовлетворенностью прибылью. Поэтому отклонения котировок от ожидаемых значений в большую и в меньшую сторону неравноценны.
Обзор состояния теории оценки финансовых рисков представлен в [13].
Мне думается, что правильное понимание риска инвестиций сопряжено с категорией неприемлемой доходности , когда она по результатам финальной оценки оказывается ниже предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых для нынешних условий США. Это значение близко к текущей доходности государственных облигаций, и тогда ясно, что, обладая сопоставимой с облигациями доходностью, опционный инструмент значительно опережает последние по уровню риска прямых убытков (отрицательной доходности).
Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как вероятность неприемлемой доходности по формуле
(16)
где j R (v) определяется по (15).
Среднеожидаемая доходность вложений в опцион определяется стандартно, как первый начальный момент распределения:
(17)
Среднеквадратическое отклонение доходности call опциона от среднего значения также определяется стандартно, как второй центральный момент распределения
(18)
Рассмотрим важные асимптотические следствия полученных вероятностных форм. Для этого установим связь между доходностями call-опциона и подлежащего актива, с учетом (5) и (6):
(19)
(20)
Видим, что доходность опциона call и подлежащего актива связаны кусочно-линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом g , который, собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа). Участок прямой пропорциональности соответствует той ситуации, когда опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением вероятности K вида (12) к нулю, выполняются следующие соотношения
(21)
То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С ростом среднеожидаемой доходности актива растет и средняя доходность call-опциона, а с ростом волатильности актива растет также и волатильность опциона.
Итак, мы получили вероятностные формы для описания доходности и риска по вложениям в опцион call. Действуя аналогичным образом, мы можем получать подобные формы для опционов другой природы, а также для их комбинаций друг с другом и с подлежащими активами.
3. ВЕРОЯТНОСТНАЯ
МОДЕЛЬ ОПЦИОНА PUT
Приобретая опцион put, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между ценой исполнения опциона x p и финальной ценой подлежащего актива S T . Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона z p , то владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.
Надо сказать, что приобретение опциона put без покрытия подлежащим активом не является традиционной стратегий. Классический инвестор все же психологически ориентируется на курсовой рост приобретаемых активов. С этой точки зрения стратегия классического инвестора – это стратегия “быка”. А покупка put опциона без покрытия – эта “медвежья” игра.
Обычная логика использования опциона put – это логика отсечения убытков с фиксацией нижнего предела доходности, который не зависит от того, насколько глубоко провалился по цене подлежащий актив. Но для нас не имеет значения, какой стратегии придерживается инвестор. Мы понимаем, что опцион put является потенциальным средством извлечения доходов, и нам эту доходность хотелось бы вероятностно описать.
Проведем рассуждения по аналогии с предыдущим разделом работы. Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением [4]
(22)
А текущая доходность по опциону put определяется формулой
(23)
Используем все соображения о получении плотностей распределения, выработанные в предыдущем разделе работы.
В нашем случае, исходя из (22):
(24)
|dS T /dI T | = 1, I T > -z p . (25)
Интересно отметить, что в случае опциона call цена подлежащего актива и доход по опциону связаны возрастающей зависимостью, а в нашем случае — убывающей . То есть чем хуже чувствует себя актив, тем лучше держателю непокрытого опциона (если, конечно, инвестор заодно не владеет и самим подлежащим активом).
Множитель K при дельта-функции в точке I T = -z p есть
— (26)
вероятность события S T > x p . Опцион оказывается не в деньгах, что есть условие отказа от исполнения put опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение этого опциона.
Итоговое выражение для плотности распределения j I (y) случайной величины дохода по опциону put имеет вид
(27)
Плотность вида (27) – это усеченный с двух сторон нормальный закон плюс дельта-функция на границе усечения. С этой точки зрения качественный вид зависимости (27) повторяет вид того же для опциона call в силу симметрии нормального распределения. При произвольном распределении финальной цены результаты были бы другими.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности j R (v) , пользуясь (22), (23) и (27):
(28)
Разумеется, отмечаем бимодальность (27) и (28).
Поэтому риск инвестиций в опцион put может быть определен по формуле
(29)
(30)
а j R (v) определяется по (28).
Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (17) и (18) соответственно.
Рассмотрим асимптотические следствия по аналогии с call-опционом. Для этого установим связь между доходностями put-опциона и подлежащего актива, с учетом (22) и (23):
(31)
(32)
Видим, что доходность опциона put и подлежащего актива связаны кусочно-линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом g , который, собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа). Участок прямой пропорциональности соответствует той ситуации, когда опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением вероятности K вида (26) к нулю, выполняются следующие соотношения:
(33)
То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С ростом средней доходности актива средняя доходность put-опциона падает , а с ростом волатильности актива волатильность опциона также растет.
4. РАСЧЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ОПЦИОНОВ
В начале года инвестор приобретает за z c = 10 ед. цены опцион call на подлежащий актив со стартовой ценой S 0 = 100 ед. Цена исполнения опциона x c = 100 ед., опцион американский, срочностью 1 год. Поскольку цена исполнения совпадает со стартовой ценой, то покупаемый опцион является опционом в деньгах.
Инвестор ориентируется на следующие параметры доходности и риска подлежащего актива: текущая доходность r = 30% годовых, СКО случайной величины текущей доходности s r = 20% годовых. В пересчете на финальную цену S T это означает, что через время Т = 0.5 лет подлежащий актив будет иметь нормальное распределение S T с параметрами s T = 115 ед. и s S = 10 ед.
Требуется определить доходность и риск опциона в момент времени Т = 0.5 года.
Все полученные соотношения реализованы в компьютерной программе. Расчет по формулам (16) — (18) дает Q T = 0.335, 
= 105.8% годовых и s S = 188.5% годовых. Одновременно отметим: поскольку вероятность того, что опцион не в деньгах, мала (0.066), то полученные значения моментов близки к своим асимптотическим приближениям (21) 
= 100% и s S = 200% годовых соответственно.
Результаты наглядно показывают то, что опцион – это одновременно высокорисковый и высокодоходный инструмент. Высокая доходность достигается за счет левериджа: не вкладывая деньги в подлежащий актив, инвестор тем не менее получит по нему возможный доход и не будет участвовать в убытках. Другое дело, что обычно инвестор балансирует на грани прибылей и убытков, ибо все ищут выигрыша, и никто не станет работать себе в убыток. Поэтому для call-опционов в деньгах разница между среднеожидаемой ценой подлежащего актива и ценой приобретения опциона обычно колеблется вокруг цены исполнения . Это означает, что вложения в непокрытые опционы с точки зрения риска сопоставимы с игрой в орлянку. Для put-опциона в деньгах сопоставимыми являются цена исполнения, с одной стороны, и сумма цены опциона и ожидаемой цены подлежащего актива – с другой стороны.
Исследуем рынок полугодовых call-опционов компании IBM. Это можно сделать, воспользовавшись материалами по текущим котировкам опционов на сервере MSN [14].
Дата исполнения этих опционов – 20 апреля 2001 года.
Исследуем вопрос, какие из обращающихся на рынке call-опционов нам предпочтительнее покупать. Для этого нам нужно задаться прогнозными параметрами распределения доходности подлежащего актива, близкими к реальным. Это будет как бы тот ранжир, которым будут вымеряться опционы выделенной группы.
Взглянем на вектор исторических данных IBM за прошедший квартал (рис.3). Процесс существенно нестационарен, поэтому стандартной линейной регрессией пользоваться нельзя. Глядя на график, зададимся умеренной оценкой доходности порядка 30% годовых и СКО доходности в 30% годовых. Эти параметры и примем за базовые.
Стартовая цена подлежащего актива на дату покупки опциона – 114.25$ (по состоянию на 10 октября 2000 года) . Соответственно, через полгода мы должны иметь финальное распределение цены подлежащего актива с параметрами: среднеее – 131$, СКО – 17$.
Рис. 3. Вектор исторических данных IBM за прошедший квартал
В табл. № 1 сведены значения доходностей и рисков по каждой группе опционов.
ЗНАЧЕНИЯ ДОХОДНОСТЕЙ И РИСКОВ ПО КАЖДОЙ ГРУППЕ ОПЦИОНОВ
Источник