Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений
Коммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е. временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.
Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.
В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.
Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:
где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.
Исходная сумма может быть рассчитана как
При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм
Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.
В банк положено 3000 руб. на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год. Определим наращенную сумму через полтора года.
I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.
На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:
S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.
i = (3900 / 3000 — 1) * (1 / 1,5) = 0,2 (20%)
Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.
Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит
I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.
Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:
I = S0 / (1 — it) = 10000 / (1 – 0,2 * 0,5) = 11111 руб.
Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.
Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:
Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.
И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:
Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.
Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.
Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12000 руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.
Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.
Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:
где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;
S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.
В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:
S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;
S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;
S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;
S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.
Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:
7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.
Отсюда X руб. = (7500 + 3200 — 5384,6) * 1,9 = 10099,3 руб.
Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).
На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.
Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + i) t . Наращенная сумма исчисляется по алгоритму:
где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); S t — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.
Предположим, что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100000 руб. Тогда наращенная сумма через два года составит
St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 4 = 285610 руб.
Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.
В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:
Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит
St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4) 2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075) 8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.
При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.
При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.
В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.
Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны
(1 + iэф) t = (1+i m /m) mt
Отсюда эффективная ставка составит
iэф = (1+ i m /m) mt – 1
Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.
iэф = (1+0,2/4) 4 – 1 = 0,2155 = 21,55%
Наращенная сумма при этом составит
St = S0 * (1 + iэф) t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.
При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:
St = S0 / (1+ i m /m) tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4) 4 = 300 * (1,5) 4 = 364,65 тыс.руб.
В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм
где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; i m — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.
Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (S0). Номинальная годовая банковская ставка (i m ) равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции (h) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (Sинф – S0):
Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12) 4 / (1+0,1) 4 = 639,2 тыс.руб.
Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.
Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.
В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.
© Интернет-проект «Корпоративный менеджмент», 1998–2021
Источник
4.3. Наращенная сумма
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки — «плавающие» ставки.
Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:
В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач — определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.
Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:
Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).
Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем
Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга — 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем
В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле
Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.
Если срок наращения меньше года, то
Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам, месяцам и
Графически такая ситуация показана на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Сумма наращения при начислении простых и сложныгх процентов
т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:
Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:
Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи — расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.
При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем
Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:
Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям
Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма — 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем
Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем
Источник