Доходность актива представлена за 8 лет определить риск актива

Пример 5

Доходность актива за 8 лет представлена в таблице.

Годы
Доходность, %	-10	-5

Определите риск данного актива, используя показатели выборочной дисперсии и стандартного отклонения.

Выборочная дисперсия доходности актива определяется по формуле

где — доходность актива в i-й период;

— средняя доходность актива;

— число периодов наблюдения.

На основании имеющихся данных рассчитаем среднюю доходность актива:

= (10 + 14 + 18 + 16 – 10 – 5 + 6 + 15)/8 = 8 %.

Теперь рассчитаем выборочную дисперсию доходности актива:

= [(10 – 8) 2 + (14 – 8) 2 + (18 – 8) 2 + (16 – 8) 2 + (–10 – 8) 2 +

+ (–5 – 8) 2 + (6 – 8) 2 + (15 – 8) 2 ]/8 = 93,75 %.

Стандартное отклонение доходности определяется как корень квадратный из дисперсии:

Таким образом, выборочное стандартное отклонение доходности равно:

Стандартное отклонение показывает степень риска НЕнас-тупления запланированной доходности.

ЗАДАНИЕ

Выполнение группой (до3 человек) одного из нижеприведенных заданий, в которых предлагается провести анализ некоторых вопросов по определенной теме и выбрать выгодный вариант инвестирования.

Дата добавления: 2015-04-11 ; просмотров: 3 | Нарушение авторских прав

Источник

Доходность актива представлена за 8 лет определить риск актива

Ребята,
Очень прошу помочь с решением задач для базового экзамена! Мне очень нужно срочно!
Буду очень признательна. У меня есть все конспекты и вопросы и т.д., но нет решения всех задач, особенно со случайными величинами, корреляцией и матожиданиями. Очень буду признательна, ребята. Спасибо заранее!

Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Re: Решение задач по базовому экзамену 12.02.2013 22:58 #1075

Например, такая задача:

Код вопроса: 4.2.126
Через год цена акции может иметь следующее распределение:
Цена акции 30 руб., 40 руб., 50 руб.
Вероятность 30%, 60%, 10%.
Определить математическое ожидание цены акции через год.
Ответы:
A. 38 руб.
B. 40 руб.
C. 60 руб.

Код вопроса: 4.2.129
Доходность актива за 3 года представлена в таблице:

Годы 1 2 3
Доходность (%) 10 14 18

Определить риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартного отклонения доходности.
Ответы:
A. 10,67; 3,27%
B. 32; 5,66%
C. 89,5; 9,47%
D. 108; 10,39%

Код вопроса: 4.2.118
Случайная величина X задана следующим законом распределения:

Найти и , если известно, что ее математическое ожидание равно 24.
Ответы:
A. 30; 0,5
B. 10; 0,1
C. 25; 0,4
D. Данных недостаточно

Ну и наподобие таких. Очень поможете. Еще раз спасибо.

Источник

4.2. Риск актива

Доходность актива за 8 леї представлена в таблице: Годы I 2 3 4 5 6 7 8 Доходность (%) 10 14 18 16 -10 -5 6 15

Определить риск актива, представленный показателям! выборочной дисперсии и стандартного отклонения доходности.

Выборочная дисперсия доходности актива определяется по формуле:

где г. ДОХОДІ:ОСТІ. актина и і м периоде; г — средняя доходность актива; п — число периодов наблюдения. С редняя доходность определяется по формуле:

Средняя доходность актива за 8 лет составила:

_ 10 + 14 + 18 + 16-10 — 5 + 6+15 00/

Выборочная дисперсия доходное і и актива равна:

& (10-8)2 +(14-8)» +(І8-8)2 +(16-8): +(-10-8)2 +(-5-8)2 +(6-8)2 +(15-8)78=93.75.

Стандартное отклонение доходности определяется как корень квадратный из дисперсии:

Выборочное стандартное отклонение доходности равно:

На основе данных задачи 4.17 определить, какую доходность инвестор может получить по активу через год с вероятностью а) 68.3%, б) 95,4%, в) 99.7%? Распределение доходности актива предполагается нормальным.

Как было определено в задаче 4.17.

а) С вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность актива через год будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от ожилаемой доходности, т.е. 8±9,68 или:

от 8 — 9,68 = -1,68% до 8 + 9,68 = 17.68%.

б) С вероятностью 95.4% можно ожидать, что доходность актива через год будет располагаться в интервале двух стандартных отклонений от ожидаемой доходности, т.е. 8 ± 2 • 9.68 или:

от 8-2-9,68 = -11.36% до 8 + 2-9.68 = 27,36%.

в) С вероятностью 99.7% можно ожидать, что доходност ь акінва через год будет располагаться в интервазе трех стандартных отклонений от ожидаемой доходности.т.е.

от 8 — 3 • 9.68 = 21.04% до 8 + 3 • 9,68 = 37 04%

На основе данных задачи 4.17 определить исправленную дисперсию и стандартное отклонение доходности актива. Решение.

Исправленная дисперсия доходности актива определяется по формуле:

(4.2) Исправленная дисперсия доходности актива равна:

с» =(10-8): т(14-8)2 + (18-8)2 + (16-8)2+(-10-8): + + (-5-8)2+(6-8)2+ (15-8)7(8-1)= 107,14. Исправленное стандартное отклонение доходности составляет:

Доходность актива за 10 дней представлена в таблице: Дни 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Доходность (%) 0,1 0,5 1,2 -0.4 -0,2 -0,01 0.3 0,6 -0,05 1,3

Определить риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартною отклонения доходности. Решение.

Средняя доходность актива в расчете на .тень равна:

Выборочная дисперсия доходности актива в расчете на один день согласно формуле (4.1) составляет:

Стандартное отклонение доходности за один день равно:

ст = у]0,2927 = 0.541 %.

На основе данных задачи 4.20 определить стандартное отклонение доходности актива и расчете на год. если в году 252 торговых дня.

Стандартное отклонение за год иа основе стандартного от клонения за один день равно:

Источник

Пример определения риска актива.

Измерители рисков

Выделяют следующие измерители риска:

1. Стандартное отклонение доходности.Риск того или иного метода принятия решений оценивается через дисперсию его доходности. Измеряется риск отклонения реальной доходности от средней, однако, психологически многие не воспринимают отклонение доходности в большую сторону от средней за риск. Так же тяжело психологически воспринимается за риск и отклонение от средней месячной доходности в меньшую сторону не уходящее, однако, в отрицательные значения. Логическая ловушка заключается в том, что любое отклонение от средней доходности в большую сторону, в последующем уравновешивается таким же по величине отклонением в одной или серии отрицательных сделок.

Поэтому любое отклонение кривой дохода от прямой линии есть риск, вне зависимости от знака отклонения.

Дисперсия определяется по формуле:

,

где: – дисперсия доходности актива;

n – число периодов наблюдения;

r – средняя доходность актива; она определяется как средняя арифметическая доходностей актива за периоды наблюдения, а именно:

r_i – доходность актива в i-м периоде.

Стандартное отклонение определяется, как квадратный корень из дисперсии

где: σ – стандартное отклонение доходности актива.

Пример определения риска актива.

Допустим, что доходность актива в каждом году за пятилетний период составила следующие значения: 1-й год – 22%; 2-й год – 26%; 3-й год – 16%; 4-й год – 21 %; 5-й год – 17%.

1-й шаг. Определяем среднюю доходность актива за пятилетний период:

2-й шаг. Определяем отклонение величины доходности в каждом периоде от ее среднего значения.

3-й шаг. Возводим в квадрат полученные отклонения и суммируем их:

2,56 + 31,36 + 19,36 + 0,36 + 11,56 = 65,2

4-й шаг. Определяем дисперсию: 65,2 : 5 = 13,04

(Если имеется небольшое число наблюдений, как в нашем примере, то по правилам статистики в формуле определения дисперсии (48) в знаменателе вместо п–1 берут просто значение п).

5-й шаг. Определяем стандартное отклонение:

Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности отклонения доходности актива от ее средней величины за определенный период времени. В нашем примере мы получили отклонение доходности актива за год, равное 3,61%. Доходность актива в том или ином году – это случайная величина. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального распределения. Поэтому с вероятностью 68,3% можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности, т.е. в диапазоне 20,4% ± 3,61%; с вероятностью 95,5% этот диапазон составит два стандартных отклонения, т.е. 20,4% ± 2 х 3,61%; и с вероятностью 99,7% диапазон составит три стандартных отклонения, то есть 20,4% ± 3 х 3,61%.

Поскольку доходность актива – случайная величина, которая зависит от различных факторов, то остается 0,3% вероятности, что она выйдет за рамки трех стандартных отклонений, т.е. может как упасть до нуля, так и вырасти до очень большой величины.

Чем больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доходность, которая равна 50%. Однако, стандартное отклонение первого актива составляет 5%, а второго – 10%. Это говорит о том, что второй актив рискованнее первого, так как существует 68,3% вероятности, что через год доходность первого актива может составить от 45% до 55%, а второго – от 40% до 60% и т.д.

2. Волатильность. Волатильность представляет собой основную меру риска рыночного финансового инструмента.

Волатильность является случайной составляющей изменения цены финансового инструмента. Моделирование данной случайной величины представляет основу для оценки большинства рыночных рисков.

3. Уменьшение капитала от пика к впадине (Peak to Valley Drawdown). Очень важной и часто обделяемой вниманием величиной является убыток в процентах от капитала, измеряемый от пика к впадине.

4. Коэффициент Шарпа сводит доходность и риск в один показатель и позволяет анализировать доходности в контексте соответствующего им риска. Определяется следующим образом:

Коэф. Шарпа = (Доходность стратегии – Безрисковая ставка)/стандартное отклонение доходности.

За безрисковую ставку принимается обычно текущая доходность по гособлигациям. Как гласит один из постулатов теории управления капиталом: принимаемый риск инвестирования в актив должен быть пропорционален его коэффициенту Шарпа.

Пример расчета волатильности:

Шаг 1. Разделите сегодняшнее закрытие на предыдущее закрытие рыночного дня.

Шаг 2. Возьмите натуральный логарифм частного, полученного в шаге 1. Для примера рассчитаем годовую историческую волатильность индекса РТС на март 2010 года. При написании даты будем использовать формат (год/месяц/день). Закрытие 100331, равное 1572,48, разделим на закрытие 100330, равное 1562,29.

1572,48 / 1562,29 = 1,006522477. Натуральный логарифм равен 0,006501297.

Шаг 3. По истечении 21 дня у вас будет 20 значений для шага 2. Теперь рассчитайте 20-дневную скользящую среднюю значений из шага 2.

NSN Вне сайта Новый участник Постов: 5

Дата	Закрытие	ln
31.03.2010	1572,48	1,006522	0,006501
30.03.2010	1562,29	1,006909	0,006885
29.03.2010	1551,57	1,020857	0,020643
26.03.2010	1519,87	1,003188	0,003183
25.03.2010	1515,04	1,000304	0,000304
24.03.2010	1514,58	0,993193	-0,00683
23.03.2010	1524,96	0,999587	-0,00041
22.03.2010	1525,59	0,987622	-0,01245
19.03.2010	1544,71	0,990961	-0,00908
18.03.2010	1558,8	0,997019	-0,00299
17.03.2010	1563,46	1,017354	0,017205
16.03.2010	1536,79	1,014785	0,014677
15.03.2010	1514,4	0,986786	-0,0133
12.03.2010	1534,68	1,020372	0,020167
11.03.2010	1504,04	1,001758	0,001757
10.03.2010	1501,4	0,999135	-0,00087
09.03.2010	1502,7	0,996347	-0,00366
05.03.2010	1508,21	1,025707	0,025382
04.03.2010	1470,41	1,006992	0,006968
03.03.2010	1460,2	1,010086	0,010035
02.03.2010	1445,62

Скользящая средняя равна 0,004206.

Шаг 4. Найдите 20-дневную дисперсию выборки данных из шага 2. Для этого необходима 20-дневная скользящая средняя (см. шаг 3). Далее, для каждого из 20 последних дней вычтем скользящую среднюю из значений шага 2.

Теперь возведем в квадрат полученные значения, чтобы преобразовать все отрицательные ответы в положительные. После этого сложим все значения за последние 20 дней. Наконец, разделим найденную сумму на 19 и получим дисперсию по выборке данных за последние 20 дней. 20-дневная дисперсия для 100303 составляет 0,00012481.

Шаг 5. После того как вы определили 20-дневную дисперсию для конкретного дня, необходимо преобразовать ее в 20-дневное стандартное отклонение. Это легко сделать путем извлечения квадратного корня из дисперсии. Таким образом, для 100303 квадратный корень дисперсии даст нам 20-дневное стандартное отклонение 0,01117183.

Шаг 6. Теперь преобразуем полученные данные в «годовые». Так как мы используем дневные данные и исходим из того, что по РТС в году 252 торговых дня (примерно), умножим ответы из шага 5 на квадратный корень 252, то есть на 15,87450787. Для 100303 20-дневное стандартное отклонение по выборке составляет 0,01117183. Умножив его на 15,87450787, получаем 0,177347308. Это значение является исторической волатильностью, в нашем случае — 17,73%.

Пример расчета коэффициентов бета, альфа и Шарпа:

Бета показывает уровень риска ПИФа в сравнении с индексом. Например, значение 0,5 говорит о том, что растет и падает ПИФ на половину меньше, чем индекс (индекс вырос +1% — ПИФ вырос +0,5%, индекс упал на 2% — ПИФ упал на 1%). С бетой = 2 ПИФ удваивал бы любое колебание индекса.

Альфа показывает превышение доходности (вследствие мастерства управления) ПИФа над доходностью индекса (доходность индекса корректируется на бету ПИФа для этого сравнения). Например, если бета = 1 («ноздря в ноздрю», индексный ПИФ), то альфа равная 0,4 означает, что ПИФ переиграл индекс на 0,4%. При бета 0,5 альфа 0,4 говорит о том, что ПИФ показал доходность равную половине доходности индекса плюс 0,4%.

Коэффициент Шарпа показывает доходность, полученную на одну условную единицу риска. Риск ПИФов всех категорий измеряется в универсальных условных единицах (стандартное отклонение). Доходность для расчета коэффициента Шарпа берется только та, что получается с риском. Для этого из реальной доходности ПИФа вычитается доходность безрискового актива — депозита в Сбербанке. Оставшаяся доходность делится на количество «потраченных» на её получение единиц риска. С помощью этого коэффициента можно сравнить мастерство управления ПИФами как одной, так и разных категорий: если ПИФ облигаций на каждую из немногих единиц риска получил большую доходность, чем ПИФ акций на каждую из единиц риска, которых у него больше, то ПИФ облигаций управляется лучше, хотя он получает меньшую суммарную доходность.

Для расчета коэффициента (помимо ежедневной стоимости пая) необходимо выбрать:

— безрисковый актив — актив, доходность по которому заранее известна и риски, связанные с получением этой доходности малы, а период обращения данного актива равен (или близок) периоду, за который проводится оценка. В качестве безрискового актива берется двухгодовой вклад в рублях Сбербанка России — «Накопительный».

— параметр сглаживания — позволяет наиболее точно отразить субъективную временную оценку наблюдений, т. е. снизить влияние наблюдений за деятельностью компаний, произведенных достаточно давно. Принимает значения от 0 до 1. Предлагается положить его, традиционно, равным 0.94.

От величины коэффициента сглаживания зависит то, как сильно будет сглажено влияние на результат более отдаленных наблюдений по отношению к менее отдаленным. Т.е., чем ближе коэффициент к 0, тем меньшее влияние отдаленных наблюдений. И наоборот: чем ближе коэффициент к 1, тем больше влияние отдаленных наблюдений.

Методики расчета коэффициента Шарпа:

Допустим, у нас есть кривая эквити (текущая прибыль или убыток по открытым позициям +/- своп. Своп (Swap) – одновременная продажа и покупка одного количества определенной валюты с разными датами валютирования. Обычно, свопирование производится при переносе открытой позиции на следующий день. Свопировать открытую валютную позицию – означает сохранить состояние позиции (размер и знак) на определенный срок в будущем) за несколько месяцев. Доходность за конкретный месяц определяется по формуле:

Pn – доходность за n-ный месяц.

Eo – эквити на момент открытия месяца.

Ec – эквити на момент закрытия месяца,

Имея эквити, мы можем получить набор доходностей по месяцам. Пусть, для примера, набор будет таким:

период	доходность за месяц
23.04-22.05	1,270739798	0,198718571	0,03948907
22.05-22.06	0,771721484	-0,300299743	0,09017994
22.06-22.07	1,118099988	0,04607876	0,00212325
22.07-21.08	1,137465906	0,065444679	0,00428301
21.08-21.09	1,078794388	0,006773161	4,5876E-05
21.09-21.10	1,183038115	0,111016888	0,01232475
21.10-20.11	0,958390154	-0,113631074	0,01291202
20.11-18.12	1,015705304	-0,056315923	0,00317148
18.12-18.01	1,203006763	0,130985536	0,01715721
18.01-18.02	0,917570058	-0,154451169	0,02385516
18.02-18.03	1,081313618	0,009292391	8,6349E-05
18.03-16.04	1,12840915	0,056387923	0,0031796

Можно также в качестве набора доходностей использовать прибыли по сделкам – не обязательно чтобы доходность считалась именно по месяцам. Однако общепринятым способом является вычисление Шарпа по набору месячных доходностей.

Определим матожидание (средний уровень ряда):

Рассчитаем дисперсию (таблица выше).

Рассчитаем стандартное отклонение:

Вычисление коэффициента Шарпа основано на формуле:

Существует 3 варианта расчета коэффициента Шарпа:

1. The Sharpe Ratio. William F. Sharpe. Stanford University. 1994.

В этом случае исходный массив подвергается простому преобразованию: из него вычитается безрисковая ставка. Затем применяется основная формула.

Вклад «Накопительный» Сбербанка России предлагает ставку 5,75% годовых на период до 1 года (сумма вклада от 30000 до 100000 руб.).

Вычислим превышение доходности над безрисковой ставкой:

доходность за месяц	безрисковая ставка	превышение
1,270739798	0,479166667	0,791573131
0,771721484	0,479166667	0,292554817
1,118099988	0,479166667	0,638933321
1,137465906	0,479166667	0,658299239
1,078794388	0,479166667	0,599627721
1,183038115	0,479166667	0,703871448
0,958390154	0,479166667	0,479223487
1,015705304	0,479166667	0,536538637
1,203006763	0,479166667	0,723840096
0,917570058	0,479166667	0,438403392
1,081313618	0,479166667	0,602146951
1,12840915	0,479166667	0,649242484

Находим матожидание и стандартное отклонение:

Тогда коэффициент Шарпа:

S=4,494335804.

2. Modified Sharpe Ratio.

Находим матожидание и стандартное отклонение набора доходностей.

Пересчитываем доходность на год, для чего матожидание E умножаем на число периодов в году:

E_год = 1,072021227 * 12 = 12,86425472.

Вычисляем превышение прибыли над безрисковой ставкой, по формуле:

Превышение прибыли = E_год – безрисковая ставка

Превышение прибыли = 12,86425472 – 5,75 = 7,114254724.

Стандратное отклонение тоже пересчитываем на год, по формуле:

σ_год = 0,1319115 * 3,464 = 0,456954827.

Вычисляем коэффициент Шарпа:

S = Превышение прибыли / σ_год = 3,250893038.

3. Annual Sharpe Ratio.

Рассматриваем значения счета и доходность по месяцам.

период	доходность за месяц	Закрытие
23.04-22.05	1,270739798	3424,72
22.05-22.06	0,771721484	2642,93
22.06-22.07	1,118099988	2955,06
22.07-21.08	1,137465906	3361,28
21.08-21.09	1,078794388	3626,13
21.09-21.10	1,183038115	4289,85
21.10-20.11	0,958390154	4111,35
20.11-18.12	1,015705304	4175,92
18.12-18.01	1,203006763	5023,66
18.01-18.02	0,917570058	4609,56
18.02-18.03	1,081313618	4984,38
18.03-16.04	1,12840915	5624,42

Первое значение эквити обозначим как FirstClose, последнее – LastClose.

Находим количество дней между FirstClose и LastClosе. Оно равно 226. Находим долю этого периода в году: 226/365 = 0,619178082.

Пересчитываем доходность на год по формуле:

G = (LastClose/FirstClose)^(1/YearPart) — 1

G = (5624,42 / 3424,72)^(1/0,619178082) – 1 = 1,228258653.

Вычисляем превышение над безрисковой ставкой:

GE = G — RiskFreeRate

GE = 1,228258653 — 0.0575 = 1,170758653.

Теперь надо вычислить стандартное отклонение, получаем:

Пересчитываем стандартное отклонение за год:

σ_год = 0,1319115 * 3,464 = 0,456954827.

Источник