Что такое ковариация доходностей

Что такое ковариация доходностей

3 Ковариация и корреляция.

Ковариация — это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других. Более простое определение ковариации — это мера взаимодействия двух случайных переменных.
Формула для расчета ковариации следующая:

(2.6)

где rx и ry – доходности активов X и Y,
rXсред и rYсред — ожидаемые (средние) доходности активов X и Y,
n – число наблюдений.
Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер.
Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию, довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. Значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции.
Расчет корреляции осуществляется по формуле:

(2.7)

где cov(X,Y) — ковариация между активами X и Y,
в знаменателе — стандартные отклонения активов X и Y
Приведем пример расчета ковариации и корреляции при помощи Excel между бумагами РАО ЕЭС, Лукойл и Ростелеком, пользуясь встроенными функциями КОВАР и КОРРЕЛ.

Рисунок 2.18 – Вид с формулами
В результате получим:

Рисунок 2.19 – Вид со значениями
Как видно из таблицы корреляции ежемесячные доходности наших активов на отрезке 2004 года являются положительно-коррелированы, что, конечно же, не очень хорошо, однако даже включение в портфель положительно-коррелированных активов способно существенно снизить риск всего портфеля. Вооружившись всеми теми данными, которые теперь есть можно спокойно переходить формированию портфеля и проблемам, связанными с этим.

Источник

Ковариация

Что такое Ковариация?

Ковариация измеряет направленную взаимосвязь между доходностью двух активов . Положительная ковариация означает, что доходность активов движется вместе, а отрицательная ковариация означает, что они движутся обратно. Ковариация рассчитывается путем анализа неожиданностей при доходности ( стандартных отклонений от ожидаемой доходности) или умножения корреляции между двумя переменными на стандартное отклонение каждой переменной.

Ключевые моменты

• Ковариация – это статистический инструмент, который используется для определения взаимосвязи между движением цен двух активов.
• Когда две акции имеют тенденцию двигаться вместе, они считаются имеющими положительную ковариацию; когда они движутся обратно, ковариация отрицательная.
• Ковариация – важный инструмент в современной теории портфеля, используемый для определения того, какие ценные бумаги следует поместить в портфель.
• Риск и волатильность портфеля можно снизить, объединив активы с отрицательной ковариацией.

Понимание ковариации

Ковариация оценивает, как средние значения двух переменных перемещаются вместе. Если доходность акции A увеличивается всякий раз, когда доходность акции B увеличивается, и такая же взаимосвязь обнаруживается, когда доходность каждой акции уменьшается, то считается, что эти акции имеют положительную ковариацию. В финансах ковариации рассчитываются, чтобы помочь диверсифицировать ценные бумаги.

Когда у аналитика есть набор данных, пара значений x и y, ковариация может быть рассчитана с использованием пяти переменных из этих данных. Они есть:

• x i = заданное значение x в наборе данных
• x m = среднее или среднее значение x
• y i = значение y в наборе данных, которое соответствует x i
• y m = среднее или среднее значение y
• n = количество точек данных

Учитывая эту информацию, формула ковариации: Cov (x, y) = SUM [(x i – x m ) * (y i – y m )] / (n – 1)

Краткая справка

Хотя ковариация действительно измеряет направленную взаимосвязь между двумя активами, она не показывает силу взаимосвязи между двумя активами; коэффициент корреляции является более подходящим показателем этой силы.

Ковариационные приложения

Ковариации имеют важное применение в финансах и современной теории портфелей . Например, в модели ценообразования капитальных активов ( CAPM ), которая используется для расчета ожидаемой доходности актива, ковариация между ценными бумагами и рынком используется в формуле для одной из ключевых переменных модели, бета . В CAPM бета измеряет волатильность или систематический риск ценной бумаги по сравнению с рынком в целом; это практическая мера, основанная на ковариации для оценки подверженности инвестора риску, характерному для одной ценной бумаги.

Между тем, теория портфелей использует ковариации для статистического снижения общего риска портфеля за счет защиты от волатильности за счет диверсификации с учетом ковариаций.

Краткая справка

Обладание финансовыми активами с доходностью, имеющей аналогичные ковариации, не обеспечивает большой диверсификации; следовательно, диверсифицированный портфель, вероятно, будет содержать набор финансовых активов с различными ковариациями.

Пример расчета ковариации

Предположим, что у аналитика компании есть набор данных за пять кварталов, который показывает квартальный рост валового внутреннего продукта ( ВВП ) в процентах (x) и рост новой линейки продуктов компании в процентах (y). Набор данных может выглядеть так:

• Q1: x = 2, y = 10
• Q2: x = 3, y = 14
• Q3: x = 2,7, y = 12
• Q4: x = 3,2, y = 15
• Q5: x = 4,1, y = 20

Среднее значение x равно 3, а среднее значение y равно 14,2. Чтобы вычислить ковариацию , сумма произведений значений x i минус среднее значение x, умноженное на значения y i минус средние значения y, будет разделена на (n-1) следующим образом:

Cov (x, y) = ((2 – 3) x (10 – 14,2) + (3 – 3) x (14 – 14,2) + … (4,1 – 3) x (20 – 14,2)) / 4 = (4,2 + 0 + 0,66 + 0,16 + 6,38) / 4 = 2,85

Рассчитав здесь положительную ковариацию, аналитик может сказать, что рост новой продуктовой линейки компании имеет положительную связь с квартальным ростом ВВП.

Источник

Ковариация | Covariance

Математически ковариация (англ. Covariance) представляет собой меру линейной зависимости двух случайных величин. В портфельной теории этот показатель используется для определения зависимости между доходностью определенной ценной бумаги и доходностью портфеля ценных бумаг. Чтобы рассчитать ковариацию доходности необходимо воспользоваться следующей формулой:

где k_i – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;

p_i – доходность портфеля в i-ом периоде;

— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;

n – количество наблюдений.

Следует отметить, что в знаменатель формулы подставляется (n-1), если ковариация рассчитывается на основании выборки из генеральной совокупности наблюдений. Если в расчетах учитывается вся генеральная совокупность, то в знаменатель подставляется n.

Пример. В таблице представлена динамика доходность акций Компании А и Компании Б, а также динамика доходности портфеля ценных бумаг.

Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой для расчета ковариации доходности каждой из акций с портфелем необходимо рассчитать среднюю доходность, которая составит:

• для акций Компании А 4,986%;
• для акций Компании Б 5,031%;
• для портфеля 3,201%.

Таким образом, ковариация акций Компании А с портфелем составит -0,313, а акций Компании Б 0,242.

Cov (k_A, k_p) = ((5,93-4,986)(2,27-3,201) + (5,85-4,986)(2,39-3,201) + (5,21-4,986)(3,47-3,201) + (5,37-4,986)(3,21-3,201) + (4,99-4,986)(2,95-3,201) + (4,87-4,986)(2,97-3,201) + (4,70-4,986)(3,32-3,201) + (4,75-4,986)(3,65-3,201) + (4,33-4,986)(3,97-3,201) + (3,86-4,986)(3,81-3,201))/(10-1) = -0,313

Cov (k_Б, k_p) = ((4,25-5,031)(2,27-3,201) + (4,47-5,031)(2,39-3,201) + (4,68-5,031)(3,47-3,201) + (4,71-5,031)(3,21-3,201) + (4,77-5,031)(2,95-3,201) + (5,25-5,031)(2,97-3,201) + (5,45-5,031)(3,32-3,201) + (5,33-5,031)(3,65-3,201) + (5,55-5,031)(3,97-3,201) + (5,85-5,031)(3,81-3,201))/(10-1) = 0,242

Аналогичные расчеты можно произвести в Microsoft Excel при помощи функции «КОВАРИАЦИЯ.В» для выборки из генеральной совокупности или функции «КОВАРИАЦИЯ.Г» для всей генеральной совокупности.

Интерпретация ковариации

Значение коэффициента ковариации может быть как отрицательным, так и положительным. Его отрицательное значение говорит о том, что доходность ценной бумаги и доходность портфеля демонстрируют разнонаправленное движение. Другими словами, если доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и наоборот. Положительное значение свидетельствует о том, что доходность ценной бумаги и портфеля изменяются в одном направлении.

Низкое значение (близкое к 0) коэффициента ковариации наблюдается в том случае, когда колебания доходности ценной бумаги и доходности портфеля носят случайный характер.

Источник

Ковариация

Ковариацией $cov\left(X,\ Y\right)$ случайных величин $X$ и $Y$ называется математическое ожидание произведения случайных величин $X-M\left(X\right)$ и $Y-M\left(Y\right)$, то есть:

Бывает удобно вычислять ковариацию случайных величин $X$ и $Y$ по следующей формуле:

которая может быть получена из первой формулы, используя свойства математического ожидания. Перечислим основные свойства ковариации.

1. Ковариация случайной величины с самой собой есть ее дисперсия.

2. Ковариация симметрична.

$$cov\left(X,\ Y\right)=cov\left(Y,\ X\right).$$

3. Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак ковариации.

$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\right).$$

5. Ковариация не изменится, если к одной из случайных величин (или двум сразу) прибавить постоянную величину:

$$cov\left(X+c,\ Y\right)=cov\left(X,\ Y+c\right)=cov\left(X+x,\ Y+c\right)=cov\left(X,\ Y\right).$$

6. $cov\left(aX+b,\ cY+d\right)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\right)$.

8. $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|=\sqrt\Leftrightarrow Y=aX+b$.

9. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин:

$$D\left(X\pm Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm 2cov\left(X,\ Y\right).$$

Пример 1. Дана корреляционная таблица случайного вектора $\left(X,\ Y\right)$. Вычислить ковариацию $cov\left(X,\ Y\right)$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X\backslash Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & p_ <22>& 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end$

События $\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей $p_$, указанных в таблице, должна быть равна 1. Тогда $0,1+0+0,2+0,05+p_<22>+0+0+0,2+0,05+0,1+0+0,1=1$, отсюда $p_<22>=0,2$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X\backslash Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end$

Пользуясь формулой $p_ =\sum _p_ $, находим ряд распределения случайной величины $X$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,25 & 0,25 & 0,2 \\
\hline
\end$

$$M\left(X\right)=\sum^n_=-2\cdot 0,3+0\cdot 0,25+1\cdot 0,25+7\cdot 0,2=1,05.$$

Пользуясь формулой $q_ =\sum _p_ $, находим ряд распределения случайной величины $Y$.

$$M\left(Y\right)=\sum^n_=-6\cdot 0,25+0\cdot 0,4+3\cdot 0,35=-0,45.$$

Поскольку $P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0,1\ne 0,3\cdot 0,25$, то случайные величины $X,\ Y$ являются зависимыми.

Определим ковариацию $cov\ \left(X,\ Y\right)$ случайных величин $X,\ Y$ по формуле $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)$. Математическое ожидание произведения случайных величин $X,\ Y$ равно:

$$M\left(XY\right)=\sum_x_iy_j>=0,1\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right)+0,2\cdot \left(-2\right)\cdot 3+0,05\cdot 1\cdot 3+0,1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0,1\cdot 7\cdot 3=-1,95.$$

Тогда $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1,95-1,05\cdot \left(-0,45\right)=-1,4775.$ Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае $cov(X,Y)\ne 0$.

Корреляция

Коэффициентом корреляции случайных величин $X$ и $Y$ называется число:

Перечислим основные свойства коэффициента корреляции.

1. $\rho \left(X,\ X\right)=1$.

2. $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3. $\rho \left(X,\ Y\right)=0$ для независимых случайных величин $X$ и $Y$.

5. $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6. $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

Ранее было сказано, что коэффициент корреляции $\rho \left(X,\ Y\right)$ отражает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами $X$ и $Y$.

При $\rho \left(X,\ Y\right)>0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к увеличению. Это называется положительной корреляционной зависимостью. Например, рост и вес человека связаны положительной корреляционной зависимостью.

При $\rho \left(X,\ Y\right) Да Нет

При копировании материала с сайта, обратная ссылка обязательна!

Источник